3.2015高考预测试卷

2015年Y.P.M预测试卷 第三卷 1(总15)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

安徽卷

(Y.P.M预测第三试卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.

姓名 分数

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(理)设i是虚数单位,复数z满足i(z-1)=7-2z,则z=( )

(A)3-i (B)3+i (C)2-i (D)2+i (文)i为虚数单位,若(1+i)(3+iz)=2i,则复数z=( )

(A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i

2.(理)已知点P(a,b)在函数f(x)=|1-2sin(πx)|-|1+2sin(πx)|图像上,则一定不在函数f(x)图像上的点是( ) (A)(-a,-b) (B)(a+1,b) (C)(1-a,b) (D)(2-a,-b) (文)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=x},则不等式|2x-1|≤1的解集可表示为( )

(A)A∩B (B)A∩CRB (C)CRA∩B (D)CRA∩CRB 3.(理)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( )

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

(文)若a>2,b>2,且log2(a+b)+1=log2a+log2b,则log2(a2)+log2(b2)的值( )

(A)等于2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a,b无关的常数 4.(理)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,设X=Sn,Y=Sn+1-S1,Z=Sn+2-S2,则( )

(A)X+Z=2Y (B)X+Y=Z (C)XZ=Y (D)XY=Z (文)命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”的否定是( )

(A)任意一个有理数,它立方是有理数 (B)任意一个无理数,它立方不是有理数 (C)存在一个有理数,它立方是有理数 (D)存在一个无理数,它立方不是有理数

5.(理)某市居民2009～2013年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 由此统计资料给出的下列判断中,不正确的是( ) (A)居民家庭年平均收入的中位数是13 (B)居民家庭年平均支出的平均数是10

10

(C)居民家庭年平均支出占平均收入的.

13

2

2

(D)居民家庭家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系

2(总16) 第三卷 2015年Y.P.M预测试卷

(文)设数列{an}的前n项和Sn=a1(2-1),若a4=8,则an=( )

(A)2 (B)2 (C)2-1 (D)2-1 6.(理)m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面.下列选项中,p是q的充分不必要条件的是( ) (A)若mα,nβ,p:m∥β,且n∥α;q:α∥β (B)若m⊥α,n⊥β,P:m∥n;q:α∥β (C)若m,n是异面直线,P:m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,q:α∥β (D)若m⊥α,n∥β,p:m⊥n,q:α∥β (文)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

7.(理)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S3=a4-2,S2=a3-2,则在(x-a1)(x-a2)„(x-an)的展开式中,含x的项的系数是( ) (A)2-2 (B)2-2 (C)2-2 (D)2-2 (文)将函数y=f(x)cosx的图象向右平移是( )

(A)sinx (B)cosx (C)2sinx (D)2cosx 8.(理)给定平面向量a=(1,1),那么,平面向量b=(

n

n

n+1

n+1

n-1

n

n-1

n

n-1

n



个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函数y=cos2x的图象,则f(x)可以4

1313

,)是向量a经过( ) 22

(A)顺时针旋转60所得 (B)顺时针旋转120所得 (C)逆时针旋转60所得 (D)逆时针旋转120所得

xy10



(文)如果实数x,y满足y10,则|x+y+3|+|2x-y-3|的取值范围是( )

xy10

(A)[6,7] (B)[4,7] (C)[0,1] (D)[-2,1] 9.(理)已知a>0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y=2px(p>0)于P,Q两点,若

2

1|MP|2

+

1|MQ|2

为定值,则a=( )

(A)

p

(B)p (C)2p (D)4p 2

(文)从直线l:

xy22

+=1上的任意一点P作圆O:x+y=8的两条切线,切点为A和B,则弦AB长度的最小值为( ) 84

(A)3 (B)2 (C)4 (D)6

10.(理)在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场.那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(文)在正十边形的10个顶点中,任取4个点,则以这4个点为顶点的四边形为梯形(非平行四边形)的概率为( ) (A)

1234 (B) (C) (D) 7777

2015年Y.P.M预测试卷 第三卷 3(总17)

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)

xy022

11.(理)若实数x,y满足xy10,则x+y+2y的最小值是 .

2xy20

(文)在直角坐标系xOy中,已知三点A(a,1),B(2,b),C(3,-4)(a,b∈R+).若向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同,则

43

+的最小值是 . ab

12.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

13.(理)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.己知直线l的极坐标方程为θ=

x103cos

,圆M的参数方程为(α为参数).则圆M上任意一点P到直线l距离的最小值为 . 6y3sin

xaa2

在(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .

xa

(文)若函数f(x)=

14.(理)设非零向量a、b满足:|a+b|=,|a-b|=1,则|a|+|b|的最大值为 .

