函数的单调性
函数的单调性
陶维林
一．内容和内容解析
函数的单调性是研究当自变量x 不断增大时，它的函数y 增大还是减小的性质．如函数
单调增表现为“随着x 增大，y 也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是
研究x 成为相反数时，y 是否也成为相反数，即函数的对称性质．
函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．
函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进
一步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、
最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性
都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．
教学的重点是，引导学生对函数在区间（a ，b ）上“随着x 增大，y 也增大（或减小）”
这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a ，b ）上任意取x 1，x 2，当x 1＜x 2时，有 f（x 2）＞f （x 1）（或f （x 2）＜f （x 1）），则称函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调增（或单调减）．
二．目标和目标解析
本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函
数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）．
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；
2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在
整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；
3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间
上任意取x 1，x 2，设x 1＜x 2，作差f （x 2）－f （x 1），然后判断这个差的正、负，从而证明
函数在该区间上是增函数还是减函数．
三．教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动
变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个
数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加
以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经
验．
“图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直
观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性
的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x 的增大，y 也增大”（单
调增）这一特征用该区间上“任意的x 1＜x 2，有f （x 1）＜f （x 2）”（单调增）进行刻画．其
中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x 1，x 2．
教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图
象是上升的”，相应地，即“随着x 的增大，y 也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨
论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x 1＜x 2
有f （x 1）＜f （x 2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x 的增大，y 也增
大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过
判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习
活动可以逐步理解这个概念．
四．教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅
以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．
五．教学过程设计
1．认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念、函数表示法，紧接着对函数要研究些什么？那就是函数的
性质（特征）．研究函数的性质，是为了更好地把握变化规律．
对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快或慢、增或减„„相应的，函数的特征
就包含：函数的增与减（单调性），函数的最大值、最小值，等．使学生感受到，紧接研究
函数的性质是必然的学习任务．也可以由教师引导，借助对一些函数图象的观察、对所观察
到的特征进行归类，引入函数的某个性质的研究．比如，观察图1中各个函数的图象，你能
说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征？有图象上升的特征，图象有时上升有时下降
的特征，图象关于y 轴对称的特征，等．我们将逐一研究这些特征．
2．函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开，目的是经历从直观到抽象，从特殊到一般的过程．
首先利用图象描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度认识函数单调性；然后从
数值变化角度描述变化规律，图象上升（下降），也就是随着x 的增大y 也增大（或减小）；
最后用数学符号语言描述．
问题1 如图2，观察一次函数f （x ）＝x 和二次函数f （x ）＝x 的图象，说说随着x
的增大，图象的升降情况．
2
函数f （x ）＝x 的图象由左到右是上升的；函数f （x ）＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，
在y 轴右侧是上升的．
意图：通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自变量从小到大变化时，
函数值大小变化在图象上的表现．
初步提出函数单调性的意义：函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调
性．我们把二次函数f （x ）＝x 在y 轴左侧下降称为f （x ）＝x 在区间
在y 轴右侧上升称为函数f （x ）＝x 在区间222上“单调减”；上“单调增”．
下面以二次函数f （x ）＝x 为例，通过列出x ，y 的对应值来研究它的上升与下降情况．
问题2 观察下列表格，描述二次函数f （x ）＝x 随x 增大函数值的变化特征：
22
意图：从一个特殊例子，结合前面的图象特征，从数值变化角度认识函数的单调性．
图象在y 轴左侧“下降”，也就是说，在区间上，随着x 的增大，相应的f （x ）
上，随着x 的增大，值反而随着减小；图象在y 轴右侧“上升”，也就是说，在区间
相应的f （x ）值也随着增大．
问题3 对于一般函数f （x ），如果在区间上有“图象上升”、“随着x 的增
大，相应的f （x ）值也增大”的特点，那么应该怎样刻画呢？
意图：从形象到抽象，从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数f （x ）在
“图象上升”、“随着x 的增大，相应的f （x ）值也增大”的特征．
这个问题具有较高的思维要求，需要“跳一跳才能摘到果子”．教学上，可以让学生开
展讨论、交流．通过学生的活动，逐渐认识函数单调性的刻画方法．在这个过程中，二次函
数的特征是一个具体的载体，可以起到验证、支持作用．
如果学生主动提出函数单调增的一般定义，则可以议论“为什么？”，让学生以二次函
数f （x ）＝x 为例解释定义的合理性．
给出函数单调性的一般定义．
2上
一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有
