排列组合与概率

排列组合与概率（有答案）

1、从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是 ( ) A ．A 与C 互斥 C ．B 与C 互斥 答案 A

2、位于西部地区的A ，B 两地，据多年来的资料记载：A ，B 两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A 地为雨天B 地也为雨天的概率是( )

1 71 3

1434

B ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥

解析 由题意知P (A ) ＝0.06，P (B ) ＝0.08，P (AB ) ＝0.02， P (AB )0.021

∴P (B |A ) ＝P (A )0.063答案 C

3、某厂生产的零件外直径ξ～N (8,0.152)(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )

A ．上、下午生产情况均正常 B ．上、下午生产情况均为异常

C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常

解析 由ξ～N (8,0.152) 知，μ＝8，σ＝0.15， ∴μ－3σ＝8－3×0.15＝7.55， μ＋3σ＝8.45.

∵7.9∈(7.55,8.45)，而7.5∉(7.55,8.45)， ∴上午生产情况正常，下午生产情况异常． 答案 C

1111

的值的程序框图，其中 +++ +

2462014

判断框内应填入的是( B )

A ．i ≤2013 B ．i ≤2015 C ．i ≤2017 D ．i ≤2019 5、对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1) ，(x 2，4、如图给出的是计算

y 2) ，„，(x n ，y n ) ，则下列说法中不正确的是( )

^^^

A ．由样本数据得到的回归方程为y ＝b x ＋a 必过样本点的中心(x ，y )

B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好 D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 解析：相关指数R 2越大，模型的拟合效果越好，故C 不正确． 答案：C

6、箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )

C 3C 153453431· B ．C 14×(× C ．() × D. C 5999954

解析 由题意知，前3次取得黑球，第4次取得白球，因为是有放回的取球，故所求概54率为() 3×99

答案 C

1

7、某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概

2率为( )

[1**********]

A ．C 36() B ．A 4( C ．C 4() D ．C 4() 2222

213

解析 射击6次命中3次恰有2次连续命中有A 24种可能．因此，所求概率为P ＝A 4((1－2

1316＝A 24. 22

答案 B

8、直线l 1：x ＋3y-7＝0、l 2：kx- y-2＝0与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 等于( B )

A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．6

9、三名学生与两名老师并排站成一排。如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有（ D ）种。

(A )60(B )48

2

2

(C )36(D )24

10、设点P (x , y ) 是圆x +y =1外一点，PS , PT 是圆的两条切线，S , T 是切点。则

PS ⋅PT 的最小值为（ D ）

A ．1

B ．-1

C ．3-2

D ．22-3

10、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )

2⎫

A ．⎛⎝31⎭

1⎫

B ．⎛⎝31⎭

20，⎫ C ．⎛⎝3⎭[答案] B

1

0，⎫ D ．⎛⎝3⎭

34,

[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p (1－p ) ＋p 2个引擎飞机成功飞行的概率为

1342

p 2，要使C 3p (1－p ) ＋p >p ，必有

3

11、已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2) ，若P (ξ＞2) ＝0.023，则P (－2≤ξ≤2) ＝__________.

解析：由题意可知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2) ，所以正态分布密度曲线关于ξ＝0对称，又P (ξ＞2) ＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2) ＝1－P (ξ＞2) －P (ξ＜－2) ＝1－0.023－0.023＝1－0.046＝0.954.

答案：0.954 12

、8

的展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）。

c

13、设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k) ＝，k ＝1,2,3，c 为常数，则P(0.5＜ξ＜2.5) ＝

k (k ＋1)__________.

11134⎛＋解析：1＝c 1×22×33×4，故c ＝.

3⎝⎭4228

所以P(0.5＜ξ＜2.5) ＝P(ξ＝1) ＋P(ξ＝2) ＝＋.

3998答案：

9

14、若(1－5x) 9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋„＋a 9x 9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a9|＝__________.

解析：设(1＋5x) 9＝a 0－a 1x ＋a 2x 2－„－a 9x 9， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a9|＝69. 答案：69

16、一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3) 个白球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率为p .

3

(1)当p ＝时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X 的均值E (X ) ；

5(2)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续四次取球(每次只取一个球) ，在四次取球中恰好两8

次取到红球的概率大于，求p 与n 的值．

27

33

解 (1)由P ＝＝，得n ＝5，

5n ∴5个球中有3个红球，2个白球．

C 31从袋中不放回的取3个球，其中取到白球的个数X 的取值为0,1,2，且P (X ＝0) ，

C 510

12C 2C 13C 3C P (X ＝1) ＝，P (X ＝2) ＝.

C 55C 510

1336∴E (X ) ＝0×＋1×2.

105105

228(2)由题设知，C 2. 4p (1－p ) >27

2

∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p

912

p

331又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，p ＝.

