有理数计算运算技巧讲解
初一数学竞赛选讲 有理数的巧算(一)
有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. 1.括号的使用
在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.
例2 计算下式的值:
211×555+445×789+555×789+211×445.
分析 直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算. 解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000.
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3 计算:S=1-2+3-4+…+(-1) n+1·n .
分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1) n+1·n . 下面需对n 的奇偶性进行讨论:
当n 为偶数时,上式是n /2个(-1)的和,所以有
当n 为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有
例4 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,和总为奇数,故最小非负数不小于1.
现考虑在自然数n ,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0. 这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.
所以,所求最小非负数是1.
说明 本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化. 2.用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4
22
=100-2.
这是一个对具体数的运算,若用字母a 代换100,用字母b 代换2,上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b 2.
于是我们得到了一个重要的计算公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2, ①
这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.
例5 计算 3001×2999的值. 解 3001×2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999. 例6 计算 103×97×10 009的值.
解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919. 例7 计算:
分析与解 直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母n=12 34345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为n 2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得
n 2-(n2-12)=n2-n 2+1=1,
即原式分母的值是1,所以原式=24 690. 例8 计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
分析 式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(.
解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1.
237-2n
1、若单项式-4x m -2y 3与单项式x y 能合并成一项,求m 2+n 2-2m -2n 的值.
3
()
2、设P=a +3ab +b ,Q=a -3ab +b 且P -[Q-2P -(-P -Q )]+R=a +2ab +b ,求R . 3、计算:
222222
351x -5) -3(2x 4-3x 2+x -2) 的值,此时x=- 462
1332332
②求a -3a b +2ba -{2b -2[2a +(b a -3ab )]}-b 的值,此时a=2,b=3.
3
①求(2x -3x +
4
3
1、 求代数式10x +9x +8x +7x +6x +5x +4x +3x +2x +1,当x=-1时的值时由于将式子中某两项的“+”
号看成了“-”号,算出的结果为7,看错的是哪几项? 2、 多项式5u v +3x y +u
7
5
3
m n
m
n
2m +n n +1
98765432
v
-4x n -1y 2m -4(其中m 、n 为正整数)化简后为三项式,求mn 的值。
3、 已知y =ax +bx +cx +dx +e ,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数,当x=2时,y=23;当x=-2时,y=-35。求e 。 4、 已知ax +bx +cx +dx +e =(x -2) ,求值:(1)e (2)a+c
222
x +2y =23x +6y +4()x +1-1= x +1=55、若 ,求代数式的值。 6、若,则
4
3
2
4
x +y x -y x -y
-2==22
2x +10y =7、若x +3x +5=4,则 8、 若x +y ,则x -y x +y
9、某企业去年的年产值为a 亿元,今年比去年增长了10%。如果明年还能按这个速度增长,请你预测一下,该企业明
年的年产值能达到多少亿元?如果去年的年产值是2亿元,那么预计明年的年产值是多少亿元? 10、计算 (2x -3y ) +(5x +4y ) 11、计算(8a -7b ) -(4a -5b )
1112
12、计算3xy -4xy -(-2xy ) 13、计算-ab -a 2+a 2-(-ab )
3433
14、计算(-x +2x 2+5) +(4x 2-3-6x ) 15、计算(3a 2-ab +7) -(-4a 2+2ab +7) 16、化简求值:5(3a 2b -ab 2) -(ab 2+3a 2b ), 其中a =
11, b =. 23
17、一个多项式A 加上3x 2-5x +2得2x 2-4x +3,求这个多项式A.
18、已知m ,n 为系数,且mx 2+2xy -x 与3x 2-nxy +3y 的差不含有二次项,求m , n 的值
19、试证明(x 3+3x 2y -2xy 2+1) +(x 3-4x 2y +3xy 2-10) +(-xy 2+x 2y -2x 3+3) 的值与x 、y 无关 20、计算(2x 2-
11
+3x ) -4(x -x 2+) 21、计算3x 2-[7x -(4x -3) -2x 2] 22
22、化简求值:(-x 2+4x +5) +(5x -4+2x 2), 其中x =-2. 23、已知A=x 2-7x -2, B=-2x 2+4x -1,求2A+B,B -3A 的值. 24、若整式x 2+x +3的值为7,那么整式2x 2+2x -3的值是___________.
25、若关于x 的多项式3x 2-2x +b 与多项式x 2+bx -1的和不含有一次项,求b 的值,并说明不论x 取什么值时候,两个多项式的和是正数.