(文)已知以F为焦点的抛物线y=4x上的两点A、B满足AF=3FB,若O为坐标原点,则ΔAOB的面积= . 15.(理)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c-a=csinA,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①若B=

CACA,则A=;②若B=,则A≥;③若C-A=,则B=;④若C=,则B=;⑤cos+sin=1. 3624332322

2

(文)若四面体的四条高线交于一点,则该四面体叫做垂心四面体,高线交点叫该四面体的垂心.关于垂心四面体,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①垂心四面体任一顶点在对面上的射影点是对面三角形的垂心;②垂心四面体的对棱中点的连线相互垂直;③垂心四面体的对棱垂直;④垂心四面体对棱的平方和相等;⑤垂心四面体六条棱的中点在同一球面上.

三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)

16.(理)已知函数f(x)=[sin(



+x)-sin(-x)]sin(+x),x∈R. 443

(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)令xn=

n

,求数列{f(xn)}的前n项和Sn. 4

(文)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,asinC=3,ccosA=4. (Ⅰ)求tanA的值;

(Ⅱ)若ABAC=20,求边AB上的高.

4(总18) 第三卷 2015年Y.P.M预测试卷

17.(理)从m个男生,n个女生(10≥m>n≥4)中任选k(k≥2)个人.

(Ⅰ)当k=2时,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,求(m,n)的可能值;

(Ⅱ)当k=5时,设选出的5个人中,男生有a人,女生有b人,令ξ=|a-b|,求ξ的分布列.

(文)某市2010月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91, 92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (Ⅰ)完成频率分布表; (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污染 指数在0～50之间时,空气

质量为优:在51～100之间时,为良;在101～150之间时,为轻微污染;在151～200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.

18.(理)在如图所示的空间图形中,△ABC、△EFD均

是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90,CD⊥平面CD⊥平面DEF,AB⊥EF,AB=CD=EF.

(Ⅰ)求证:B、C、D、F四点共面(Ⅱ)求证:平面ADF∥平面(Ⅲ)求直线CF与平面ADF所成角的正弦值 (文)已知函数f(x)=ax+

2

2

,x≠0. x

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数g(x)=x+blnx+

2

2

在区间[1,4]上单调递减,求实数b的取值范围. x

2015年Y.P.M预测试卷 第三卷 5(总19)

19.(理)设f(x)=

1

+2kx(x≥0,k∈R). x1

(Ⅰ)若f(x)在[0,+∞)单调递减,求k的取值范围; (Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)-12

x,求证:对任意的a>0,b>0,都有g(a+b)

(文)如图:在四面体ABCD中,平面π截四面体所得截面为四边形EFGH,且AB∥平面π

,CD∥平面π(Ⅰ)求证:四边形EFGH是平行四边形(Ⅱ)若AB到平面π的距离为CD到平面π距离的二倍,求立方体图形ABEFGH与四面体ABCD体积之比;

y2x2

20.(理)己知椭圆C:+=1,点P、Q在x轴上,且在坐标原点O的同侧.点A在椭圆C上,且AP⊥x轴,过点Q的直线l

34

与椭圆C交于M、N两点,直线MP与椭圆C交于另一点(Ⅰ)求证:直线AQ与椭圆C只有一个交点的充要条件是(Ⅱ)若对任意直线l均有|QM||PT|=|QN||PM|,求证:直线AQ与椭圆C只有一个交点.

(文)已知椭圆C:PB的斜率之积=-x2a2

y2b2

+=1(a>b>0)PA与

1

. 4

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线PA、PB分别交x轴于点M、N,过原点O向过点M、N的圆G作切线OT,切点为T,证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.

6(总20) 第三卷 2015年Y.P.M预测试卷

21.(理)已知数列{an}满足a1=a(a>0),an+1=log2(an+1),n=1,2,3,„. (Ⅰ)若对于任意的n∈N+,an+1=an都成立,求a的值; (Ⅱ)当a>1时,求证:数列{an}单调递减;

(Ⅲ)证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N,都有an≤M.

(文)已知函数f(x)=-cosx,g(x)=2x-π,数列{xn}满足:x1=α(α∈(0,π)),g(xn+1)=(Ⅰ)若对任意的正整数n,恒有xn+1>xn,求α的取值范围; (Ⅱ)令an=|xn-4

|,数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn

1

f(xn). 2

*3

2014年Y.P.M预测试卷 第三卷 1(总89)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

安徽卷

(Y.P.M预测第三试卷)

姓名 分数

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(理)设i是虚数单位,复数z满足i(z-1)=7-2z,则z=( )

(A)3-i (B)3+i (C)2-i (D)2+i 解:由i(z-1)=7-2z(2+i)z=7+iz=

7i1

=(7+i)(2-i)=3-i.故选(A). 2i5

(文)i为虚数单位,若(1+i)(3+iz)=2i,则复数z=( )

