指数与对数运算

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1、错误！未找到引用源。的值是（ ） A 、错误！未找到引用源。 B 、1 C 、错误！未找到引用源。 D 、2

a b c

2、设a ，b ，c 都是正数，且3=4=6，那么（ ） A 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 C 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

p

3、若a ＞1，b ＞1，p=错误！未找到引用源。，则a 等于（ ） A 、1 B 、b C 、log b a D 、a b a

4、设x=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。，则x 属于区间（ ） A 、（﹣2，﹣1） B 、（1，2） C 、（﹣3，﹣2） D 、（2，3）

log

B 、错误！未找到引用源。D 、错误！未找到引用源。

5、若3+9=10•3，那么x +1的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、5 D 、1或5

6、已知2lg （x ﹣2y ）=lgx+lgy，则错误！未找到引用源。的值为（ ） A 、1 B 、4 C 、错误！未找到引用源。 D 、错误！未找到引用源。或4

x

7、方程log 2（x+4）=2的根的情况是（ ） A 、仅有一根 B 、有两个正根 C 、有一正根和一个负根 D 、有两个负根

2

8、如果方程lg x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（ ） A 、lg7•lg5 B 、lg35 C 、35 D 、错误！未找到引用源。

二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分） 9、（2

n+12

2x x 2

）•2

﹣2n ﹣1

÷4=错误！未找到引用源。=；错误！未找到引用源。=．

）=log 89•log2732=（lg5）

n

10、错误！未找到引用源。（3+2错误！未找到引用源。

2

+lg2•lg50=

﹣1x x

11、若f （x ）=4，则f （4）= _________ ，若f （x ）=错误！未找到引用源。，且f （lga ）=错误！未找到引用源。，则a= _________ ． 12、方程（4+4）﹣2（2+2）+2=0的解集是 _________ ．

lgx

13、方程x =10的所有实数根之积是．

log

14、不查表，求值：lg5﹣lg 错误！未找到引用源。+lg2错误！未找到引用源。﹣332﹣1=．

2+lg2

15、不查表求值：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣10= 三、解答题（共7小题，满分0分）

16、（1）已知log 310=a，log 625=b，试用a ，b 表示log 445． （2）已知log 627=a，试用a 表示log 1816．

17、化简：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。． 18、若α、β是方程lg x ﹣lgx ﹣2=0的两根，求log αβ+logβα的值． 19、解下列方程

2

（1）log x+2（4x+5）﹣log 4x+5（x +4x+4）﹣1=0；

2x+5x+2

（2）3=5•3+2； 20、解关于x 的方程．

（1）log （x+a）2x=2．

（2）log 4（3﹣x ）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x ）+log0.25（2x+1）；

2

2

x

﹣x

x ﹣x

（3）错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=6； （4） lg （ax ﹣1）﹣lg （x ﹣3）=1．

21、若方程log 2（x+3）﹣log 4x =a的根在（3，4）内，求a 的取值范围．

22、已知a ＞0，a≠1，试求使方程错误！未找到引用源。有解的k 的取值范围．

2

答案与评分标准

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1、错误！未找到引用源。的值是（ ） A 、错误！未找到引用源。 B 、1 C 、错误！未找到引用源。 D 、2 考点：对数的运算性质。

分析：根据错误！未找到引用源。，从而得到答案． 解答：解：错误！未找到引用源。． 故选A ．

点评：本题考查对数的运算性质．

2、设a ，b ，c 都是正数，且3=4=6，那么（ ） A 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 B 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 C 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 D 、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 考点：指数函数综合题。 专题：计算题。

