数学思想在解题中的重要作用 二.整体思想
数学思想在解题中的重要作用
二、整体思想
整体思想就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想. 用整体思想解题往往能起到化难为易，化繁为简的作用，甚至有时会绝路逢生，柳暗花明.
例1 （山东省枣庄市）如图2，已知△ABC 为直角三角形，∠C
=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1＋∠2等于( )
A ．315° B．270° C．180° D．135°
分析：根据已知条件，显然无法直接求得∠1，∠2的值，若把
∠1+∠2看作一个整体，利用三角形的外角性质和内角和定理问题
就容易解决了.
解：由三角形外角的性质可得，∠1=∠C+∠4，∠2=∠3+∠C ，
所以∠1+∠2=∠C+∠4+∠3+∠C.
因为∠C+∠3+∠4=180°，∠C=90°，
所以∠1+∠2=180°+90°=270°，故应选B.
评注：把∠1+∠2看作一个整体求值，把不易求解的问题简单化，充分体现了整体思想在解题中的作用. 此题还可以根据四边形的内角和以及直角三角形两锐角互余求解.
借助“整体思想”，加强宏观把握，可以给解题拓宽思路，节约时间．
例2．已知⎨⎧x +2y =4k ，① ，且-1
111；Ｂ．0
例3. 如图1，在△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求证：∠DAE ＝1(∠B －∠C ). 2
1∠BAC ＝2分析 要证明本题中的结论，由于AE 是∠BAC 的平分线，则有∠CAE ＝
1(180°－∠B －∠C ) ，而考虑到∠A +∠B +∠C ＝180°，即∠B +∠C ＝180°－∠A ，此时可视2
∠B +∠C 为一个整体，再由AD 是BC 边上的高，即可证明.
证明 因为AE 是∠BAC 的平分线（已知），
1∠BAC （角平分线的定义）， 2
111即∠CAE ＝(180°－∠B －∠C ) ＝90°－∠B －∠C （三角形内角和定理及整体代换）， 222所以∠CAE ＝
又因为AD 是BC 边上的高（已知），所以∠ADC ＝90°（高的定义），
即∠DAC ＝90°－∠C （直角三角形的两个锐角互余），
所以∠DAE ＝∠DAC －∠CAE ＝90°－∠C －(90°－111∠B －∠C ) ＝(∠B －∠C ) （整体222
代换）.
F
D E 图1
例4. 某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6(分2) ，两位女生的成绩分别为17分，15分．求这个学习小组5位同学考试分数的方差
分析:要计算这个学习小组5位同学考试分数的方差，根据已知三名男生的方差为6(分2) ，可设这三名男生的得分分别是x 1，x 2，x 3，根据方差计算可得1[(x 1-16) 2+(x 2-16) 2+(x 3-16) 2]=6，由此可得 3
(x 1-16) 2+(x 2-16) 2+(x 3-16) 2=18，将这个关系式作为一个整体，代入方差的计算公式可计算出5位同学考试分数的方差.
解: 设这三名男生的得分分别是x 1，x 2，x 3，则有1[(x 1-16) 2+(x 2-16) 2+(x 3-16) 2]=6，由此可得 3
(x 1-16) 2+(x 2-16) 2+(x 3-16) 2=18， 所以S =21[(x 1-16) 2+(x 2-16) 2+(x 3-16) 2+(17-16)2+(15-16)2]=4， 5
即这个学习小组5位同学考试分数的方差为4.
点评：本题在计算过程中，通过将一个关系式看作一个整体代入计算，使问题得意解决. 充分体现了整体思想在解决问题中的重要作用.
例5、（芜湖市）已知112x -14xy -2y -=3，则代数式的值为 ． x y x -2xy -y
分析：由已知条件入手确定x 、y 都不等于0，据此利用分式的基本性质将求值式变形为含有已知条件的式子，再将已知条件整体代入求解．
解：由已知条件可知x 、y 都不等于0，则xy ≠0，将2
x -14xy -2y 的分子和分母都除以x -2xy -y
112(-) -7y x 2⨯(-3) -14xy 得，再将已知条件代入该式可得=4． 11(-3) -2(-) -2y x
例6、（赤峰市）已知11a -3ab +b +=4，则=． a b 2a +2b -7ab
分析：本题直接由已知求出a 、b 的值很困难，由已知可得a 、b 均不等于0，则根据分
11-3+，再将已知条件整体代入该式式的基本性质将求值式的分子、分母都除以ab 得22+-7b a
即可使问题得解． 11-3+a -3ab +b =4-3=1． 解：=2a +2b -7ab 222⨯4-7+-7b a
x 215x 4-3x 2+5=，求分式例7. 已知4的值. 223x x +x +14
分析:由已知条件求出x 的值显然行不通. 注意到已知条件的分子是单项式，而分母是多项式，故取倒数后整体代入，则可求解.
1x 21x 4+x 2+12x +=3. ==4. 解:由4取倒数，得化简，得222x x +x +14x
5155x 25-1+2=(x 2+2) -1==⨯3-1=4. 所以原式=33x 33x
温馨提示:对于某些条件分式的求值问题，运用整体代换思想，可收到化难为易、出奇制胜的解题效果.