用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析

第28卷 第4期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.4 2007

用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的

不确定度分析

胡益丰，沈大华，祁秀春，张剑豪

(江苏技术师范学院数理学院，江苏 常州 213001)

摘 要：阐述了不确定度的A类评定、B类评定和合成不确定度的一般计算方法。由贝塞尔公式计算了杨氏

模量实验中各直接测量量的A类不确定度，并根据具体测量条件计算了B类不确定度。分析了杨氏模量不确定度的来源，并提出了改进措施。

关键词：不确定度A类评定；不确定度B类评定；合成不确定度 中图分类号：O48 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2007)04-0056-04

1 引言

杨氏模量是表征固体力学性质的重要物理量，是工程技术中机械构件选材时的重要参数。杨氏模量

[3]

测定实验是大学物理实验中比较经典的实验，一般采用拉伸法测量材料的杨氏模量。在外力作用下，长为

[1，2]

l、横截面积为S的钢丝伸长Δl，则该钢丝的杨氏模量的表达式为Y=

F/S

∆l/l

[4]

。由于材料的拉伸量非常微小，

实验中常采用放大法――“光杠杆镜 ”来测定这一微小的长度改变量。由此，钢丝杨氏模量的表达式变为

Y=

8FlL

，其中F为给钢丝施加的外力，l为钢丝长度，L为镜面到标尺间的距离，d为钢丝直径，b为

πd2b∆n

光杠杆后足到两前足尖连线的垂直距离，Δn为望远镜中标尺刻度的变化量。

[5]

在实际测量中，存在随机误差、系统误差和粗差。为了更全面、准确的表达测量结果，实验中往往采

[6，7]

用不确定度来表达被测量的分散性，并且把不确定度作为表征测量结果的一个重要参数。本实验中，由于被测量比较多，所采用的测量工具也较复杂，因此，不确定度的计算也相对较繁琐，学生往往不易掌握。本文阐述了不确定度的一般计算方法，分析了拉伸法测金属丝杨氏模量中的不确定度，并根据分析结果给出了一定的改进措施。

2 计算方法

2.1 标准不确定度的A类评定

[8]

1n

得一测量列x1，x2，…xn，则最佳值为算术平均值=∑xi。当对某一物理量X作n次等精度独立测量时，

ni=1

此时A类标准不确定度由贝塞尔公式计算为µA(=tp

[9]

∑(x

i=1

n

i

−2

，其中tp为与一定置信概率相联系

n(n−1)

的置信因子(可查表得到)。当测量次数较少或置信概率较高时，tp>1；当测量次数n≥10且p＝0.683时，tp≈1。在大多数大学物理实验教学中，为了简便，一般取tp＝1。

[10]

2.2 标准不确定度的B类评定

不确定度的B类分量不能用统计方法进行计算，可根据测量实际情况和经验来确定它属于哪种概率分布，再用此概率分布对B类不确定度进行评定。在教学中一般只考虑仪器的极限误差，若极限误差为∆仪，则B

* 基金项目：江苏省普通高校自然科学研究计划资助项目(07KJD430041)，江苏技术师范学院青年科研基金项目(KYY06094)，国家自然科学基金项目(50361002)

** 收稿日期：2007－11－23 56

用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析

类不确定度为µB()=

∆仪C

，式中C是仪器误差概率分布的置信系数，对于正态分布、均匀分布和三角分布，

C的值分别为3、和6，置信概率p取0.95。在物理实验中，若不能确定∆仪的分布，可视为均匀分布。 [11]

2.3 合成标准不确定度

(1)当测量X是直接测量时，则合成标准不确定度µC(X)=

n

22µA()+µB(，置信概率p取0.95。

(2)当待测量y=f(x1，x2，…xn)为间接测量时(其中各xi无相关)，则合成不确定度为

µC(y)=

∑(

i=1

∂f22

µC(xi)，其中µC(xi)分别为各直接测量值的合成标准不确定度。当y函数是以乘除为∂xi

主时，可先求相对不确定度E=

∑(

i=1

n

∂f2

)，再求绝对不确定度µC(y)=E⋅，间接测量结果表示为∂xi

y=+µC(y)。

3 结果与讨论

3.1 实验数据

本实验中用仪器误差0.004mm的千分卡在钢丝上、中、下三部位的垂直方向上各测量一次钢丝直径，用最小刻度1mm的卷尺测量钢丝长度和平面镜与标尺的间距各5次，用最小分度0.02mm的游标卡尺测量光杠杆长，用最小分度1mm的直尺在望远镜中读数。所测数据列表如下。为了保持多次测量的优越性，本实验中对∆n的数据处理采用隔项逐差法。

钢丝杨氏模量的计算式为Y=

8FlL

，由测量数据计算出近真值后代入上式求出Y的近真值，再由不2

πdb∆n

确定度计算方法对其近真值进行修正，最后给出测量结果表达式。

表1 用千分卡测量钢丝直径(仪器误差取0.004mm)

测量部位 测量方向 d(mm)

上

纵向 0.733

横向 0.720

纵向 0.738

中

横向 0.739

纵向 0.721

下

横向 0.718

平均 0.728

表2 钢丝长l，平面镜与标尺间距L，光杠杆长b

序号

1 615.5 1 146.8 67.76

2 616.3 1 147.1 67.56

3 616.2 1 148.2 67.36

4 614.5 1 145.6 67.80

5 614.7 1 144.6 67.86

平均 615.4 1 146.5 67.67

l(mm) L(mm) b(mm)