分析：利用与对数定义求出a 、b 、c 代入到四个答案中判断出正确的即可．

a b c M M M

解答：解：由a ，b ，c 都是正数，且3=4=6=M，则a=log3，b=log4，c=log6

代入到B 中，左边=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

而右边=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

左边等于右边，B 正确； 代入到A 、C 、D 中不相等． 故选B ．

点评：考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．

p

3、若a ＞1，b ＞1，p=错误！未找到引用源。，则a 等于（ ） A 、1 B 、b

log

C 、log b a D 、a b a

考点：指数式与对数式的互化。 专题：计算题。

分析：利用对数运算中的换底公式进行转化是解决本题的关键．再利用对数式和指数式之间的关系进行求解． 解答：解：由对数的换底公式可以得出p=错误！未找到引用源。=loga （log b a ），

p

因此，a 等于log b a ． 故选C ．

点评：本题考查对数的换底公式的运用，考查对数式与指数式之间的转化，考查学生的转化与化归能力． 4、设x=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。，则x 属于区间（ ） A 、（﹣2，﹣1） B 、（1，2） C 、（﹣3，﹣2） D 、（2，3） 考点：对数的运算性质；换底公式的应用。 专题：计算题；函数思想。

分析：由题意把两个对数换成以错误！未找到引用源。为底得对数，化简后合并为一个对数，再利用函数y=错误！未找到引用源。的单调性，求出x 的范围．

解答：解：由题意，x=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。；

∵函数y=错误！未找到引用源。在定义域上是减函数，且错误！未找到引用源。， ∴2＜x ＜3． 故选D ．

a

b

c

点评：本题考查了换低公式和对数的运算性质的应用，一般底数不同的对数应根据式子的特点换成同底的对数，再进行化简求值．

5、若3+9=10•3，那么x +1的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、5 D 、1或5

考点：有理数指数幂的运算性质。 专题：计算题；换元法。

x 2

分析：由题意可令3=t，（t ＞0），原方程转化为二次方程，解出在代入x +1中求值即可．

x

解答：解：令3=t，（t ＞0），

2

原方程转化为：t ﹣10t+9=0，

或x x

所以t=1或t=9，即3=13=9

2

所以x=0或x=2，所以x +1=1或5 故选D

点评：本题考查解指数型方程，考查换元法，较简单．

6、已知2lg （x ﹣2y ）=lgx+lgy，则错误！未找到引用源。的值为（ ） A 、1 B 、4 C 、错误！未找到引用源。 D 、错误！未找到引用源。或4 考点：对数的运算性质。

222

分析：根据对数的运算法则，2lg （x ﹣2y ）=lg（x ﹣2y ）=lg（xy ），可知：x +4y﹣4xy=xy，即可得答案．

2

解答：解：∵2lg （x ﹣2y ）=lg（x ﹣2y ）=lg（xy ）， 22

∴x +4y﹣4xy=xy ∴（x ﹣y ）（x ﹣4y ）=0 ∴x=y（舍）或x=4y

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 故选C ．

点评：本题主要考查对数的运算性质．

7、方程log 2（x+4）=2的根的情况是（ ） A 、仅有一根 B 、有两个正根 C 、有一正根和一个负根 D 、有两个负根

考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质。 专题：数形结合。

x x

分析：方程log 2（x+4）=2的根的情况转化为函数图象的交点问题，画图：y 1=log2（x+4），y 2=2的图象．

x

解答：解：采用数形结合的办法，画图：y 1=log2（x+4），y 2=2的图象， 画出图象就知，该方程有有一正根和一个负根， 故选C ．

x

2x

x

2

点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．

8、如果方程lg x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β的值是（ ） A 、lg7•lg5 B 、lg35 C 、35 D 、错误！未找到引用源。

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；对数的运算性质。 专题：计算题。

2

分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x +（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得α•β的值．

2

解答：∵方程lg x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，

2

∴lgα，lgβ是一元二次方程x +（lg7+lg5）x+lg7•lg5=0的两根， ∴lgα+lgβ=﹣（lg7+lg5）， ∴lgαβ=﹣lg35，

∴α•β的值是错误！未找到引用源。． 故选D ．

点评：本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认

2

为方程lg x+（lg7+lg5）lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，则α•β=lg7•lg5，导致错选A ． 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）