(A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i 解:由(1+i)(3+iz)=2i3+iz=

2i

3+iz=1+iiz=-2+iz=1+2i.故选(A). 1i

2.(理)已知点P(a,b)在函数f(x)=|1-2sin(πx)|-|1+2sin(πx)|图像上,则一定不在函数f(x)图像上的点是( ) (A)(-a,-b) (B)(a+1,b) (C)(1-a,b) (D)(2-a,-b)

解:由f(x)=|1-2sin(πx)|-|1+2sin(πx)|f(-a)=|1+2sin(πa)|-|1-2sin(πa)|=-f(a)=-b;f(a+1)=|1-2sin(πa+ π)|-|1+2sin(πa+π)|=|1+2sin(πa)|-|1-2sin(πa)|=-f(a)=-b;f(1-a)=|1-2sin(π-πa)|-|1+2sin(π-πa)|=b; f(2-a)=|1-2sin(2π-πa)|-|1+2sin(2π-πa)|=-b.故选(B).

(文)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y=x},则不等式|2x-1|≤1的解集可表示为( )

(A)A∩B (B)A∩CRB (C)CRA∩B (D)CRA∩CRB 解:集合A:x>1,B:y≥0;不等式|2x-1|≤1-1≤2x-1≤10≤x≤1可表示为CRA∩B.故选(C). 3.(理)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( )

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

解:第1次循环:a=6,n=3;第2次循环:a=13,n=5;第3次循环:a=8,n=7;第4次循环:a=17,n=9;第5次循环:a=12,n=11;第6次循环:a=25,n=13.故选(D).

(文)若a>2,b>2,且log2(a+b)+1=log2a+log2b,则log2(a2)+log2(b2)的值( )

(A)等于2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a,b无关的常数 解:由log2(a+b)+1=log2a+log2blog2[2(a+b)]=log2(ab)2(a+b)=ab(a-2)(b-2)=4log2(a2)+log2(b2)= log2[(a-2)(b-2)]=2.故选(A).

2(总90) 第三卷 2014年Y.P.M预测试卷

4.(理)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,设X=Sn,Y=Sn+1-S1,Z=Sn+2-S2,则( )

(A)X+Z=2Y (B)X+Y=Z (C)XZ=Y (D)XY=Z

解:设等比数列{an}的公比为q,Y=Sn+1-S1=a2+a3+„+an+1=a1q+a2q+„+anq=q(a1+a2+„+an)=qSn=qX;Z=Sn+2-S2=a3+a4+„+an+2=qSn= qXXZ=qX=(qX)=Y.故选(C).

(文)命题“存在一个无理数,它的立平方根是有理数”的否定是( )

(A)任意一个有理数,它的立平方根是有理数 (B)任意一个无理数,它的立平方根不是有理数 (C)存在一个有理数,它的立平方根是有理数 (D)存在一个无理数,它的立平方根不是有理数 解:由命题“存在一个无理数,它的立平方根是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的立平方根不是有理数”.故选(B). 5.(理)某市居民2009～2013年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 由此统计资料给出的下列判断中,不正确的是( ) (A)居民家庭年平均收入的中位数是13 (B)居民家庭年平均支出的平均数是10

10(C)居民家庭年平均支出占平均收入的.

13

2

22

2

2

2

2

2

(D)居民家庭家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系

解:居民家庭年平均收入由小到大排列为11.5,12.1,13,14,15中位数是13;居民家庭年平均支出的平均数=8.8+10.4+11+12)=10;居民家庭年平均收入的平均数=

1

(7.8+ 5

11

(11.5+12.1+13+14+15)=×65.6>13(C)错误;由此统计资料 55

知,当平均收入增加时,平均支出也增加有正线性相关关系.故选(C). (文)设数列{an}的前n项和Sn=a1(2-1),若a4=8,则an=( )

(A)2 (B)2 (C)2-1 (D)2-1 解:由Sn=a1(2-1)a4=S4-S3=15a1-7a1=8a1=8a1=1Sn=2-1an=Sn-Sn-1=2-2=2.故选(B).

6.(理)m、n是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面.下列选项中,p是q的充分不必要条件的是( ) (A)若mα,nβ,p:m∥β,且n∥α;q:α∥β (B)若m⊥α,n⊥β,P:m∥n;q:α∥β (C)若m,n是异面直线,P:m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,q:α∥β (D)若m⊥α,n∥β,p:m⊥n,q:α∥β 解:(A)是必要不充分条件;(B)是充分必要条件;(C)是充分不必要条件;(D)是充分必要条件.故选(C). (文)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

解:输入S=0,k=1→S=2,k=2→S=4,k=3→S=10,k=4→S=14,k=5→S=24,k=6→S=30,k=7→S=44,k=8→S=52,k=9,输出的结果是9.故选(C).

