稍复杂方程式

课程解读

一、学习目标：

1. 学习解稍复杂的方程。

2. 学习用方程解答稍复杂的实际问题。

二、重点、难点：

1. 学习解稍复杂的方程。

2. 学习用方程解答稍复杂的实际问题。

三、考点分析：

1. 本讲所涉及的考点为“数与代数”中的“式与方程”，这个内容需要我们理解、掌握，会在计算、解决问题中出现。 2. 会用等式的性质解方程。

3. （1）解方程：计算（3—6分）

（2）用方程解决问题：解决问题（6—8分）

知识梳理

解方程的类型：ax±b=c；（a±x ）b =c；ax±bx=c

解决稍复杂的实际问题：

1. 求比一个数的几倍多几（或少几）的数。 2. 解含有两积之和数量关系的实际问题。

3. 解含有“和倍”“差倍”数量关系的实际问题。 4. 解鸡兔同笼的实际问题。

典型例题

方法应用题：

例1. 解方程

思路分析：

1）题意分析：解类型为ax±b=c的方程。

2）解题思路：要先把6x 看成一个整体，求出5×6等于多少。 解答过程：6x+5×6=120 解：6x+30=120 6x=90 x=15

解题后的思考：解稍复杂的方程时，我们可以把方程的某一部分先看成一个整体，将其转化成我们以前学过的方程。

例

2. 思路分析：

1）题意分析：解类型为ax±bx=c的方程。

2）解题思路：通过逆用乘法分配律合并方程中都含有x 的部分。 解答过程：0.3x+4.5x=124.8 解：（0.3+4.5）x=124.8 （逆用乘法分配律） 4.8x=124.8 x=26

解题后的思考：方程中有多个x 时，要将它们合并、转化成我们以前学过的方程。

例

3.

思路分析：

1）题意分析：解类型为（a±x ）b=c的方程 2）解题思路：利用乘法分配律打开括号。 解答过程： 2（x －4.3）=10 解：2x －8.6=10 2x=18.6 x=9.3

解题后的思考：利用乘法分配律打开括号，可以得到含x 的部分，这样就能转化为我们以前学过的方程了。

例4. 西安大雁塔高64米，比小雁塔的2倍少22米。小雁塔

高多少米？（用方程解）

思路分析：

1）题意分析：求比一个数的几倍多几（或少几）的数 2）解题思路：小雁塔的高度是“一倍数”，又是所求，按题目所述顺序列式即可。关系式是：小雁塔高度×2－22米=大雁塔高度

解答过程：

解：设小雁塔高x 米。 2x －22=64 2x=86 x=43

答：小雁塔高43米。

解题后的思考：设“一倍数”为未知数，按照关系式列出符合题意的方程。

例

5.

思路分析： 1）题意分析：“两积之和”问题

2）解题思路：同样多，即数量相等，利用“单价×数量=总价”的关系解题 解答过程：

解：设钢笔和圆珠笔各买了x 支。 （9.8+3.2）x=39 13x=39 x=3

答：钢笔和圆珠笔各买了3支。

解题后的思考：在设未知数时，我们要找到一个有利于我们解决问题的量。

例

6.

思路分析： 1）题意分析：“和差”问题

2）解题思路：科技书的本数是“一倍数”，要先求出它，再求故事书的本数。关系式是：故事书的本数－科技书的本数=50本

解答过程：

解：设科技书有x 本，则故事书有6x 本。 6x －x=50 5x=50 x=10 6x=6×10=60

答：小明家故事书有60本，科技书有10本。 解题后的思考：要找到“一倍数”，设“一倍数”的量为x 。再用含x 的式子表示其他的量，从而列出符合题意的方程。

综合运用题

例7.

