12.3角平分线判定定理教案
角的平分线的性质(二)教案
临沂外国语学校 高连任
教学目标
1.掌握角的平分线判定定理的的内容。
2.会用角的平分线的判定定理解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的判定定理及其应用.
教学难点
灵活应用角平分线的判定定理解决问题.
教学过程
Ⅰ.复习巩固,引入新课
回顾一下角平分线的性质,角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 反过来,到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
现在,我们来证明“到角的两边的距离相等的点是在角的平分线上”。看看是否能证明出来。
前面我们学过,要证明一个几何命题,首先要明确命题中的已知和求证,现在我们一起来看看这个命题的已知和求证。
Ⅱ.导入新课
出示问题:“小明爸爸很喜欢钓鱼,他想在两条河中间的空地上建一套自己的房子以便钓鱼,使它到A 河和B 河的距离相等, 同时要离两河的交叉处500米,这个房子应建在哪里呢?(比例尺为1︰20000)”
探索问题:1)在∠AOB 的内部分别找出点P 、Q 、R, 使它们满足以下条件:
点P 到OA 和OB 的距离相等,且OP 的长为1.5cm
点Q 到OA 和OB 的距离相等,且OQ 的长为3cm
点R 到OA 和OB 的距离相等,且OR 的长2.5cm
猜想证明
[证明]已知:一个点到角的两边距离相等,求证:这个点在角的平分线上
接下来,我们根据题意,作出图形,用数学符号表示已知和结论。
已知:如图,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,
点D 、E 为垂足,PD =PE .
求证:点P 在∠AOB 的平分线上
证明: 经过点P 作射线OC
∵ PD ⊥OA ,PE ⊥OB
P
O
E B D C A
∴ ∠PDO =∠PEO =90°
在Rt △PDO 和Rt △PEO 中
PO=PO
PD=PE
∴ Rt△PDO ≌Rt △PEO (HL )
∴ ∠ POD=∠POE
∴点P 在∠AOB 的平分线上
通过上题可以得到角平分线判定定理:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
前面我们学习了角平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等。现在我们学习了角平分线的判定定理:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
[师] 角平分线的性质和判定有什么联系?
总结:角平分线的性质和判定命题的已知条件和所推出的结论可以互换,它们是互逆定理. 新知应用:
解决:小明爸爸很喜欢钓鱼,他想在两条河中间的空地上建一套自己的房子以便钓鱼,使它到A 河和B 河的距离相等, 同时要离两河的交叉处500米,这个房子应建在哪里呢?(比例尺为1︰20000) 比例尺为1:20000是什么意思?
III例题与练习
例 如图,△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P .
求证:点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.
分析:点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段PD 、PE 、PF 的长就是P 点到三边的距离,•也就是说要证:PD=PE=PF.而BM 、CN 分别是∠B 、∠C 的平分线,•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题. 证明:过点P 作PD ⊥AB ,PE ⊥BC ,PF ⊥AC ,垂足为D 、E 、F .
∵BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.
想一想,点P 在∠A 的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.
练习:
1.课本P55习题12.3─5
如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,
垂足分别是E ,F ,且BE =CF 。
求证:AD 是△ABC 的角平分线
2.课本P55习题12.3─6.
如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路
围成的一块平地上修建一个度假村.
要使这个度假村到三条公路的距离相等, 应在何处修建?
IV.课时小结
这节课,我们学习了角平分线的判定方法:到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的性质和判定,它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.
Ⅴ.课后作业
作业:课后练习题1,2
E B D F A