7.(理)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S3=a4-2,S2=a3-2,则在(x-a1)(x-a2)„(x-an)的展开式中,含x的项的系数是

n-1

n

n

n

n-1

n-1

n

n-1

n

n-1

n

2014年Y.P.M预测试卷 第三卷 3(总91)

( )

(A)2-2 (B)2-2 (C)2-2 (D)2-2 解:由S3=a4-2,S2=a3-2a3=S3-S2=(a4-2)-(a3-2)a4=2a3公比q=2;由S2=a3-23a1=4a1-2a1=2an=2Sn=2-2 (x-a1)(x-a2)„(x-an)的展开式中,含x的项的系数(在n-1个括号内取x,余下的一个括号内取-ai)=-(a1+a2+„an)=2-2.故选(C).

(文)将函数y=f(x)cosx的图象向右平移是( )

(A)sinx (B)cosx (C)2sinx (D)2cosx 解:当f(x)=2sinx时,y=2sinxcosx=sin2x,由y=sin2x的图象向右平移cos2x,再作关于x轴的对称变换,得到函数y=cos2x的图象.故选(C). 8.(理)给定平面向量a=(1,1),那么,平面向量b=(

n-1

n+1

n

n+1

n

n

n+1

n+1



个单位后,再作关于x轴的对称变换,得到函数y=cos2x的图象,则f(x)可以4



个单位后得y=sin[2(x-)]=y=sin(2x-)=- 442

1313

,)是向量a经过( ) 22

(A)顺时针旋转60所得 (B)顺时针旋转120所得 (C)逆时针旋转60所得 (D)逆时针旋转120所得 解:设旋转角为θ,θ∈(-π,π],则向量b=(cosθ-sinθ,sinθ+cosθ)=(θ+cosθ=

1130

cosθ=,sinθ=θ=60.故选(C).

222

1311,)cosθ-sinθ=且sin222

xy10



(文)如果实数x,y满足y10,则|x+y+3|+|2x-y-3|的取值范围是( )

xy10

(A)[6,7] (B)[4,7] (C)[0,1] (D)[-2,1]

解:约束条件所确定的区域为△ABC区域(包括边界),其中A(-2,-1),B(-1,0),C(0,-1);作直线l1:x+y+3=0、l2:2x-y-3=0,则△ABC区域在直线l1、l2的上方x+y+3≥0、2x-y-3≤0|x+y+3|+|2x-y-3|=-x+2y+6;当A(-2,-1)时,-x+2y+6=6;当B(-1,0)时,-x+2y+6=7;当C(0,-1)时,-x+2y+6=4.故选(B).

9.(理)已知a>0,过M(a,0)任作一条直线交抛物线y=2px(p>0)于P,Q两点,若

2

1|MP|

2

+

1|MQ|2

为定值,则a=( )

(A)

p

(B)p (C)2p (D)4p 2

解:设PQ:

cos2a2

xatcos2pcos2pa111122

,t+=2+2= tsinα-2ptcosα-2ap=0t1+t2=1t2=-2222

sinsin|MP||MQ|t1t2ytsin

11111sin22

+=+(-)sinα为定值-=0a=p.故选(B).

apaapapaa

xy22

+=1上的任意一点P作圆O:x+y=8的两条切线,切点为A和B,则弦AB长度的最小值为( ) 84

(文)从直线l:

(A)3 (B)2 (C)4 (D)6 解:设P(8-2t,t),则直线AB:(8-2t)x+ty=8圆心O到直线AB的距离d=故选(B).

10.(理)在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场.那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解:设这3名选手之间比赛的场数是r,全部选手人数为n,由题意得:50=Cn-3+r+(6-2r)(这3名选手与其它选手比赛的场

2

8(82t)t

2

2

≤弦AB长度的最小值=23.

4(总92) 第三卷 2014年Y.P.M预测试卷

数)r≤3,(n-3)(n-4)=88+2rr=1,n=13.故选(B).

(文)在正十边形的10个顶点中,任取4个点,则以这4个点为顶点的四边形为梯形(非平行四边形)的概率为( ) (A)

1234 (B) (C) (D) 7777

解:设正十边形为A1A2„A10,则:①以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个;同理分别以A2A3、A3A4、„、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个;这样,合计有30个梯形;②以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个;同理分别以A2A4、A3A5、„、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个;这样,合计有20个梯形;③以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A10,有1个;同理分别以A2A5、A3A6、„、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个;这样,合计有10个梯形;所以,所求的概率P=故选(B).

302010

C10

=

2.7

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置)

xy022

11.(理)若实数x,y满足xy10,则x+y+2y的最小值是 .

