空间位址与证明

第二十三讲 空间位置关系与证明

★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（浙江）若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则（B ）

D C 1A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行

B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直

C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交

D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面

2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中

点作直线, 其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( D )

A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．（湖北）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：

①m '⊥n '⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒m '⊥n '；

③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ Ｄ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

4. （湖北）关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：（D ）

①m //α, n //β且α//β，则m //n ； ②m ⊥α, n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α, n //β且α//β，则m ⊥n ； ④m //α, n ⊥β且α⊥β，则m //n . 其中真命题的序号是：

A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5．在正方形ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，过对角线BD 的一个平面交AA ' 于E ，交CC 于F ，则( )

'

① 四边形BFD E 一定是平行四边形 ② 四边形BFD E 有可能是正方形

③ 四边形BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E 有可能垂直于平面BB D 以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）

6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2，l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2．用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系，写出一个总能确定l 1与l 2是异

面直线的充分条件： s 1//s 2，并且t 1与t 2相交（t 1//t 2，并且s 1与s 2相交）

★ ★★高考要考什么 一．线与线的位置关系:平行、相交、异面； 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；

'

'

' '

'

'

面与面的位置关系:平行、相交；

二．转化思想：

线线平行⇔线面平行⇔面面平行, 线⊥线⇔线⊥面⇔面⊥面 ；

★★★高考将考什么 【范例

D 1】如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面A B C ，

AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点．

（Ⅰ）证明CD ⊥AE ；

（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；

（Ⅲ）求二面角A -PD -C 的大小． （Ⅰ）证明：在四棱锥P -ABCD 中，

因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA AC =A ，∴CD ⊥平面PAC ．

A

D

而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE ．

（Ⅱ）证明：由PA =AB =BC ，∠ABC =60°，可得AC =PA ． ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．

由（Ⅰ）知，AE ⊥CD ，且PC CD =C ，所以AE ⊥平面PCD ．

而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ．

∵PA ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ． 又∵AB AE =A ，综上得PD ⊥平面ABE ．

（Ⅲ）解法一：过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM ⊥PD ． 因此∠AME 是二面角A -PD -C 的平面角． 由已知，得∠CAD =30°．设AC =a ，

可得PA =a ，AD =

a ，PD =a ，AE =． 332

·PD =PA ·AD ，

在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM

D

a PA ·AD ==a ． 则AM =

PD 7在Rt △

AEM 中，sin AME =

A

AE =

AM 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线

为AD ．

过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM ⊥PD ，垂足为M ，连结CM ，故CM ⊥PD ．因此∠CMP 是二面角A -PD -C 的平面角．

由已知，可得∠CAD =30°，设AC =a ，

1可得PA =a ，AD =a ，PD =，CF =a ，FD =a ．

3326

A

D

∵△FMD ∽△PAD ，∴

FM FD

=．

PA PD

·a

FD ·PA ==a ． 于是，FM =

PD 141a

CF 在Rt △

CMF 中，tan CMF === FM 所以二面角A -PD -

C 的大小是 所以二面角A -PD -

C 的大小是arcsin

． 4

变式：如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等

1

BC ． =2

（1）证明FO //平面CDE ；

（2

）设BC =，证明EO ⊥平面CDF ．

边三角形，棱EF //

证明：（Ⅰ）取CD 中点M ，连结OM. 在矩形ABCD 中，OM //

M

11

BC ，又EF //BC ，则22

EF //OM，

连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. ∴FO //EM

又FO ⊄平面CDE ， EM⊂平面CDE ， ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM ，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，

CM =DM , EM ⊥

CD 且EM =

1

=BC =EF . 2

因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM 而FM ∩CD=M，

∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO. 而FM ⋂CD =M ，所以EO ⊥平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能

D 1力和推理论证能力。

【范例2】如图，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是

A 1边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面

A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2．

（Ⅰ）求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1；

（Ⅲ）求二面角A -BB 1-C 的大小（用反三角函数值表示）． 证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，

A

C 1 B 1

C

y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz 如图，

则有

A (2，0，，0) B (2，2，，0) C (0，2，，0) A 1(1，0，，2) B 1(11，，，2) C 1(01，，，2) D 1(0，0，2)