思路分析： 1）题意分析：“和倍”问题。

2）解题思路：苹果、橘子的重量都与香蕉有关系。把香蕉看成“一倍数”，先求出香蕉的重量。关系式：苹果的重量+橘子的重量+香蕉的重量=120千克

解答过程：

解：设香蕉的重量是x 千克，则苹果的重量是（2x+5）千克，橘子的重量是（3x －11）千克。

x+2x+5+3x－11=120 6x －6=120 6x=126 x=21 2x+5=2×21+5=47 3x －11=3×21－11=52

答：香蕉21千克，苹果47千克，橘子52千克。

解题后的思考：要找到“一倍数”，设“一倍数”的量为x 。再用含x 的式子表示其他的量，从而列出符合题意的方程。

思维突破题

例

8.

思路分析： 1）题意分析：“鸡兔同笼 ”问题

2）解题思路：隐含条件：鸡有2只脚，兔有4只脚。利用假设法。关系式：鸡的脚+兔的脚=94只脚

解答过程：

解：设兔有x 只，那么鸡就有（35－x ）只。 4x+2（35－x ）=94 4x+70－2x=94 2x+70=94 2x=24 x=12

35－x=35－12=23

答：鸡有23只，兔有12只。

解题后的思考：这类题有时不会明说每只鸡、兔各有多少只脚，我们要知道这是隐含条件。可以采用假设法进行解题。

提分技巧

1. 解方程时要利用乘法分配律或把一部分先看成一个整体，将稍复杂的方程转化成我们以前学过的方程。

2. 列方程解决问题一般是将表示一倍或一份的数设为未知数，然后再去求其他的量。 3. 注意隐含条件。

4. 计算要正确，注意检验。

预习导学

一、预习新知

认真看书，梳理一下第四单元的主要内容。

二、预习点拨

思考：每个内容都需要我们注意些什么？

同步练习（答题时间：45分钟）

一、填空。

1. x的3倍比20多3，列方程为（ ）。 *2. 3（x －4.1）=7.5的解是（ ）。

*3. 一个数的6倍比它本身大32.5，这个数是（ ）。

4. 学校作文班有38人，比奥数班人数的2倍少6人，奥数班有（ ）人。

5. 香蕉每千克a 元，橘子每千克4.2元，妈妈买了4千克香蕉和3千克橘子共付了27.8元，香蕉每千克（ ）元。

二、选择。（将正确答案的序号填在括号里） *1. 方程5x －1.3×2=71.4的解可能（ ）。 A. >14 B.

2. 与方程6m+4m－32=333的解相同的方程是（ ）。 A. x+6=10.6 B. （2.8+x）×4=41.6 C. 8x－6.3×4=266.8 3. 爸爸今年35岁，比小红年龄的5倍还大5岁，小红今年（ ）岁。 A. 6 B. 5 C. 8

*4. 一个数的4倍减去这个数的一半，差是66.4，这个数是（ ）。 A. 1.84 B. 0.805 C. 3.22 *5. x与1.5的和的3倍是20.1，可列方程（ ）。 A. 3x+1.5=20.1 B. 3（x+1.5）=20.1 C. x+1.5×3=20.1

*三、根据方程补充条件或问题，然后再求出方程的解。

1. 启明小学有学生2500人，比育英小学的2倍少280人，________________？

2x －280=2500

2. 一斤樱桃的价钱是28元，比一斤苹果的4倍多5元，__________________？ 4x+5=28

3. 饲养场有鸡和鸭共2400只，____________________，鸭子有多少只？ 7x+x=2400

4. 长方形的周长是54米，长是宽的2倍，_________________？ （2x+x）×2=54

四、列方程解决问题。

1. 一块林地中的杨树比柳树多48棵，杨树的棵数是柳树的4倍。林地有杨树多少棵？ 2. 学校阅览室有科技书174本，科技书的本数比故事书的4倍多26本。阅览室有故事书多少本？

