矩阵与解线性方程组
中国人公安民学大报学 自(然学科)
版0121 第 3年 No.期3 210 Jou1nrlaof C hinseeP opeels Publ'c iecSurity nUivrestyi( cSenciea ndT cenohloy)g 第 69 总 S期m6u9
矩
与解阵线方性组
李程排昌( 中国
民公人大安学北, 10京0038 ) 要 摘性线数的核代心内是解容性线程方组 。寻求线在性方程解组存的在定理求解方和法过程的而中生的
产
线性方程组的解与其系和数常数有项 关 。本来是一这行列式理论 矩和阵论理构成线性了数的基本代理 。显论, 然个代数纯题,问通过 这把纯个数代题与问何结合起来 , 在几求线性解程组的方程中从过体整考虑上系数与常项 数关的,系应用行 式列、矩 阵理论 ,线使性方程的求组问题解得到彻底了地解 决。关键词 线性 方程组 矩阵;O 421 6.中图分类 号
1矩
与线性方阵程的表组
示
按适B当行列 与 B乘积的阵,矩记 为C = AB。 把A 、分块 (子 阵)矩 后 把,看成元素块乘做矩阵积仍得 后A 与 的B积矩阵 乘C 显然。 ,阵矩加的法、 法乘足结满合, 律但乘法不 满交换足。律 于一对般形式线性方程组 的 11ax 1 +a1 x22+ … +a1 nxn = b1 a 1 x2 1 a+22x2 …+ +a n2x = b2 ……n…………………… … a1m 1 x+a m x22+ …+a m n x n= b .m令 a11a 21 A= … a 1ma 1 2a22… a m2… … … … a1n a2 n …, a n m
于对准形式的标线方程性, 组当系其行列数式的 不 值 于 等 零时 笔 , 者“行在列 式 解 与 性 方线程 组 一”文已给出求了解式。 公以研下一究般式形的 性方程组线求解 的问 题 本(文 及 涉 的 均数为 数实)。 义定 1 形阵表矩 a11a 1 2=A … a m 112 a2a2 …a m2 …… … … a1 na n … 2 a mn 由 m× n 个 排定位的置构成数如的
下1 ]
[( 3)
(1 )
称为
m×n 矩型阵 其, a中i j为A 的第 i、 行 第 j的 A列 =(a i ) j m× n 元素或 ,阵 A矩也通 记常成 A = a( ij ), A = Am × n。 别特 m当= n 时, 称 A为 阶矩阵n 。 B两是个同型阵,矩( 1)若 A B 、设 、AB 相 等, 应位对上置元的素相都,等 则称 、A 记为 =A 定义2 B 。( ) 称 2A+ B = ( a ji+ bji 为 )A 与 B的矩阵和 ( 矩阵加法); 称 A - B = a(i j -b j )i为 与 AB 差矩阵 的 矩阵减(法 。) (3 ) 称 λ =A( λa i j 为数)矩乘阵 。B =( ib )js × n ,定义 3已知 阵 A = 矩(a i )jm s×, 以
s x1
b1 x b2 2 X= , b= . nx bm
(4
)A称为 3() 的式数系阵, X矩 为 ( 称3 ) 式未的 b知 称(为 3 式的)数常矩项 ( 列 阵 ),则可
数矩阵(列) , 得 ( )3 的式阵矩示表 XA b=.( )
5 ij =
cai b kj ki = , 1 ,2 ,…, ;m∑ k 1
=j = 1, 2 ,,… n (2)
