三角函数公式及重点考察知识点总结
三角函数及解三角形
考试要点:
一、 三角函数的角表示方法及三角函数象限角判断. 二、 特殊三角函数值的熟练掌握.
三、 三个三角函数图像的应用(即:y =sin x ,y =cos x ,y =tan x ) 、诱导
公式及图像伸缩平移变化.
四、 和差角公式的应用及倍半角公式的转化;辅助角公式的应用. (作
为考察重点,一般转化为y =A sin (ωx +φ) +k 或y =Acos(ωx +ϕ) +k 的式)
五、 正弦定理、余弦定理的使用.
1.1三角函数在各象限的符号:(一全正,二正弦,三正切,四余弦)
余弦、正割
正切、余切
正弦、余割
形如y =A sin (ωx +ϕ) 的函数,最小正周期为T =类比:
2π
ω
.
- 1 -
单调性:y =sin x 在⎡2k π-π, 2k π+π⎤(k ∈Z )上单调递增,在⎡2k π+π,2k π+3π⎤(k ∈Z )
⎢⎣
2
2⎥⎦
⎢⎣
2
2⎥⎦
单调递减.
1.4伸缩变化问题 变换方法如下两种: (1)先平移后伸缩
→ 由y =sin x 的图象平移ϕ个单位长度
→ 得y =sin(x +ϕ) 的图象−−−−−−−−−1
(纵坐标不变) 横坐标伸长(01)
向左(ϕ>0)或向右(ϕ
ω
→ 得y =sin(ωx +ϕ) 的图象−−−−−−−−−为原来的A 倍(横坐标不变) → 得y =A sin(ωx +ϕ) 的图象平移k 个单位长度
得y =A sin(x +ϕ) +k 的图象. (2)先伸缩后平移
向上(k >0) 或向下(k
纵坐标伸长(A >1) 或缩短(0
→ 由y =sin x 的图象−−−−−−−−−为原来的A 倍(横坐标不变)
纵坐标伸长(A >1) 或缩短(0
→ 得y =A sin x 的图象−−−−−−−−−1
(纵坐标不变)
横坐标伸长(01)
ω
向左(ϕ>0) 或向右(ϕ
→ ϕ得y =A sin(ωx ) 的图象
平移
ω
个单位
→得y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象. 得y =A sin x (ωx +ϕ) 的图象平移k 个单位长度
π⎫
例1 将y =sin x 的图象怎样变换得到函数y =2sin ⎛ 2x +⎪+1的图象.
⎝
4⎭
π⎫π
x +解:(方法一)①把y =sin x 的图象沿x 轴向左平移个单位长度,得y =sin ⎛ ⎪
4⎭
向上(k >0) 或向下(k
4⎝
π⎫1
2x +⎪的图象;③将的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的,得y =sin ⎛
2⎝
4⎭
π⎫
所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y =2sin ⎛ 2x +⎪的图象;④最后把所得
⎝
4⎭
图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y =2sin 2x +⎪+1的图象.
4
⎭
⎛⎝
π⎫
(方法二)①把y =sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y =2sin x 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的,得y =2s i n2x 的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移个单位长度得y =2sin 2 x +⎪的图象;④最后把图象沿y 轴向上平
8
⎭
- 2 -
12
π8⎛⎝
π⎫
移1个单位长度得到y =2sin ⎛ ⎝
2x +π⎫
4⎪⎭
+1的图象.
例:把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),然后把图象向左平移个单位,则所得到图象对应
的函数解析式为( ) A 、
B 、
C 、
D 、
1.5和差角公式、倍半角及辅助角公式.
●两角和差公式
(1)cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β (记忆:C+ =CC-SS (2)cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β (C- = CC+SS (3)sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β ( S+ =SC+CS (4)sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β (S- =SC-CS (5)tan(α+β) =tan α+tan βT +T 1-tan αtan β (T+=1-TT
) (6)tan(α-β) =tan
α-tan βT -T 1+tan αtan β
T -=
1+TT
●●倍角公式与半角公式 (1)sin 2α=2sin αcos α
(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α (3)tan 2
α=
2tan α1-tan 2α
辅助角公式 :
,其中
。
- 3 -
) ) ) )
【例1】已知函数f (x ) =sin(2x +
π
3
) +sin(2x -
π
3
) +2cos 2x -1, x ∈R .
(Ⅰ)求函数f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数f (x ) 在区间[-
ππ
, ]上的最大值和最小值. 44
1.6解三角形
1、三角形中常见的边角关系 (1)A ﹢B ﹢C = π,A ﹢B = π﹣C ,(2)(3)
,,
,
,
。 。
。
2、正弦定理:===2R (R 为三角形外接圆的半径) 。
【注意】3、余弦定理:
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A = cos B = cos c =
2bc 2ac 2ab
。
4、射影定理:
2
2
。
2
5、面积公式:S =ah a =ab sin C =r (a +b +c ) ,(其中r 为三角形内切圆半径)。
6、三角形中,大边对大角,大角对大边。
【例1】已知a , b , c 分别为∆ABC 三个内角A , B , C
的对边,
a cos C sin C -b -c =0
(1)求A (2)若a =2,∆ABC 的面积为3;求b , c .
- 4 -