26、一根弹簧长10cm ,每挂重1kg ,弹簧长度伸长0.2cm
①写出挂重物G kg时弹簧的长度; ②当挂重物为2kg 时,弹簧的长度是多少? 27、如果多项式x 4-(a -1) x 3+5x 2-(b +3) x -1不含x 3和x 项,则a=___,b=____ 28、多项式(a -4) x 3+(a +2) x 2+x +1是关于x 的二次多项式,则a 2+29、13、求5a b -2[3a b - (4a b 2+1a b)] -5a b 2的值,其中a =1,b=-2
2
2
3
1
=______ 2a
30、计算 ①(a 3-2a 2+1)-2(3a 2-2a+) ②x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2) 31、已知ab=3,a+b=4,求3a b -[2a - (2ab-2b)+3]的值。 32、13、求5a b -2[3a b - (4a b 2+a b)] -5a b 2的值,其中a =,b=- 33、若(x +a x -2y +7)―(bx 2―2x +9 y -1) 的值与字母
2
12
121223
x 的取值无关,求a 、b 的值。
34、已知:A=5a2-2b2-3c2, B=-3a2+b2+2c2, 求2A-3B
35、某股票交易中,每买卖(交易) 一次需交7.5‟的各种费用. 某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股,当股票涨到12元时,全部卖出,该投资者实际盈利 元; 36、根据下列5个图形及相应点的个数的变化
规律:猜想第6个图形有 个点,第n 个图形中有 个点.
14题
37、如图用火柴摆去系列图案,按这种方式摆下去, 当每边摆10根时(即n =10)时,需要的火柴棒总 数为 根;
2238、已知,,求下列各式的值。
A =x -2xy B =y +3xy
① 2A+3B ②
2A-3B
39、化简(32a -3b ) -(a -b ) -4(2a -3b ) -4(a -b )
40、化简3(a -b ) +(a +b ) +41、求值
a -b a +b a -b
-- 236
3
① 已知m 2+m +1=0,则(3m 2-2m ) -2(m 2-m ) +1=______________
2
② 若整式x 2+x +4的值为8,那么整式2x 2+2x -5的值是___________ ③ 已知a -b =-3, c +d =2, 则(b +c ) -(a -d ) 为______________________ ④ 已知m -2n =-2, 求-3-2m +4n 的值。
42、若-3a |m |b 3是四次单项式,则m=___________若(m -1) a |m |b 3是四次单项式,则m=___________
43、若5a 3|m |+1-2b -10是七次多项式,则m 2+m =_________
45、多项式(a -4) x 3-x b +x -b 是关于x 的二次三项式,求a 与b 的差的相反数。
,3,5,7,9 排成如下数表: 47、1、将连续奇数1
(1)十字框中5个数字和与23这个数字有何关系? (2)设中间数为a ,用a 的代数式表示这5个数字之和;
(3)当十字框上下左右平移,可框住5个数字,这5个数字还有这种关系吗?为什么? (4)十字框中5个数字之和可以等于2006吗?若能,写出这5个数;若不能,为什么? 48、观察下面三行数:
第①行: -2, 4, -8, 16, -32, 64, „; 第①行: 0, 6, -6, 18, -30, 66, „; 第①行:-1, 2, -4, 8, -16, 32, „ (1) 第①行数按什么规律排列?
(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3) 取每行数的第10个数,计算这三个数的和。 49、观察下列各式:
152=1⨯(1+1) ⨯100+52=225 252=2⨯(2+1) ⨯100+52=625 352=3⨯(3+1) ⨯100+52=1225
„„
依此规律,第n 个等式(n 为正整数)为 _________________________ .
50、黑猫和白猫都认为自己跑得快,刚好它们看到地上有如图(1),(2),(3)的圆,他们决定比赛,比赛规则是:黑猫沿大圆跑,白猫沿小圆跑,要求从A 点出发,不重复发跑完全部路线,设大圆的半径为R ,说也奇怪,两只猫同时出发,最后都同时回到A 点,
(1)请你判断哪只猫跑得快?为什么?
(2)两只猫对你的判断不满意,决定到图(2)再比赛一次,请你猜一猜,哪只猫先回到A 点?
(3)当两只猫的比赛路线从两个圆变化到n 个圆,如图(3)(圆由大到小,且圆与圆之间的位置关系不变)时,哪只猫先回到A 点?为什么?
A
(1
)(2)(3)
51、一种笔记本售价为2.3元/本, 如果买100本以上(不含100本), 售价为2.2元/本, 列式表示买n 本笔记本所需要的钱数(注意对n 的大小要有考虑), 请同学们讨论一下问题:
① 按照这种售价规定,会不会出现多买比少买反而少付钱的情况? ② 如果需要100本笔记本,怎么购买能省钱?