m×n
为元
排素成 m的 ×n 矩型 C阵= ( c ji )作 简介 者·106·
称为
A李排昌
19(5 —7), 男,河 北人 ,授教。
2矩的阵行等初换变阵矩 A 1为 阶矩m阵且| A | ≠1 0,A2 为 m ( × -n m)型 X 2后为 阵矩 X;1 为 前m个未知数构 的成矩阵 ( 列), - n m个未知数构的矩阵成 (列) 。然显 矩阵,X 0=
李
排昌 矩阵:解与性线程组
方任用不为零意实数的 λ定义 4已矩知阵A, j 两 得矩行 乘 阵 A的 i第 行矩得 A阵1 ; 换互 A 的 第、 Ai 2; 把A 的第 i 行的 素元μ 倍加 于第 j 行得矩 阵A 3 。A1、 2A、 A3 称为 A 的 3种行 初变换矩阵等。 定义5 已知 矩 阵 A (= iaj m)× n ,在 A 中取定 k 任 k 行,列位 于定选、行列 相交处 k的 × k 个素构元 成个 一 阶行k列,式 做 叫A 一个 k 的阶子式。 A中不 于等零的 子式 的最大 阶 数r叫 做A 的 秩, 记数为r n(k A)= r。 特别当A 是 n 阶矩时阵,A 本构成身 记为 |一A | ; 其子 a 式ij余 下的素构成元 个n 阶行列式,
+ij也 个一(n - 1 ) ×( n - 1 ) 行列式阶M ,称( 1) - M 为 ija 代数余子式。的 由矩阵论可知理:矩 阵A 的初等变行矩换的阵
(
-
A1 -1 2A E
() )
8
n -的m 个线性无关 的每一列列为均A X =0 解, 其中 E 的为n - m 单位阶阵。矩 若 也是X A X=0 的 , 解 即X =A ( A1 2 A
)
)(
1 X2X
=
=A 1 1 + XA X2 2 =0
X =1- A- 11 A X2 。所2 从而,以 =X
秩
数与A 的 数秩等相。 义定 6若 n阶 矩 E阵的主 对线 ( 左角角至 右下角)上 上元的素为 1 , 均其他素元为 0均 则,称 E为位矩阵。单已知 阶n矩 阵, 若有An 阶 阵矩B 使 B为称A 的逆阵矩。 A得B= B = A E,则 称 可逆A,由矩 阵法的结合乘可律: 知若 A有 矩逆, 其 阵-1, A 。 逆矩阵必唯 记一为 定理 n1 阶阵 A 矩存逆在阵矩充要的件条 是1 * | A|≠ 0, A且 A |A| = 11 A 1A 2 A =* … A1
-n1
(
(
)
(X1 2X -1A- 12 A
-EA - 11 2A X 22
)
X
)
=
2 X=X X0 2.
X 是即 ( 8) 式 中X0的线性 组,合其中 X 2任为意 n m -个数实成的矩阵构(列 ), 理定的论结立。成r 列构 的 r成 于一对般的情,形不妨设 A 的前r 、 阶子行式的不等值于 0把 A。 和 X如下分块 =
A(
A1
A3
2 A4
A) ( )
,X
= X1 2X
,
中其A 21A2 2… A2 n … … ……A n 1 A n2 … nA
A1n r为阶 阵且 | 矩1A| 0≠ ,A2 为 r× ( n - r ) 型 X2矩为
后 ; 阵1 X为 前 r未知数构个的成矩 (阵 ) , n列 -r 个未 知构成的数矩阵 (列 ) 。 对 A施行实初 等*变换 得A
(
)6
A
(
=
A1A 3
A 2A
4
)*→A
=
(
A
10
2A
0
)
.