9、（2）•2÷4= ；错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 ；错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 ．

考点：有理数指数幂的运算性质。

分析：利用有理指数幂的运算化简（2）•2÷4，用对数性质化简后两个代数式．

n+12﹣2n ﹣1n 2n+2﹣2n ﹣1﹣2n 1﹣2n

解答：解：（2）•2÷4=2=2 错误！未找到引用源。；

n+1

2

﹣2n ﹣1

2

n+12﹣2n ﹣1n 1﹣2n

n

故答案为：错误！未找到引用源。

点评：本题考查有理指数幂的运算性质，对数的运算性质，是基础题． 10、错误！未找到引用源。（3+2错误！未找到引用源。）=log 89•log2732=；（lg5）2

+lg2•lg50=．

考点：对数的运算性质。 专题：计算题。

分析：第一个式子：找出错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的联系，利用对数的运算法则求解即可； 第二个式子：利用换底公式化为同底的对数进行运算，注意到8和32可化为2的幂的形式，9和27 化为3 的幂的形式．

第三个式子：2=错误！未找到引用源。，50=5×10，都转化为lg5的形式，可得出结果． 解答：解：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。=﹣2；

log 89•log2732=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

222

（lg5）+lg2•lg50=（lg5）+lg错误！未找到引用源。•lg5×10=（lg5）+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1 故答案为：﹣2；错误！未找到引用源。；1

点评：本题考查对数的运算、对数的换底公式等知，属基本运算的考查．在运算时，要充分利用对数的运算法则． 11、若f （x ）=4，则f （4）= x ，若f （x ）=错误！未找到引用源。，且f （lga ）=错误！未找到引用源。，则a=

考点：反函数；函数的值；对数的运算性质。 专题：计算题。

分析：（1）本题可由原函数f （x ）的解析式先求出反函数f （x ）的解析式，最后将自变量取值4代入反函数f （x ）的解析式，结合对数函数运算性质可得答案，

（2）由自变量求解函数值可得x 与a 的等式，进而用自变量x 表示a 后代入函数解析式，从而可得仅含变量x 的方程，由此解出x 的值．

﹣1

x ﹣1x

x ﹣1

解答：（1）由f （x ）=4得f （x ）=log4x ，所以f （4）=log44=x， 故答案为x

（2）令x=lga得 a=10所以f （lga ）=f（x ）=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用

2

源。=错误！未找到引用源。，故x ﹣错误！未找到引用源。x=错误！未找到引用源。解得x=1或﹣错误！未找到引

x

用源。，代入a=10，所以a=10或错误！未找到引用源。 故答案为10或错误！未找到引用源。

点评：第一小题主要考查反函数知识和对数函数的运算性质，是对基础知识的考查，第二小题在考查函数值的基础之上，主要考查对数与指数之间的互化，以及指数幂运算性质，其中包括对解一元二次方程等基础的考查，难度较大．

12、方程（4+4）﹣2（2+2）+2=0的解集是 {0} ． 考点：指数函数综合题。

分析：本题形式可以观察出，此方程是一个复合函数型的方程，需要先解外层的方程，求出内层的函数值，再解内层方程，求出方程的解，并写成解集的形式．

解答：解：令t=2+2＞0，则4+4=t﹣2

2

原方程可以变为t ﹣2t=0，故t=2，或者t=0（舍）

x ﹣x x 2x

故有2+2=2即（2）﹣2×2+1=0

x 2

∴（2﹣1）=0

x

∴2=1即x=0

故方程的解集为{0} 故应填{0}

点评：本题考查解指数与一元二次函数复合的方程，所用的方法为换元法，此类方程的特点是由外而内，逐层求解．

lgx

13、方程x =10的所有实数根之积是 考点：对数的运算性质。

分析：方程两边取对数，化简方程，然后求解即可．

lgx 2

解答：解：方程x =10的两边取常用对数，可得lg x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=错误！未找到引用源。 实数根之积为 1． 故答案为：1