2xy20

解:由点P(x,y)不区域△ABC内,其中A(

1122222

,),B(1,0),C(2,2);令M(0,-1),则x+y+2y=x+(y+1)-1=|MP|-1;由点M到22

2222

直线AB:x+y-1=0的距离d=|MP|≥d=2x+y+2y的最小值是1(当x=1,y=0时取得).

(文)在直角坐标系xOy中,已知三点A(a,1),B(2,b),C(3,-4)(a,b∈R+).若向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同,则

43

+的最小值是 . ab

4+ a

解:因为向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同,所以AB⊥OCABOC=03(2-a)-4(b-1)=03a+4b=10

31431ab24=(3a+4b)(+)=(24+9+16)≥. b10ab10ba5

12.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

解:由三视图该几何体如图所示其中,四边形ABCD是边长为2的正方形,面积=4;△BCE是斜边BC=2的等腰直角三角形,面积=1;四边形与四边形DCEF是全等的直角梯形,面积和=3;△ADF是等腰三角形,AF=DF=面积=2该几何体的表面积=5+42.

13.(理)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.己知直线l的极坐标方

2014年Y.P.M预测试卷 第三卷 5(总93)

程为θ=

x103cos

,圆M的参数方程为(α为参数).则圆M上任意一点P到直线l距离的最小值为 . 6y3sin

22

解:由直线l:x-3y=0,圆M:(x-10)+y=9圆心M(10,0)到直线l的距离d=5距离的最小值=d-r=5-3=2.

(文)若函数f(x)=

xaa2

在(1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .

xa

xaa22aa22

解:由f(x)==1+在(1,+∞)上是减函数a≤1,且2a-a>0a∈(0,1].

xaxa

14.(理)设非零向量a、b满足:|a+b|=,|a-b|=1,则|a|+|b|的最大值为 .

22222222

解:由|a+b|=3,|a-b|=1a+2ab+b=3,a-2ab+b=1a+b=2|a|+|b|=2;由

|a|

|b|≤|a|+|b|≤2.

2

(文)已知以F为焦点的抛物线y=4x上的两点A、B满足AF=3FB,若O为坐标原点,则ΔAOB的面积= . 解:设直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=

pppp143p2

,|BF|==3=. cosθ=-S△AOB=

1cos1cos1cos1cos232sin

2

15.(理)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c-a=csinA,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①若B=

CACA

,则A=;②若B=,则A≥;③若C-A=,则B=;④若C=,则B=;⑤cos+sin=1. 3624332322

解:由c-a=csinAsinC-sinA=sinCsinA;①若B=sin(



,设A=-α,C=+α,α∈(0,),则sin(+α)-sin(-α)= 333333

31122

+α)sin(-α)sinα=cosα-sinαsinα=α=A=;②若B=,则sinC=cosAcosA- 33662442

2BB2BB2

;③若C-A=,则C=-,A=-sin(-)-sin(-)=sin(- [1**********]

sinA=cosAsinA>0cosA>sinAA

BBB3B1112B2B

)sin(-)sin=cos-sinsin=B=;④若C=,则1-sinA=sinAsinA=A= [1**********]262

B=

CACA

;⑤设=α,=β,则C=α+β,A=β-αsin(α+β)-sin(β-α)=sin(α+β)sin(β-α)2cosαsin322

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

β=sinαcosβ-cosαsinβ2cosαsinβ=(1-cosα)(1-sinβ)-cosαsinβcosα+2cosαsinβ+sinβ=1 cosα+sinβ=1cos

CACA

+sin=1.故选①③④⑤.22

(文)若四面体的四条高线交于一点,则该四面体叫做垂心四面体,高线交点叫该四面体的垂心.关于垂心四面体,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①垂心四面体任一顶点在对面上的射影点是对面三角形的垂心;②垂心四面体的对棱中点的连线相互垂直;③垂心四面体的对棱垂直;④垂心四面体对棱的平方和相等;⑤垂心四面体六条棱的中点在同一球面上.

解:设垂心四面体ABCD的垂心为H,由AH⊥平面BCDAH⊥CD,同理可证:BH⊥CDCD⊥平面ABHCD⊥AB,同理可证:AC⊥BD,AD⊥把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图由AB⊥CD上下底面为菱形;由AC⊥BD左右侧面

为菱形前后侧面为菱形AD⊥BC①正确;②错③正确;④正确;四面体ABCD每组对棱中点的连线过平行六面体的中心,且相等⑤正确.综上,命题正确的是:①③④⑤.