2

17、在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分

2

别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(x -2, x -y ) ，记ξ=OP ．

（I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

（I ） x 、y 可能的取值为1、2、3，„„„„„„„1分

∴x -2≤1，y -x ≤2，

∴ξ=(x -2) 2+(x -y ) 2≤5，且当x =1, y =3或x =3, y =1时，ξ=5．

因此，随机变量ξ的最大值为5 „„„„„„„„„3分 有放回摸两球的所有情况有3⨯3=9种∴P (ξ=5) =

2

„„„6分 9

（Ⅱ）ξ的所有取值为0,1, 2, 5．

ξ=0时，只有x =2, y =2这一种情况．

ξ=1时，有x =1, y =1或x =2, y =1或x =2, y =3或x =3, y =3四种情况，

ξ=2时，有x =1, y =2或x =3, y =2两种情况．

∴P (ξ=0) =

142

，P (ξ=1) =，P (ξ=2) =„„„„„„„„„„8分

999

则随机变量ξ的分布列为：

„„„„„„10分

因此，数学期望E ξ=0⨯

1422

+1⨯+2⨯+5⨯=2„„„„„„„12分 9999

18、某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A ，B ，C ，D ，E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项考试都是相互独立的，该考生参加A ，B ，C ，D 四项考试12

23

(1)求该考生被录取的概率；

(2)记该考生参加考试的项数为X ，求X 的分布列．

．解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记A ＝{前四项均合格且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格且第五项合格}，

⎡1⎤4⎡21

则P(A)＝⎢⎥×⎢1－＝，

⎣2⎦⎣3⎦48

1⎡13211

P(B)＝C 4×⎢1－＝2⎣2⎦312又A 、B 互斥，故所求概率为 115

P ＝P(A)＋P(B)＝＋.

481248

(2)该考生参加考试的项数X 可以是2,3,4,5. 111

P(X＝2) ＝

224

11111⎛P(X＝3) ＝C 2 1－× ⎝2⎭2241⎛12131⎛P(X＝4) ＝C 3 1－× ×＝ ⎝2⎭⎝2⎭2161135

P(X＝5) ＝1＝441616X 的分布列为

19、我校随机抽取100名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

0.6. (1)请将上表补充完整(不用写计算过程) ：

(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．

(3)从学习积极性高的同学中抽取2人继续调查，设积极参加班级工作的人数为X ，求X 的分布列和期望．

解：

(1)

(2)假设学生的学习积极性与对待班级工作的态度无关，由上表 100×(40×30－10×20)2K ＝

50×50×60×40

2

100×1 0002＝50×50×60×40≈16.667＞10.828.

故假设不成立，在犯错误概率不超过0.001的条件下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关．(9分)

(3)X的所有可能取值为0,1,2， C 2P(X＝0) ＝

C 50C 1C 110·40

P(X＝1) ＝

C 50

C 2P(X＝2) ＝C 50X 的分布列为

C 2C 1C 1C 2·E(X)＝0×1×＋2×1.6.(14分)

C 50C 50C 50

20、已知(x -

12x

) 2n 展开式中偶数项二项式系数的和比(1+x ) n 展开式的各项

系数和大112． （Ⅰ）求n 的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，求(1-x ) 2n 展开式中系数最大的项； （Ⅲ）在（1）的条件下，求(x -（1）2

2n -1

12x

) 2n 展开式中的所有的有理项．

=2n +112，22n -2⨯2n -224=0，解得n =4……..4分

2n

（2）由n =4, (1-x )

=(1-x ) 8从而(1-x ) 8展开式中系数最大的项是：

T 5=C 84(-x ) 4=70x 4 „„„„„„„„8分

（Ⅲ）设有理项为第r+1项，则 T r +1=C x

r

8

8-r 3

1r -31

.(-) x =(-) r C 8r x 22

r

8-2r

3

⎧8-2r 3∈z ⎪8-2r 令 ∴r =4-k ∴⎨3=k

23⎪⎩0≤r ≤8, r ∈z

r ∈Z , k 应为偶数，k =2, 0, -2，即r =1, 4, 7

所以第2项，第5项，第8项为有理数，它们是

135，1111

T 2=C 8(-) x 2=-4x 2，T 5=C 84(-) 4x 0=T 8=(-) 7x -2=-x -2…..13 分

228216

21、已知圆C 的圆心在直线

l :3x -y =0上，且与直线l 1:x -y +4=0相切。

（1）若直线x -y =0截圆C 所得弦长为26，求圆C 的方程。 （2）若圆C 与圆x 2+y 2-4x -12y +8=0外切，试求圆C 的半径。

（3）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l 1相切，我们称l 1是这些圆的公切线。这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由。 解：设圆C 的圆心坐标为(a ,3a

) ，则它的半径r =

=-2

(1) C 到直线x -y =

0的距离d =

=，因而圆C 截该直线所得弦长为

，

===

1 ∴a =, r =-2=

4圆C 的方程为(x -) +(y -) =

1

4

2

34

2

49 8

（2

=-2=，因为两圆外切，所以

=r +r =