[1.2.2函数的表示法]导学案2
《1.2.2函数的表示法》导学案2
学习目标
1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射.
学习过程
1.分段函数
(1) 分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.
(2) 分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.
(3) 作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念
设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.
3.映射与函数
由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A ,B 必须是非空数集.
对点讲练
分段函数的求值问题
x +2 x ≤-1 ,⎧⎪2
【例1】 已知函数f (x ) =⎨x -1
⎪⎩2x x ≥2 .
(1) 求f [f (3)]的值; (2) 若f (a .) =3,求a . 的值.
分析 本题给出的是一个分段函数,函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间,所以要对x 的可能范围逐段进行讨论.
2
解 (1) ∵-13
而3≥2,∴f [f 3)]=f (3) =2×3=6.
(2) 当a .≤-1时,f (a .) =a . +2,又f (a .) =3,∴a . =1(舍去) ;当-1
2
=a . ,又f (a .) =3,∴a . =±3,其中负值舍去,∴a . =3;当a .≥2时,f (a .) =2a . ,又
f (a .) =3,
3
∴a . =2舍去) .综上所述,a . =3.
规律方法 对于f (a .) ,究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与a . 所在范围有关,因此要对a . 进行讨论.由此我们可以看到: (1) 分段函数的函数值要分段去求;
(2) 分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的. 1⎧⎪2x -1 x ≥0 ,
变式迁移1 设f (x ) =⎨1
⎪⎩x x
答案 a .
11
解析 当a .≥0时,f (a .) =2a . -12. -1>a . ,得a .
分段函数的图象及应用
|x |-x
【例2】 已知函数f (x ) =1+2-2
若f (a .)>a . ,则实数a . 的取值范围是
11
,解>a . ,得a .
a a
x -x
解 (1) 当0≤x ≤2时,f (x ) =12=1,
-x -x
当-2
⎧⎪1 0≤x ≤2
∴f (x ) =⎨⎪1-x -2
.
(2) 函数f (x ) 的图象如图所示,
(3) 由(2) 知,f (x ) 在(-2,2]上的值域为[1,3) .
规律方法 对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
⎧|x +1| x
,使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是
______________________.
答案 (-∞,-2]∪[0,2] 解析
在同一坐标系中分别作出f (x ) 及y =1的图象(如图所示) ,观察图象知,x 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2].
映射概念及运用
【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射,哪些不是,为什么? (1) A ={x |x 为正实数},B ={y |y ∈R [},f :x →y =
⎧1, x≥0;⎪(2) A =R ,B ={0,1},对应关系f :x ,→y =⎨⎪⎩0, x
1
(3) A =Z ,B =Q ,对应关系f :x →y =x ;
(4) A ={0,1,2,9},B ={0,1,4,9,64},对应关系f :a →b =(a -1)
2
解 (1) 任一个x 都有两个y 与之对应,∴不是映射.
(2) 对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应,任意一个负数都有唯一的元素0和它对应,
∴是映射.
(3) 集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应,故不是映射.
(4) 在f 的作用下,A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64,∴是映射. 规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1) 是否是“对于A 中的 每一个元素”;(2) 在B 中是否“有唯一的元素与之对应”.
一个对应是映射必须是这两个方面都具备;一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可.
变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射,能否构成函数?
1
(1) A =R ,B =R ,f :x →y =x +1;
⎧⎫11⎨f a b (2) A ={a .|a . =n ,n ∈N +},B =⎩b|b=n N +⎬,:.→=; ⎭
a
(3) A =[0, +∞),B =R ,f :x →y 2=x ;
(4) A ={x |x 是平面M 内的矩形},B ={x |x 是平面M 内的圆},f :作矩形的外接圆.
解 (1) 当x =-1时,y 的值不存在, ∴不是映射,更不是函数.
(2) 是映射,也是函数,因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素.
(3) ∵当A 中的元素不为零时,B 中有两个元素与之对应,∴不是映射,更不是函数. (4) 是映射,但不是函数,因为A ,B 不是数集. 课堂小结
1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.
2.判断一个对应是不是映射,主要利用映射的定义:
(1) 集合A 到B 的映射,A 、B 必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合) ; (2) 对应关系有“方向性”,即强调从集合A 到集合B 的对应,它与从B 到A 的对应关系一般是不同的;
(3) 与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集.
课时作业
1.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方
B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =N *,f :a .→b =(a . +1) 2 D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值 答案 A
2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) 11
A . f :x →y =2x B . f :x →y =3x 11
C . f :x →y =4x D . f :x →y =6x 答案 A
1
由f :x →y =2,集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2},故选项A 不是映射.
⎧⎪x -5 x ≥6
3.已知f (x ) =⎨⎪⎩f x +2 x
(x ∈N ) ,那么f (3) 等于( )
A .2 B .3 C .4 D .5 答案 A
解析 由题意知f (3) =f (3+2) =f (5) =f (5+2) =f (7) =7-5=2.
⎧⎪x x ≥0 4.已知f (x ) =⎨⎪x x
2
⎧⎪x x ≥0
2,g (x ) =⎨⎪-x x
,则当x
等于( )
A .-x B .-x 2 C .x D .x 2 答案 B
2
解析 当x
∴f [g (x )]=-x . 二、填空题
0 x
5.已知f (x ) =⎨π x =0
⎪⎩x +1 x >0 答案 π+1
解析 f (-1) =0,f (0) =π,f (π) =π+1 ∴f (f (f (-1))) =f (f (0)) =f (π) =π+1.
⎧⎪1,x ≥0
6.已知f (x ) =⎨⎪0,x
2
,则f (f (f (-1))) 的值是__________.
,则不等式xf (x ) +x ≤2的解集是__________.
答案 {x |x ≤1}
解析 当x ≥0时,f (x ) =1,代入xf (x ) +x ≤2,
解得x ≤1,∴0≤x ≤1;
当x
7.若[x ]表示不超过x 的最大整数,画出y =[x ] (-3≤x
8.已知函数y =f (x ) 的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.
解 根据图象,设左侧射线对应的函数解析式为y =kx +b (x
⎧⎪k +b =1,∴⎨⎪b =2,⎩
⎧⎪k =-1,
解得⎨⎪b =2. ⎩
∴左侧射线对应的函数解析式为y =-x +2 (x 3时,函数的解析式为y =x -2 (x >3) . 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y =a .(x -2) 2+2 (1≤x ≤3,a .
∵点(1,1) 在抛物线上,∴a . +2=1,a . =-1, ∴当1≤x ≤3时,函数的解析式为 y =-x 2+4x -2 (1≤x ≤3) . 综上所述,函数的解析式为 -x +2 x
y =⎨-x +4x -2 1≤x ≤3 ,⎪⎩x -2 x >3 .【探究驿站】
⎧⎪1, x ∈[0,1],9.已知函数f (x ) =⎨⎪⎩x -3, x ∉[0,1],
求使等式f [f (x )]=1成立的实数x 构成的
集合.
解 当x ∈[0,1]时,恒有f [f (x )]=f (1) =1, 当x ∉[0,1]时,f [f (x )]=f (x -3) , 若0≤x -3≤1,即3≤x ≤4时,f (x -3) =1, 若x -3∉[0,1],f (x -3) =(x -3) -3, 令其值为1,即(x -3) -3=1,∴x =7. 综合知:x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x =7}.