三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)

16.(理)已知函数f(x)=[sin(



+x)-sin(-x)]sin(+x),x∈R. 443

6(总94) 第三卷 2014年Y.P.M预测试卷 (Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)令xn=

n

,求数列{f(xn)}的前n项和Sn. 4

解:由f(x)=2sinx(

; 4

1111332322

cosx+sinx)=(sinx+sinxcosx)=(-cos2x+sin2x+)=sin(2x-)+

6222222222

(Ⅰ)由2kπ-



≤2x-≤2kπ+kπ-≤x≤kπ+f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z); 2626363

n22222

sin(-)+;①当n=4k时,f(x4k)=sin(2kπ-)+=sin(-)+=0;②当n=4k-3

2666242424

(Ⅱ)因f(xn)=时,f(x4k-3)=-

3322222

sin(2kπ--)+=-sin(+)+=+;③当n=4k-2时,f(x4k-2)=sin(2kπ-π[1**********]

222626

)+=;④当n=4k-1时,f(x4k-1)=sin(2kπ--)+=-++ f(x4k-3)+f(x4k-2)+f(x4k-1)+f(x4k)=6264224444

262232+-++0=2S4k=2k,S4k+1=2k++;S4k+2=k++,S4k+3=2(k+1). 42444444

(文)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,asinC=3,ccosA=4. (Ⅰ)求tanA的值;

(Ⅱ)若=20,求边AB上的高.

解:(Ⅰ)在△ABC中,作BH⊥AC于H,则BH=3,ccosA=AHAH=4tanA=

3

4

3 4

(Ⅱ)在Rt△ABH中,BH=3,AH=4AB=5;由tanA=

sinA=

34

,cosA=;又由ABAC=2055

b=5AB上的高=bsinA=3.

17.(理)从m个男生,n个女生(10≥m>n≥4)中任选k(k≥2)个人.

(Ⅰ)当k=2时,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,求(m,n)的可能值;

(Ⅱ)当k=5时,设选出的5个人中,男生有a人,女生有b人,令ξ=|a-b|,求ξ的分布列. 解:(Ⅰ)P(A)=P(B)(10,6);

(Ⅱ)因a+b=5ξ=|a-b|=|a-(5-a)|=|2a-5|ξ=1,3,5;P(ξ=1)(a=2,3)=P(ξ=3)(a=1,4)=

1441

CmCnCmCn

Cmn

2332

CmCnCmCn

Cmn

22

CmCnCmn

=

11

CC2Cmn

Cm+Cn=CmCn(m-n)=m+n,即m+n是完全平方数,且9≤m+n≤19,因此(m,n)=

22112

=

10m(m1)n(n1)

;

(mn)(mn1)(mn2)(mn3)

=

5mn[(n1)(n2)(n3)(m1)(m2)(m3)]C0C5C5C0

;P(ξ=5)(a=0,5)=mnmn=

(mn)(mn1)(mn2)(mn3)(mn4)Cmn

n(n1)(n2)(n3)(n4)m(m1)(m2)(m3)(m4)

.

(mn)(mn1)(mn2)(mn3)(mn4)

(文)某市2010月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91, 92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.

质量为优:在51～100之间时,为良;在101～150之间时,为轻微污染;在151～200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解:(Ⅰ) (Ⅱ)略;

(Ⅲ)答对下述一条即可: ①该市一个月中,有2天处

于优的水平,占当月天数的1/15;有26天处于良的水平;占当月天数的13/15;处于良或优的有28天,占当月天数的14/15.说明该市空气质量基本良好;②轻微污染有2天,占当月天数的1/15;污染指数在80以上的接近轻微污染有15天,加上处于轻微污染的天数17,

占当月天数的17/30,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善. 18.(理)在如图所示的空间图形中,△ABC、△EFD均是

等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90,CD⊥平面CD⊥平面DEF,AB⊥EF,AB=CD=EF.

(Ⅰ)求证:B、C、D、F四点共面(Ⅱ)求证:平面ADF∥平面(Ⅲ)求直线CF与平面ADF所成角的正弦值解:(Ⅰ)把该几何体放置到正方体中,如图所示由CD⊥平面ABC,CD⊥平面DEF平面DEF∥平面ABC;

设平面BEF与平面ABC的交线为BM,则EF∥BM,由AB⊥EFAB⊥BM;取点M,使得BM=FE,则CM=AC,∠BMC=∠=45ED∥MC,且△BMC≌△FEDBC∥EDB、C、D、四点共面(Ⅱ)由DF∥BCBC∥平面BCE,AD∥CEAD∥平面平面ADF∥平面BCE;

(Ⅲ)分别以BA、BM、BF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图:

不妨设AB=2,则A(2,0,0),C(1,1,0),D(1,1,2),E(0,2,2),F(0,0,2)AD=(-1,1,2),AF=(-2,0,2);设平面ADF的法向量m=(x,y,z),由mAD=0,mAF=0-x+y+2z=0,-x+z=0,令x=1z=1,y=-1m=(1,-1,1);CF=(-1,-1,2);设直线CF与平面ADF所成角为θ,则sinθ2

|=

2. 3

(文)已知函数f(x)=ax+

2

,x≠0. x

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数g(x)=x+blnx+解:(Ⅰ)由f(x)=ax+0时,f(x)=2ax-2x