表3 测量钢丝的微小伸长量

砝码质量 （Kg） 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

加砝码时 n0´ 35.4 n1´ 38.0 n2´ 41.1 n3´ 44.8 n4´ 46.7 n5´ 49.2 n6´ 51.3 n7´ 54.2

标尺读数(mm)

减砝码时 n0

平均(ni´+ni

n0 35.7 n1 38.5 n2 41.4 n3 44.6 n4 46.9 n5 49.5 n6 51.8 n7 54.7

隔项逐差值

∆ni(mm)

n4- n0=11.2n5- n1=11.0n6- n2=10.4n7- n3=10.1

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第28卷 第4期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.4 2007 3.2 不确定度分析

不确定度的评定涉及到实验方案的可行性、仪器的选用、数据的判断以及实验后的误差分析、数据处理[12]

等，因此，对于不同的测量量要根据具体的情况分析其不确定度。

3.2.1 直接测量量的不确定度评定

本实验中的直接测量量为钢丝直径d、钢丝长l，平面镜与标尺间距L、光杠杆长b和标尺读数∆n。以

上各量均为多次重复测量量，其A类不确定度由贝塞尔公式µA()=tp而其B类不确定度的计算则比较复杂，必须根据各自的特点进行分析。

∑(x

i=1

n

i

−)2

分别计算得出（tp＝1）。

n(n−1)

∆仪C

其中，钢丝直径d由仪器误差引起的B类不确定度

（设为均匀分布）µB(=所以钢丝直径d

的合成不确定度µC(d)=确定度(设为均匀分布

)

=

=0.003mm，=0.005mm。钢丝长l由仪器误差引起的B类不

=0.6mm；钢丝长随温度变化引起的B类不确定度

C∂l1∂l∂l

µB2(=µT，由固体的线胀系数α=⋅知=lα，而钢的α=11.5×10-6deg-1，设温度不确定度

∂Tl∂T∂T

−3

µT=0.1℃，所以µB2()=lαµT=0.88×10mm，故l的合成不确定度为µC(l)=0.7mm。可以看出，由钢丝长

µB1(=

∆仪

=

度随温度变化引起的不确定度可以忽略不计。

平面镜与标尺间距L和标尺读数∆n的测量条件均与l相同，故其B类不确定度与l相同µB(L)= µB(∆n)= µB(l)＝0.6mm。光杠杆长b的测定是将光杠杆放在平铺的白纸上轻压，然后用直尺将前两足压痕点连起来，再从后足压痕点作一条垂线段到两前足尖连线，这条垂线段的长即为b。而b的测量采用的是最小分度0.02mm的游标卡尺，故其B

类不确定度(设为均匀分布)µB(=

∆仪C

=

=0.012mm。各直接测量量的A类不确定度、B类不确定度、合成不确定度和相对不确定度计算结果见表4。

表4 测量量的几类不确定度

不确定度 d (mm) l (mm) L(mm) B(mm) ∆n(mm)

A类不确定度

0.004 0.4 0.7 0.09 0.9

B类不确定度

0.003 0.6 0.6 0.012 0.6

合成不确定度

0.005 0.7 0.9 0.09 1.0

相对不确定度E

0.69% 0.12% 0.079% 0.014% 9.3%

3.2.2 杨氏模量Y的不确定度分析

先由杨氏模量Y的计算公式及表1、表2和表3数据，可得=

811-2

=×⋅1.8410(Nm)。由于π杨氏模量Y由乘除计算得到，所以先求其相对不确定度比较简单，由相对不确定度的传递公式可得Y的相对不确定度表达式为E(Y)=

∑(

i=1

n

∂f2

=E2(l)+E2(L)+4E2(d)+E2(b)+E2(∆n)，将表4数据代入∂xi

11

−2

由此Y的合成不确定度µC(Y)=E(Y)⋅=0.2×10(N⋅m)。利用µC(Y)对上式，得E(Y)=9.4%，进行修正后，得到杨氏模量的结果表达式为

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用拉伸法测钢丝杨氏模量实验中的不确定度分析

⎧Y=(1.8±0.2)×1011N⋅m−2

⎨

⎩E(Y)=9.4%

表4不确定度的计算结果表明，不同测量量由于采用不同的测量方法和测量工具，其不确定度相差较大。平面镜与标尺间距L的相对不确定度最小(E(L)=0.079%)，表明其测量精度最高。标尺读数∆n的不确定度最大（E(∆n)=9.3%），在杨氏模量的最终不确定度中占的比例为98.9％，可见提高∆n的测量精度对于整个测量不确定度的降低具有重要作用。而∆n的相对不确定度中，A类不确定度占的权重为60％，B类不确定度所占的权重为40％。分析其原因，可能是由于加减砝码后没有给予钢丝足够的拉伸(或压缩)时间，在钢丝长度未稳定前即进行了读数，或是由于钢丝晃动较大，也对读数造成一定影响。另外，本实验中标尺读数总的变化区间约为20mm，而采用的标尺最小刻度为1mm，测量精度也较低，所以建议更换精度更高的直尺进行测量。

4 结论

(1)多次等精度测量的A类不确定度由贝塞尔公式计算，而B类不确定必须根据测量采用的方法、仪器、环境等具体情况进行评定。

(2)杨氏模量的计算主要由乘除得到，所以在求其不确定度时先求相对不确定度比较简单，计算结果必须根据合成不确定度来调整其小数位数。

(3)杨氏模量的不确定度中，标尺读数∆n造成的影响较大，所以测量中宜采用精度更高的标尺进行读数；同时要给予钢丝足够的弛豫时间，待其稳定后再行测量，可以降低其不确定度。

参 考 文 献

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