数学必修二第一章知识点总结+习题
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台; 常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 (2)简单组合体的构成形式:
一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图1.1-11中(1)(2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中(3)(4)物体表
练习1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
2、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱ABCDE A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱
'
'
'
'
'
AD '
几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥P -A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台P -A B C D E
几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
练习2.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
3. 空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义:
正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
练习3.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )
A. 棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对
主视图 左视图 俯视图
练习4.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).
'
'
'
'
'
' ' ' ' '
练习5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成;
图(2)中的三视图表示的实物为_____________。
图(1) 图(2)
练习6.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位
),则该几何体的表面积及体积为:
2
2
A. 24πcm ,12πcm B. 15πcm ,12πcm C. 24πcm ,36πcm 4、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
斜二测画法的基本步骤:①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系∠x ' O ' y ' ,使∠x ' O ' y ' =45(或135),注意它们确定的平面表示水平平面;
2222
③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X 轴,且长度保持
‘
不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y 轴,且长度变为原来的一半;
用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
练习7.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误的是( ). ..A .用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B .几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C .水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆
练习8.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A . 2+
‘
2 B.
1+22+2
C. D. 1+2 22
5、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;S 侧面=2π⋅r ⋅l
⑵圆锥侧面积:S 侧面=π⋅r ⋅l
12图中:扇形的半径长为l ,圆心角为θ,弧AB 的长
扇形面积S 扇形 弧长 半径
L θ∙l (注:扇形的弧长等于圆心角乘以半径. 提醒圆心角
π
为弧度角,例如60° 3
ππ45° 90° 弧度等等)
42
⑶圆台侧面积:S 侧面
=π⋅r ⋅l +π⋅R ⋅l 练习9.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
6体积公式:
V 柱体=S ⋅h
1
V 锥体=S ⋅h
31
V 台体=h S 上+S 下
3
()
练习10.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1:V 2=
A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1
练习11.在△ABC 中,AB =2, BC =1.5, ∠ABC =1200, 若使绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )
A.
9753π B. π C. π D. π 2222
练习12.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )
A
.
R 3 B
.R 3 C
.R 3 D.R 3 248248
练习13.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,
EF //AB , EF =
3
, 且EF 与平面ABCD 的距离为2,2
C 则该多面体的体积为( )
A .
915 B.5 C.6 D. 22
练习14.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,
圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( ) A .7 B.6 C.5 D.3 7. 球的表面积和体积 S 球=4πR ,V 球=
2
43πR . 3
练习15.若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________。 练习16.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3, 4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A .25π B.50π C.125π D.都不对
练习17.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )
A
B
2 C
.
练习18(如图)在底半径为2,母线长为4
求圆柱的表面积