2

22

2

在区间[1,4]上单调递减,求实数b的取值范围. x

222

f(x)=2ax-2;当a=0时,f(x)=-2

=

2ax

2

(x-

3

1

); a

①当a>0时,由表知,f(x)在区间(-∞,0)

8(总96) 第三卷 2014年Y.P.M预测试卷

和(0,a1)内单调递减,在区间(a1, +∞)内单调递增;

②当a

2

2b222

g(x)=2x+-;g(x)在区间[1,4]上单调递减当x∈[1,4]时,g(x)≤0b≤-2x;由xxxx

(Ⅰ)知函数y=

263632

-2x在区间[1,4]内单调递减,所以,b≤-]. b的取值范围是(-∞,-x221

+2kx(x≥0,k∈R). x1

19.(理)设f(x)=

(Ⅰ)若f(x)在[0,+∞)单调递减,求k的取值范围; (Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)-解:(Ⅰ)由f(x)=

12

x,求证:对任意的a>0,b>0,都有g(a+b)

111

+2kxf(x)=-+2k;f(x)在[0,+∞)单调递减对任意的x≥0,f(x)≤02k≤ 2x1(x1)(x1)2

k≤0k的取值范围是(-∞,0];

(Ⅱ)由g(x)=ln(x+1)-

121

xg(x)=-x,由(Ⅰ)知,g(x)在[0,+∞)单调递减;令h(x)=g(x)+g(b)-g(x+b)(x>0),则2x1

h(0)=g(0)=0,h(x)=g(x)-g(x+b)>0h(x)在[0,+∞)上单调递增h(x)≥h(0)=0当x∈(0,+∞)时,h(x)>0 h(a)>0g(a+b)

(文)如图:在四面体ABCD中,平面π截四面体所得

截面为四边形EFGH,且AB∥平面π,CD∥平面π(Ⅰ)求证:四边形EFGH是平行四边形(Ⅱ)若AB到平面π的距离为CD到平面π距离的二倍,求立方体图形ABEFGH与四面体ABCD体积之比;

(Ⅲ)若四面体ABCD是正四面体,求平面EFGH与平面BCD所成角的余弦值.

解:(Ⅰ)由AB∥平面πAB∥EF,AB∥GHEF∥GH;同理可证:EH∥FG四边形EFGH是平行四边形; (Ⅱ)设AB到平面π的距离为d1,CD到平面π的距离为为d2,

AEEC1BFBFd1dd

=k.,则=1=k=,=1=k=

ECd2ACk1FCd2ACd2

SS梯形CDFGkkEC1SVECDGF2k12k12k1VEHGDSHGD2

)梯形CDFG====,=BFG=(22k1k1AC(k1)k1(k1)3VABCDSBCDVABCDSABDSBCDSBCD(k1)

EA1k20VEHCDGFVABEFGHVk3k1k33k22

=()===.当k=2时,EHCDGF=; 333ACk1k1(k1)27VABCDVABCDVABCD(k1)(k1)

20.(理)己知椭圆C:

y2x2

+=1,点P、Q在x轴上,且在坐标原点O的同侧.点A在椭圆C上,且AP⊥x轴,过点Q的直线l 34

2014年Y.P.M预测试卷 第三卷 9(总97)

与椭圆C交于M、N两点,直线MP与椭圆C交于另一点

(Ⅰ)求证:直线AQ与椭圆C只有一个交点的充要条件是(Ⅱ)若对任意直线l均有|QM||PT|=|QN||PM|,求证:直线AQ与椭圆C只有一个交点.

解:(Ⅰ)设A(x0,y0),则P(x0,0),首先证明直线AQ与椭圆C只有一个交点的充要条件是直线 AQ:

ykxy0kx0x0xy0y22222

+=1;设直线AQ:y=kx+y0-kx0,其中,3x0+4y0=12;由2(3+4k)x+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)-12=0, 2

343x4y12

2

2

2

2

2

2

直线AQ与椭圆C只有一个交点上述方程仅有一根x064k(y0-kx0)-4(3+4k)[4(y0-kx0)-12]=03+4k-(y0-kx0)=0

(3-y0)+k(4-x0)+2kx0y0=0

2

2

2

xxyy32423x2

x0+y0+2kx0y0=0(3x0+4ky0)=0k=-0直线AQ:0+0=1;

34344y0

由|OP||OQ|=4Q(

xxyy4

,0)直线AQ:0+0=1直线AQ与椭圆C只有一个交点;