3. 小丽和小明同时从相距960米的两地相对而行。小丽每分钟走58米，小明每分钟走62米。经过几分钟两人相遇？

*4. 将一袋糖果分给小朋友，若每人5颗，则余12颗，若每人6颗，则差6颗，问有多少个小朋友？

试题答案

一、填空。

1. x的3倍比20多3，列方程为（3x －20=3）。 *2. 3（x －4.1）=7.5的解是（x=6.6）。

解析：括号里一定要填上“x=”。

*3. 一个数的6倍比它本身大32.5，这个数是（6.5 ）。

解析：“它本身”指的这个数还是。列出方程6x －x=32.5即可解答。 4. 学校作文班有38人，比奥数班人数的2倍少6人，奥数班有（22）人。

5. 香蕉每千克a 元，橘子每千克4.2元，妈妈买了4千克香蕉和3千克橘子共付了27.8元，香蕉每千克（3.8）元。

二、选择。（将正确答案的序号填在括号里） *1. 方程5x －1.3×2=71.4的解可能（ A ）。 A. >14 B.

解析：要先求出方程的解再比较大小。∵x=14.8，∴14.8>14 2. 与方程6m+4m－32=333的解相同的方程是（ C ）。 A. x+6=10.6 B. （2.8+x）×4=41.6 C. 8x －6.3×4=266.8 3. 爸爸今年35岁，比小红年龄的5倍还大5岁，小红今年（ A ）岁。 A. 6 B. 5 C. 8

*4. 一个数的4倍减去这个数的一半，差是6.44，这个数是（ A ）。 A. 1.84 B. 0.805 C. 3.22 解析：“这个数的一半”用0.5x 表示。

*5. x与1.5的和的3倍是20.1，可列方程（ B ）。 A. 3x+1.5=20.1 B. 3（x+1.5）=20.1 C. x+1.5×3=20.1 解析：“和的3倍”要先求出和再乘3，要加小括号。

*三、根据方程补充条件或问题，然后再求出方程的解。

1. 启明小学有学生2500人，比育英小学的2倍少280人，？

2x —280=2500 x=1390

解析：方程根据“比育英小学的2倍少280人”而列，要设“一倍数”为未知数，所以补充问题为育英小学有多少人。

2. 一斤樱桃的价钱是28元，比一斤苹果的4倍多5元，？

4x+5=28 x=5.75

解析：方程根据“比一斤苹果的4倍多5元”而列，要设“一倍数”为未知数，所以补充问题为一斤苹果多少钱。

3. 饲养场有鸡和鸭共2400只，，鸭子有多少只？

7x+x=2400 x=300

解析：设鸭子有x 只，那么7x

4. 长方形的周长是54米，长是宽的2倍，？

（2x+x）×2=54 x=9 解析：因为长方形周长=（长+宽）×2，又因为“长是宽的2倍”，所以2x 表示的是“长”，那么x 表示的就是“宽”。所以补充问题为宽有多长。

四、列方程解决问题。

1. 一块林地中的杨树比柳树多48棵，杨树的棵数是柳树的4倍。林地有杨树多少棵？ 解：设林地有柳树x 棵，则杨树有4x 棵。 4x －x=48 x=16 4x=4×16=64

答：林地有杨树64棵。

2. 学校阅览室有科技书174本，科技书的本数比故事书的4倍多26本。阅览室有故事书多少本？

解：设故事书有x 本。 4x+26=174 x=37

答：阅览室有故事书37本。

3. 小丽和小明同时从相距960米的两地相对而行。小丽每分钟走58米，小明每分钟走62米。经过几分钟两人相遇？

解：设经过x 分钟两人相遇。 （58+62）x=960 x=8

答：经过8分钟两人相遇。

*4. 将一袋糖果分给小朋友，若每人5颗，则余12颗，若每人6颗，则差6颗，问有多少个小朋友？

解析：无论怎么分，糖果的总颗数不变。 解：设有x 个小朋友。 5x+12=6x－6

5x+12－5x=6x－6－5x 12=x－6 x=18

答：有18个小朋友。