52、先化简再求值。
3x 2+(2x 2-3x )-(-x+5x2),其中x=314。
53、已知x 2-xy =60, xy -y 2=40, 求代数式x 2-y 2和x 2-2xy +y 2的值 55、先合并同类项,再求值:3x 2+2x-x2-3x+5,其中x=
1 2
13
x-)+2x2]. 42
56、化简(-a 3+2a2)-(4a 2-3a+1). 57.化简(4a 2-3a+1)-3(-a 3+2a2). 58、化简3(a 2-4a+3)-5(5a 2-a+2). 59、化简3x 2-[5x-2(
60、合并同类项:
22222
⑴3x -1-2x-5+3x-x ⑵-0.8a b-6ab-1.2a b+5ab+ab ⑶
2213
a -ab +a 2+ab -b 2 ⑷6x 2y+2xy-3x2y 2-7x-5yx-4y 2x 2-6x 2y 324
61、(本题不允许出错误)去掉下列各式中的括号 (1)(a +b )+(c +d )=_______________ (2)(a-b)-(c -d )=_____________
(3)-(a +b )+(c -d )=_________________ (4)-(a -b )-(c -d )=_________________ (5)(a+b) -3(c -d )=_____________________ (6)(a +b )+5(c -d )=_______________________ (7)(a -b )-2(c +d )=___________________ (8)(a -b -1)-3(c -d +2)=_______________ (9)0-(x -y -2)=__________________ 62、先去括号,再合并同类项
2222
(1)8x +2y +2(5x -2y )(2)3a -(4b -2a +1)(3)7m +3(m +2n )(4)(x -y )-4(2x -3y ) 63.先化简,再求值4(y +1)+4(1-x )-4(x +y ),其中,x =
2
2
2
114
,y =。 73
64、先化简,再求值4a b -[3ab-2(3a b -1)],其中a =-0.1,b =1。
65、根据下面所给a 的值,求代数式a 2-2a +1的值。
(1)a =1 (2)a =-1 (3)a =0 (4)a =-0.5 66、当x =1,y =-6时,求下列代数式的值。
(1)x 2+y 2 (2)(x +y )2 (3)x 2-2xy +y 2
67、有一个两位数,十位上的数字为a ,个位上的数字比十位上的数字大5,用代数式表示这个两位数,并求当a =3时,这个两位数是多少?
68、已知y =ax 2+bx +3,当x =-3时,y =-7,试求x =-3时,y 的值。
69、已知a 2+5ab =76,3b 2+2ab =51,求代数式a 2+11ab +9b 2的值。 70、已知
x x x +y +z =2,=4,z =1,求代数式的值。
z y x -y +z
71、一个堤坝的截面是等腰梯形,最上面一层铺石块a 块,往下每层多铺一块,最下面一层铺了b 块,共铺了n 层,
共铺石块多少块?当a =20,b =40,n =17时,堤坝的这个截面铺石块多少块? 72、从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下表:
N 个最小的连续偶数相加时,它们的和S 与n 之间有什么样的关
系?用公式表示出来,并由此计算下列各题。
(1) 2+4+6+8+„+202
(2) 126+128+130+„+300
73、保险公司赔偿损失的计算公式为:保险赔款=保险金额×损失程度;
损失程度= ×100%;若某人参加保险时
的财产价值200000元,受损时,按当时市场价计算总值150000元,受损后残值30000元,请你计算一下,该投保户能获得多少保险赔偿?
74、已知2m2 - m +1的值为4, 则代数式6 - 4m2 + 2m 的值为______
75、计算:-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3). 76、求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差。 77、在多项式m4-2m2n2-2m2+2n2+n4中,添括号:
(1)把四次项结合,放在前面带有“+”号的括号里; (2)把二次项结合,放在前面带有“-”号的括号里。 78、已知2x+3y-1=0,求3-6x-9y 的值。
79、把多项式x3-6x2y+12xy2-8y3+1,写成两个整式的和,使其中一个不含字母x 。 80、设x2+xy=3,xy+y2=-2,求2x2-xy-3y2的值。
81、先化简,后求值(4x -2y ) -[-2(x -y ) +(2x +y ) ]-4x ,其中x =0,y =-3 ; 82、先化简,再求值:
111
(-4x 2+2x-8y)- (-2y), 其中x=,y=2006 ; 422
83、计算 1+
⎛1
⎝313⎫2003
-2. 75⎪⨯(-24)+(-1)--2 8⎭
84、爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7﹪) ,3年后能取5405元,那么刚开
始他存入了多少元?
1131
89、先化简,后求值x -2(x -y ) +(-x +y ) ,其中x =-1,y =2 ;
2323
90、先化简,后求值(4x -2y ) -[-2(x -y ) +(2x +y ) ]-4x ,其中x =0,y =-3 ; 91、已知x=-
1222
,求代数式x —(2x—5) —(x+3)的值 2
22222
93、先化简,后求值5ab -2a b -[3ab -(4ab -2a b )] ; 其中a =-
{}
21,b =-1 ; 32
94、先化简,后求值2(a2+ab 2) -2(a2b -1) -2ab 2+a -2,其中a =-2,b =2 ; 98、先化简,后求值 3(x -y ) -2(x +y ) +2 其中x =-1, y =
3
5
99、先化简,后求值:3(ab+bc) -3(ab-ac) -4ac -3bc 其中:a =2001/2002,b =1/3,c =1。