f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；对于定义域I 内的某个区间
D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f
（x ）在区间D 上是减函数．
练习
下列说法是否正确？请画图说明理由：
（1）如果对于区间上的任意x 有f （x ）＞f （0），则函数f （x ）在区间
上单调增；
（2）对于区间上（a ，b ）的某3个自变量的值x 1，x 2，x 3，当a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b 时，有
f （a ）＜f （x 1）＜f （x 2）＜f （x 3）＜f （b ），则函数f （x ）在区间（a ，b ）单调增．
意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性．
3．单调性概念的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识．
例1 物理学中的波利尔定律p ＝（k 是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当
体积V 减小，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．
分析怎样来证明“体积V 减小，压强p 将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明
函数p ＝（（k 是正常数）是减函数．怎样证明函数p ＝（（k 是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V ＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应
的函数值较大，即
设V 1＜V 2，去证明p 1＞p 2．也就是只要证明p 1－p 2＞0．
证明 设V 1＜V 2，V 1，V 2∈（0，+∞）．
p 1－p 2＝－＝
．
因为k 是正常数，V 1＜V 2，所以
＞0，p 1＞p 2．
所以，体积V 减小，压强p 将增大．
教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上，而让学生进行具体证明步
骤的书写．
练习
画出反比例函数y ＝
（1）指出这个函数的定义域I 是什么；
（2）它在定义域I 上具有怎样的单调性？证明你的结论．
答：（图象略）． 的图象．
（1）这个函数的定义域I ＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）在区间（－∞，0）上函数单调减，在区间（0，＋∞）上函数也单调减．（证明
略）
六．目标检测设计
1．举一个与实际生活联系的例子，并说明这个函数在定义域上是减函数．
2．画图说明：函数f （x ）在它的定义域I 内的两个区间D 1，D 2上都单调增，而在定义
域I 上并不单调增．
3．证明函数f （x ）＝x －2x 在区间（1，+∞）上是增函数．
2
4．研究函数f （x ）＝
的单调性．
本文为“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”课题教学设计案例
函数的单调性
湖北省黄石实验高中 杨瑞强
教学目标
知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断
一些简单函数单调性的方法。
能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力
和创新意识。
德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：
教学重点：函数单调性的有关概念的理解
教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性
教 具： 多媒体课件、实物投影仪
教学过程：
一、创设情境，导入课题
[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
问题1：气温随时间的增大如何变化？
问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数
图象中自变量x 和 y值之间的变化规律。
结论：（1）y 轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；
（2）左侧 y随x 的增大而减小；右侧y 随x 的增大而增大。
上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要
对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。
二、给出定义，剖析概念
①定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当
⑵若当f(), 则f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）。
②单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 此时也说函数是这一区间上的单调函数. 由此可
知单调区间分为单调增区间和单调减区间。
注意：
（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象
是下降的。
当x1 f(x2)
y 随x 增大而减小。
几何解释：递增
函数图象从左到右逐渐上升；递减
（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。
有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在
部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。
判断2：定义在R 上的函数 f (x ) 满足 f (2)> f (1)，则函数 f (x ) 在R 上是增函数。
（×）
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，
殊值代替。
训练：画出下列函数图像，并写出单调区间： 具有任意性，不能用特。 函数图象从左到右逐渐下降。
三、范例讲解，运用概念
例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数
的图象，根据图象说出是增函数还减函数。 的
注意：
（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一
确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。
（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。
例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：
证明：设任意的
由
于是
即
所以，
分析证明中体现函数单调性的定义。
利用定义证明函数单调性的步骤：
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于
判断差的符号的方向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
，且，则 ，得 。 在R 上是增函数。
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”
例3、 证明函数在(0,+) 上是减函数.
证明：设，且，则
（*）
由，得
又由，得，
于是即。
即。
所以，函数在区间上是单调减函数。
问题1 ：在上是什么函数？(减函数)
问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数？
四、课堂练习，知识巩固
（学生讨论得出）
课本59页 练习：第1、3、4题。
五、课堂小结，知识梳理
1、增、减函数的定义。
函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变
化的性质。
2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：
证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。
六、布置作业，教学延伸
课本60页 习题2.3 ：第4、5、6题。