对玻尔兹曼分布说明的探讨_吕捷
第20卷第8期2001年8月大 学 物 理CO LL EG E PHYSICS Vo l . 20N o . 8A ug . 2001
对玻尔兹曼分布说明的探讨
吕 捷
(南京经济学院计算机系, 江苏南京 210003)
摘要:对玻尔兹曼分布的说明中所采用的推导方法进行了探讨, 并提供一种新的推导方法. 关键词:玻尔兹曼分布; 微观状态数; 相对偏差
中图分类号:O 414. 2 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2001) 08-0032-02
1 引言
系统各个微观状态出现的概率如何, 是统
计物理学中的一个基本问题. 对此, 玻尔兹曼(Boltzmann ) 在19世纪70年代提出了著名的等概率原理, 推导出玻尔兹曼分布公式, 并得到玻尔兹曼分布的微观状态数几乎为所有可能分布的状态数之和的结果. 在高等学校有关热力学与统计物理的教材[1～3]中, 对上述结论进行了简单的推导说明. 本文将提供一种新的、更为详细的说明方法, 以便更好地理解和掌握此公式.
2 问题的提出
一个由大量全同近独立粒子组成的系统, 具有确定的粒子数N 、能量E 和体积V . 如用εl =1, 2, …) 表示粒子的能级, ωl (l 表示能级εl 的简并度, a l 表示相应能级中的粒子数, 根据等概率原理, 对于处在平衡状态的孤立系统, 每一个可能的微观状态的出现的概率是相等的. 因此, 微观状态数最多的分布, 出现的概率将最大, 称为最概然分布. 在定域系统中的最概然分
l . 布, 就是玻尔兹曼分布, 即a l =ωl e
为了说明所有其它分布的微观状态数之和
文献[1]采用如下的推导方法.
将玻尔兹曼分布的微观状态数Ψ与和玻尔兹曼分布偏离δa l (l =1, 2, …) 的一个分布的微观状态数Ψ+ΔΨ加以比较. 将ln (Ψ+ΔΨ) 作泰勒展开, 近似到二级得
12ln (Ψ+ΔΨ)=ln Ψ+δln Ψ+2ln Ψ+…=
2
(δa l ) ln Ψ-2l a l
∑
请注意, 作此展开ΔΨ与Ψ相比必须为小量.
如果假定这个分布对玻尔兹曼分布的相对δa l
偏差为≈10-5, 则
a l
ln =-Ψ2
∑
δa l
a l
2
a l ≈-
10
×10-N
2
对于N ≈10e -10.
13
23
的宏观系统, 可得
≈Ψ
显然≈0, 即ΔΨ≈-Ψ, 因此ΔΨ
Ψ
不是小量, 简单地用数学上的泰勒展开到二级就不够了. 这个结果说明至少这种方法值得改进. 3 解决方法
将玻尔兹曼分布的微观状态数Ψ与跟玻尔兹曼分布有偏离的δa l (l =1, 2, …) 的一个分
-α-βε
与玻尔兹曼分布的微观状态数相比几近于零,
收稿日期:2000-03-06; 修回日期:2000-12-24
作者简介:吕捷(1972—), 女, 江苏南京人, 南京经济学院计算机系助教.
第8期 吕 捷:对玻尔兹曼分布说明的探讨33
布的微观状态数Ψ{a +δa }写出:l l
ln Ψ{a
l
+δa }
l
=N ln N -
∑(a l
l
+δa l ) ln (a l +δa l )+
δa l -5
偏差为a ≈10, 则
l
ln
Ψ{a +δa }
l l Ψ{a }l
=-2
23
∑
l
(a l +δa l ) ln ωl =N ln N -
∑
l l
(a l +
∑
l
δa l
a l
2
a l ≈-
10
×10-N
2
δa l 12
δa l ) δa l ln a l +-+
l 2a l δa l ) ln ωl
3
略去(δa l )
∑(a l +
对于N ≈10e
ωl =
-10
13
的宏观系统, 可得
Ψ{a l +δa l }Ψ{a }
l
≈
∑
l
2
(δa l )
+N ln N -2a l
=0.
∑
l
(a l +δa l ln a l +
2
δa l
+a l
a l ) ln ∑(a l +δ
l
这个估计说明, 即使对玻尔兹曼仅有极小
偏差的分布, 它的微观状态数与玻尔兹曼分布下的微观状态数相比几近于零. 这就是说, 玻尔兹曼分布微观状态数非常接近于全部可能的微观状态数. 显然, 这个方法过程比较多, 但却更加严谨, 概念也非常清晰. 参考文献:
[1] 汪志诚. 热力学统计物理[
M ]. 北京:人民教育出版社,
1980. 197～206.
[2] 熊吟涛. 统计物理学[M ]. 北京:人民教育出版社, 1982.
82～97. [3] 马本
, 高尚惠, 孙煜. 热力学与统计物理学[M ]. 北京:
人民教育出版社, 1982. 182～188.
∑
l
(δa l )
+N ln N -2a l
∑a l ln a l +∑a l ln
l
l l
ωl -
∑
l
δa l
a l -a l
2
∑
l
δa l
δa l ln a l ++
a l
a l ln ωl =∑δ
a l -
∑
l
(δa l )
+ln Ψ{a }-2a l l (δa l ) +a l
2
∑δa l -∑δa l ln
l
l
∑
l l
∑
l
δa l ln ωl =
∑
l
2
(δa l )
+ln Ψ{a }-2a l l
∑ln
a l
δa l -ωl
l
∑
l l
(δa l )
=ln Ψ{a }-l a l
12
2
∑
l
(δa l ) 2a l
2
所以 ln
Ψ{a +δa }{a }
l
=-
∑
l
δa l
a l
2
a l
如果假定这个分布对玻尔兹曼分布的相对
A discussion on Boltzmann distribution
LU Jie
(N anjing University of Economics , Nanjing , Jiangsu , 210003, China )
A bstract :The derivation of Boltzmann distribution is discussed . And a new method is offered . Key words :Boltzmann distribution ; number of microstates ; relative divergence