点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．

log

14、不查表，求值：lg5﹣lg 错误！未找到引用源。+lg2错误！未找到引用源。﹣332﹣1=． 考点：对数的运算性质。

分析：根据对数运算法则且lg5=1﹣lg2，可直接得到答案．

log

解答：解：∵lg5﹣lg 错误！未找到引用源。+lg2错误！未找到引用源。﹣332﹣1 =1﹣lg2﹣错误！未找到引用源。lg2+错误！未找到引用源。lg2﹣2﹣2=0 故答案为：0．

点评：本题主要考查对数的运算法则，属基础题．

15、不查表求值：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣10考点：指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用。 专题：计算题。

分析：根据换底公式和对数的定义化简得到即可求出值．

2+lg2

2+lg2

x

﹣x

x ﹣1﹣1x x

x

x ﹣x x ﹣x

x ﹣x 2

=

解答：解：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+10=错误！未找到引用源。﹣2错误！未找到引用源。

2

﹣10×2=9﹣2﹣200=﹣193 故答案为﹣193．

点评：考查学生灵活运用换底公式的能力，运用指数函数和对数定义的能力． 三、解答题（共7小题，满分0分） 16、（1）已知log 310=a，log 625=b，试用a ，b 表示log 445． （2）已知log 627=a，试用a 表示log 1816． 考点：换底公式的应用；对数的运算性质。 分析：（1）先用换底公式用a 表示lg3，再用换底公式化简log 625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log 445， 把lg3、lg2的表达式代入即可用a ，b 表示log 445．

（2）先用换底公式化简log 1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log 1816 的式子． 解答：解：（1）∵log 310=a，∴a=错误！未找到引用源。，∵log 625=b=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， ∴lg2=错误！未找到引用源。，

log 445=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。．

（2）∵log 627=a=错误！未找到引用源。，∴lg3=错误！未找到引用源。，

∴log 1816=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。． 点评：本题考查换底公式及对数运算性质，体现解方程的思想．

17、化简：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。． 考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算。 专题：计算题。

分析：利用立方差，立方和公式，把3个分式的分子分别化成因式乘积的形式，然后化简，即可得到结果．

解答：解：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。 =﹣错误！未找到引用源。

点评：本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题．

22

18、若α、β是方程lg x ﹣lgx ﹣2=0的两根，求log αβ+logβα的值． 考点：对数的运算性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系。 专题：计算题。

分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx 的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．

2

解答：解：原方程等价于lg x ﹣2lgx ﹣2=0 ∵α，β是方程的两个根 所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2

所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 即log αβ+logβα=﹣3

点评：本题考查对数的运算法则、考查二次方程根与系数的关系、考查对数的换底公式． 19、解下列方程

2

（1）log x+2（4x+5）﹣log 4x+5（x +4x+4）﹣1=0；

2x+5x+2

（2）3=5•3+2；

考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。 专题：计算题；转化思想；换元法。 分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可． （2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可．

解答：解：（1）log x+2（4x+5）﹣log 4x+5（x +4x+4）﹣1=0

﹣1

化为log x+2（4x+5）﹣2[logx+2（4x+5）]﹣1=0 令t=logx+2（4x+5）

上式化为：错误！未找到引用源。

当log x+2（4x+5）=﹣1时解得x=﹣1或x=错误！未找到引用源。都不符合题意，舍去．

2

当log x+2（4x+5）=2时有x =1，解得x=﹣1（舍去），x=1

2x+5x+2

（2）3=5•3+2

x+22

令t=3上式化为3t ﹣5t ﹣2=0解得t=﹣错误！未找到引用源。（舍去），t=2

x+22

即 3=2 x+2=log3

所以x=错误！未找到引用源。

点评：本题考查对数的运算性质，有理指数幂的运算，考查学生换元法，转化思想，注意方程根的验证，是中档题． 20、解关于x 的方程．

2

（1）log （x+a）2x=2．

（2）log 4（3﹣x ）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x ）+log0.25（2x+1）； （3）错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=6； （4） lg （ax ﹣1）﹣lg （x ﹣3）=1． 考点：对数的运算性质。 专题：计算题。