34x0

|QN||PT|

==λ(λ>1)QN=λQM,PT=-λPM;设Q(q,0),P(p,0),M(x1,y1),N(x2,y2), |QM||PM|

(Ⅱ)由|QM||PT|=|QN||PM|

T(x3,y3);由QN=λQM

2

2

x2q(x1q)xx1(1)q22222

;由3x2+4y2=123[λx1+(1-λ)q]+4(λy1)=12(3x1+ 2

y2y1y2y1

2

2

4y1)λ+6λ(1-λ)qx1+3[(1-λ)q]=122λqx1+(1-λ)q=4(1+λ)λ=(1+λ)p=4(1-λ)λ=

2

q24q242qx1

22

;同理由PT=-λPM-2λpx1+

p24p46px1



q24q42qx1

=

p24p46px1

2(pq-16)-2(p+q)(pq-4)x1=0;由直线l的任意

性x1是任意的pq=4|OP||OQ|=4;由(Ⅰ)知,直线AQ与椭圆C只有一个交点. (文)已知椭圆C:PB的斜率之积=-x2a2

+

y2b2

=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A(0,1)、B(0,-1),椭圆C上异于A、B的点P满足:直线PA与

1

. 4

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线PA、PB分别交x轴于点M、N,过原点O向过点M、N的圆G作切线OT,切点为T,证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.

解:(Ⅰ)由上、下顶点分别为A(0,1)、B(0,-1)b=1椭圆C:由kPAkPB=

x2a2

+y=1;设P(acosθ,sinθ)kPA=

2

sin1sin1

,kPB=; acosacos

sin1sin111x22

=-2=-a=2椭圆C:+y=1;

acosacos44a

sin1sin12cos2cossin1sin1

,kPB=x+1,PB:y=x+1M(,0),N(,0)|OM||ON| 直线PA:y=2cos2cos1sin1sin2cos2cos

(Ⅱ)由kPA==|

2cos2cos2|||=4,由切割线定理知,|OT|=|OM||ON|=4|OT|=2.

1sin1sin

3

21.(理)已知数列{an}满足a1=a(a>0),an+1=log2(an+1),n=1,2,3,„. (Ⅰ)若对于任意的n∈N+,an+1=an都成立,求a的值; (Ⅱ)当a>1时,求证:数列{an}单调递减;

(Ⅲ)证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N,都有an≤M.

解:令f(x)=x,g(x)=log2(x+1)(x>0),则f(x)、g(x)均在区间(0,+∞)内单调递增,且①f(x)=g(x)x=1;②f(x)>g(x)

x>1;③f(x)

3

*

(Ⅰ)因f(x)=g(x)x=1,所以,an+1=anan=log2(an+1)f(an)=g(an)an=1a1=1a=1;

3

10(总98) 第三卷 2014年Y.P.M预测试卷

(Ⅱ)因当x>1时,f(x)>g(x),由a>1f(a)>g(a)f(a1)>g(a1)f(a1)>f(a2)a1>a2;假设ak>ak+1,则g(ak)>g(ak+1) f(ak+1)>f(ak+2)ak+1>ak+2,即当n=k+1时,an>an+1成立;数学归纳法原理知an>an+1;

(Ⅲ)由(Ⅰ),(Ⅱ)知,当a≥1时,an≤a1=a;当0

(文)已知函数f(x)=-cosx,g(x)=2x-π,数列{xn}满足:x1=α(α∈(0,π)),g(xn+1)=(Ⅰ)若对任意的正整数n,恒有xn+1>xn,求α的取值范围; (Ⅱ)令an=|xn-4

|,数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn

1111

f(xn)2xn+1-π=-cosxnxn+1=-cosxn;令h(x)=-cosx(x∈(0,π)),则h(x)在(0,π)内

242422

1

cosx-1≤0T(x)在(0,π)内单调递减,又因4

1

f(xn). 2

解:(Ⅰ)由g(xn+1)=

单调递增,且h(x)∈(0,π);令T(x)=h(x)-x(x∈(0,π)),则T(x)=T(

)=0h(x)>xT(x)>0T(x)>T()0

由xn+1>xnx2>x1h(x1)>x1x1∈(0,



);当x1∈(0,)时,π>h(x1)>x1>0π>x2>x1>0;假设π>xk+1>xk>0,则h(π)> 22



); 2

h(xk+1)>h(xk)>h(0)π>xk+2>xk+1>0,由数学归纳法原理知,0

(Ⅱ)首先证明:|sinx|≤|x|,即当x≥0时,-x≤sinx≤x,令F(x)=x+sinx,则F(x)=1+cos≥0F(x)在[0,+∞)内单调递增F(x)≥F(0)=0sinx≥-x,同理可证:sinx≤x,所以,|sinx|≤|x|; 由an=|xn-111111n-1

|an+1=|xn+1-|=|-cosxn|=|cosxn|=|sin(xn-)|≤|xn-|=anan≤a1()Sn≤2222444444

41n4

a1[1-()]