．

（Ⅰ）证明：

∵AC ，，，AC =(-2，2，，0) D 1B 1=(110)，，，DB =(2，2，0) ． 11=(-110) ∴AC =2AC ，DB =2D 1B 1． 11

∴AC 与AC 1B 1平行， 11平行，DB 与D

AC 共面，B 1D 1与BD 共面． 于是AC 11与

（Ⅱ）证明：DD ·，0，2) ·(-2，2，0) =0， 1AC =(0

DB ·AC =(2，2，0) ·(-2，2，0) =0，

∴DD 1⊥AC ，DB ⊥AC ．

DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线．

∴AC ⊥平面B 1BDD 1． AC ． 又平面A 1ACC 1过

∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1．

（Ⅲ）解：AA ，，，2) BB 1=(-1，-12) ，，CC 1=(0，-12) ，． 1=(-10设n =(x 1，y 1，z 1) 为平面A 1ABB 1的法向量，

n ·AA 1=-x 1+2z 1=0，n ·BB 1=-x 1-y 1+2z 1=0．

于是y 1=0，取z 1=1，则x 1=2，n =(2，0，1) ． 设m =(x 2，y 2，z 2) 为平面B 1BCC 1的法向量，

m ·BB 1=-x 2-y 2+2z 2=0，m ·CC 1=-y 2+2z 2=0．

于是x 2=0，取z 2=1，则y 2=2，m =(0，21) ，．

cos m ，n =

m ·n 1

=．

m n 5

1

∴二面角A -BB 1-C 的大小为π-arccos ．

5

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，D 1D ⊥平面ABCD ．

∴D 1D ⊥DA ，D 1D ⊥DC ，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ．

于是C 1D 1∥CD ，D 1A 1∥DA ．

A D C 设E ，F 分别为D ，的中点，连结

EF ，A 1E ，C 1F ，

有A ，C 1F ∥D 1D ，DE =1，DF =1． 1E ∥D 1D

D 11

A 1∴A 1E ∥C 1F ，

于是AC 11∥EF ．

由DE =DF =1，得EF ∥AC ，

A

C

AC 共面． 故AC 11∥AC ，AC 11与

过点B 1作B 1O ⊥平面ABCD 于点O ，

A E ，B O F ，连结OE ，OF ， 则B 1O 111∥B A ，OF ∥B C ，∴OE =OF ． 于是OE 1111

∵B 1A 1⊥A 1D 1，∴OE ⊥AD ．

∵B 1C 1⊥C 1D 1，∴OF ⊥CD ．

所以点O 在BD 上，故D 1B 1与DB 共面．

（Ⅱ）证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ， 又BD ⊥AC （正方形的对角线互相垂直），

D 1D 与BD 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线，

∴AC ⊥平面B 1BDD 1．

AC ，∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1． 又平面A 1ACC 1过

（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线B 1B 在平面ABCD 上的射影，AC ⊥DB ，

根据三垂线定理，有AC ⊥B 1B ．

M ，连结MC ，MO ， 过点A 在平面ABB 1A 1B 于1内作AM ⊥B

则B 1B ⊥平面AMC ， 于是B 1B ⊥MC ，B 1B ⊥MO ，

所以，∠AMC 是二面角A -B 1B -C 的一个平面角．

根据勾股定理，有A C 1C =B 1B ． 1A =∵

OM ⊥B 1B ，有OM =

B 1O ·

OB BM =

AM =

，CM =． =

B 1B AM 2+CM 2-AC 211

cos ∠AMC ==-，∠AMC =π-arccos ，

52AM ·CM 5

二面角A -BB 1-C 的大小为π-arccos

1

． 5

3变式如图，已知ABCD -A 1BC 11D 1是棱长为的正方体，

点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE =FC 1=1． （1）求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；（4分）

D 1C 1

F

A 1

E

M D

2

（2）若点G 在BC 上，BG =，点M 在BB 1上，

3

C

GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1；（4分）

H

（3）用θ表示截面EBFD 1和侧面BCC 1B 1所成的锐二面角的大小，求tan θ． 证明：（1）建立如图所示的坐标系，则BE =(3，3，3) ， 01) ，，BF =(0，3，2) ，BD 1=(3，所以BD 1=BE +BF ，故BD 1，BE ，BF 共面． 又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面．