分析：利用等价转化思想将这些方程都转化为与之等价的代数方程，通过求解代数方程达到求解该方程的目的．注意对数中真数大于零的特点．

（1）要注意对数式与指数式的转化关系； （2）利用对数运算性质进行转化变形；

（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；

（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键．注意对字母的讨论．

解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a），即x=1﹣a±错误！未找到引用源。（当a≤错误！未找到引用源。时），当x=1﹣a ﹣错误！未找到引用源。时，x+a=1﹣错误！未找到引用源。＜0，故舍去．因此该方程的根为x=1﹣a+错误！未找到引用源。（当a≤错误！未找到引用源。时），当a ＞错误！未找到引用源。时，原方程无根． （2）该方程可变形为log 4错误！未找到引用源。=log4错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，整理得x ﹣7x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）．故该方程的根为x=0． （3）该方程变形为错误！未找到引用源。=6，即错误！未找到引用源。，令错误！未找到引用源。，则可得出t+错误！未找到引用源。，解得t=3±2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，因此x=±2．该方程的根为±2． （4）原方程等价于错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。得出ax ﹣1=10x﹣30，该方程当a=10时没有根，当a≠10时，x=错误！未找到引用源。，要使得是原方程的根，需满足ax ﹣1＞0，且x ﹣3＞0．解出a ∈（错误！未找到引用源。，10）．因此当a ∈（错误！未找到引用源。，10）时，原方程的根为x=错误！未找到引用源。，当a ∈（﹣∞，错误！未找到引用源。]∪[10，+∝）时，原方程无根．

点评：本题考查代数方程的求解，注意方程的等价变形，注意对数形式方程的真数大于零的特征，注意对所求的根进行检验，对含字母的方程要注意讨论．

21、若方程log 2（x+3）﹣log 4x =a的根在（3，4）内，求a 的取值范围． 考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用。 专题：计算题；函数思想。

2x

分析：应用对数的运算性质，log 4x =log2，将方程变形，转化为求函数 a=错误！未找到引用源。的值域，通过错误！未找到引用源。的取值范围，确定a 的取值范围．

解答：解：∵3＜x ＜4，方程即：log 2（x+3）﹣log 2=a， 错误！未找到引用源。=a

∵错误！未找到引用源。=1﹣错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。＜1， ∴0＜1﹣错误！未找到引用源。＜错误！未找到引用源。， ∴﹣∞＜a ＜﹣2

点评：本题体现函数与方程的数学思想，应多加注意．

22、已知a ＞0，a≠1，试求使方程错误！未找到引用源。有解的k 的取值范围． 考点：对数函数图象与性质的综合应用。 专题：计算题。

分析：由题设条件可知，原方程的解x 应满足错误！未找到引用源。，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立， 因此只需解错误！未找到引用源。，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k 的取值范围． 解答：解：由对数函数的性质可知，

原方程的解x 应满足错误！未找到引用源。 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立， 因此只需解错误！未找到引用源。

2

由（1）得2kx=a（1+k）（4）

当k=0时，由a ＞0知（4）无解，因而原方程无解． 当k≠0时，（4）的解是错误！未找到引用源。

x

2

2

2

把（5）代入（2），得错误！未找到引用源。 解得：﹣∞＜k ＜﹣1或0＜k ＜1．

综合得，当k 在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解． 点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．

参与本试卷答题和审题的老师有：

wsj1012；qiss ；wdnah ；sllwyn ；xintrl ；yhx01248；pingfanziqun ；yzhb ；wdlxh ；zlzhan ；caoqz115588；wodeqing ；gongjy 。（排名不分先后） 菁优网

2011年10月20日