(
9
而)A i j是 中A素元a i j代数余的式。 依行子列的式列展行定开与理阵的乘法 矩接直验即证。可 3线 性程组解的结构定方与理解的在存理定证明
* AX= 与 0A * = X0 解,同显 然,而 A X0=与 X (1 1 AA2) = 0 同 ,解 由前面证的明可, 定理的知结X2
)
(理 2 定(齐次 线方程组解的结性定构 )理 已 其知 A 中 =Am× n 。( 1 ) 若次齐线 性 程方 组AX = 0 rnk,( )A= n, (2 ) r若n(k A ) r= 则< AX = 0只有零, n解 , 则A = X0有 n r-个 线性无的关非解,零其 他何任 都解是 这n- r 解 的性线组合。 若 =r , m不设 妨 的前A m 构成的列m 阶子 的式值不等 0 , 把 于 和AX 下如块 证分 明A= (A1 A2 ) ,X
=成论,立定 理得。证定理 3 (线性 程组方的存解定在理 A)X = b 有解的充 条要件是 rn( Akb = )rnk (A 。()A ) 称为bA 的增矩阵。广r 列构成的 r 阶式子 妨设不A 前的 r行 、X 、b 如分块下 值的等于 0不, 把A A、 证明=
(
A1
3A
A2 A4
) ( ) ()
,
X X=1 2X, b = 1bb2
( 10 )
()X
1X 2
(
7
)A
1为 r 阶 矩且 | A阵1| ≠ ,0 A2 为 r×( n-r ) 型矩 2 X为 后 n阵 ;1 X为 r前 未知个构成的矩数 (阵列 ), - r个知数构未成的矩 阵( 列 ;) b 为前 1r个 常项数 1·07·
b2 后 为m -r 常个数项构成矩的构 的成阵矩(列) , (阵 )列 对。( bA )实行施等变初 (换 b) A= x 4=0 得 1 个 解,在( 1 3) 式 中 x3令 = , 它0也是 01 ( 21 )式解 的 Xb = 0 . 0 在( 1 )3式对 应齐次方的组中 x程1- 2x- x23+ 2 x4 =
0排李:昌 矩阵与线性方解组
程
(
1 A3A
A
A4
2b1 b
2) (
A→10
2A0
b
e
1
. () 1 )
1
从 (11 ) 式最后的一矩阵可个知:AX = 有解b 价等于解方程同 组A1X 1 + A2X 2 =1b有 且 e 解 0 ,=等 于 价rnk( b) A=rnk( A )。理得定。证 X 是0AX =0 的 定 4 理 若 bX 是 AX = 的b, X b解是 X A=b 解, 则 X b X+ 仍是0 A X b 的=;解 若Y b 、 的解 则, X 0=Y b - X b是 AX 0=的 。解 由此 得可AX = b的解。通 证 明于 A(由 X + Xb )0 A=Xb +A0X= b 0 =+ Ab( Y -b b )X= AYb - X A b= b -b= 0 . 所以 ,定理成。 立 例解性线程组 方1 x -2 -x 2 3x +2 x4 =- 1
{
3
2 + 5xx 3- 6 4 = x0.
x 4 =0和 x3 = 0, 4x= 1得 2 个线 分别 令3x = 1, 无性关的解 1 3 /0
- 5 / 3 X2 =1 ,X =2 0 .1 0 1 它也是(们 21 式对应)齐方程组得解次。 所, 以( 13) 式 的解通 ((即12 ) 式的通)解 为 X= bX α+1X + 1α 2X 2
{
2, x1+ x + x32 - 2 4 =x 1 1 x 2+x2 + 3 x - 4 x3 4 2 = (.Ab )施实行初等换 变2 -2- 1 -21 1 →3 4-2 -2 5 0 -62 0- 13 0
( 1
2)
其中α1 、 α2 任意为数。实 本通过对文列行式 、矩的讨阵, 论使性线程方组的 求问题解得到彻了底地解决关。于列式理行论和矩 理论阵的他应其,用 文不再本一论一。 参述考 文 献
解
对广矩增 1 - 阵12 1 2 1 10 -1 30 0
[
1 李排昌,]J .]中国人民 萍. 左行式与列线解性方组程[ 2001( 1): 10 0. 公大学安学: 报自然学科版 ,[ 2] 谢杰邦 .性代线[数M ] 北京.:人 教民出版社,育1 978 [.3] 同济大学 数教研学.室 性代线数 [M .] 京北 高等:教 育9919.出 社版,[ 4 李]排,昌 .京:北 中国人民公安大左萍. 线性代[数M] 005.2学 版出社,
由变
换后矩阵可的:知rn k( b)A r=n(k A = 2), 故 ( 21 式)有 4 -2 = 2个性无关线解的 。 (且1 )2 式与 变后的换阵矩成的构下如方组同程 解x - 12 - 2 xx3+ 2 x4 =-1
{
3
2x + 53x -6 x 4 3=.
(
1 )
3(责任编辑
左
萍)
·180·