2⎛⎫（2）如图，设M (0，0，z ) ，则GM = 0，-，z ⎪，

3⎝⎭

而BF =(0，3，2) ，由题设得GM BF =-得z =1．

2

3+z 2=0， 3

因为M (0，0，1) ，E (3，0，1) ，有ME =(3，0，3) ，BC =(0，，0，0) ，又BB 1=(03，0) ，所以

ME ⊥BC ． ME BB 1，1=0，ME BC =0，从而ME ⊥BB

故ME ⊥平面BCC 1B 1．

（3）设向量BP =(x ，y ，3) ⊥截面EBFD 1，于是BP ⊥BE ，BP ⊥BF ．

而BE =(3，01) ，，BF =(0，3，2) ，得BP BE =3x +3=0，BP BF =3y +6=0，解得

x =-1，y =-2，所以BP =(-1，-2，3) ．

又BA =(3，．

0，0) ⊥平面BCC 1B 1，所以BP 和BA 的夹角等于θ或π-θ（θ为锐角）于是cos θ=

BP BA BP BA

=

． 故tan θ=

【范例3】如图，在长方体AC 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

A （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

1

π

. 4

解析：法1

（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD1=，AD 1=2，

故S ∆AD 1C =

11311⋅2⋅5-=, 而S ∆ACE =⋅AE ⋅BC =. 22222

11131S ∆AEC ⋅DD 1=S ∆AD 1C ⋅h , ∴⨯1=⨯h , ∴h =. 33223

A

∴V D 1-AEC =

（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则

D 1H ⊥CE ，

∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.

设AE=x ，则BE=2－x

1

在Rt ∆D 1DH 中, ∠DHD 1=

π

4

, ∴DH =1.

在Rt ∆ADE 中, DE =∴在Rt ∆DHE 中, EH =x ,

在Rt ∆DHC 中CH =∴x +3=

x 2-4x +5⇒x =2-3.

, 在Rt ∆CBE 中CE =x 2-4x +5.

∴AE =2-时, 二面角D 1-EC -D .

4

法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1) ，D 1(0，0，1) ，E(1，x ，0) ，A(1，0，0), C(0，2，0).

π

（1）因为DA , 0, 1), (1, x , -1) =0, 所以DA 1⊥D 1. 1, D 1=(1

（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而D 1=(1, 1, -1), =(-1, 2, 0) ，AD , 0, 1) ， 1=(-1

设平面ACD 1的法向量为n =(a , b , c ) ，

⎧⎧-a +2b =0⎧a =2b ⎪n ⋅AC =0, 则⎨也即⎨，得⎨， ⎪⎩-a +c =0⎩a =c ⎩⋅AD 1=0,

从而=(2, 1, 2) ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为h =（3）设平面D 1EC 的法向量=(a , b , c ) ， ∴=(1, x -2, 0), D 1=(0, 2, -1), DD 1=(0, 0, 1),

=

2+1-21

=. 33

⎧⎪⋅D 1=0, ⎧2b -c =0

⇒⎨由⎨ 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，

a +b (x -2) =0. ⎪⎩⎩⋅=0,

∴=(2-x , 1, 2). 依题意cos

π

4

=

1=

222

⇒=.

222(x -2) +5

∴x 1=2+（不合，舍去），x 2=2- . ∴AE=2-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

π

. 4

变式：如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点E ， 连结PE ，则PE ⊥AD.

作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，

所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角 的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，

四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =⨯8⨯4⨯3=96.

（Ⅱ）法1 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系. 通过计算可得P(0，0，3) ， A(23，－3，0) ，B(2，5，0) ，D(－2，－3，0)

所以=(3, -3, -3), =(-3, -8, 0). 因为⋅=-24+24+0=0, 所以PA ⊥BD. 法2：连结AO ，延长AO 交BD 于点F. 通过计算 可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8， 得

13

EO AD

=. 所以Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. AE AB

所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.

因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.

【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能

力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。