案例1幼儿园小女孩学"集合"

案例25 幼儿园小女孩学“集合”

（新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概念，以下是在这一背景下发生的一个案例．）

一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’”．数学家想道：“对于这样一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了．”因此，他关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！一点也不难．”这样抽象的概念难道会这样容易吗？听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放心不下，因此，他又追问道：“你们的教师是怎样教的？”女儿说：“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等．最后，教师问大家：‘是否都懂了？’她得到了肯定的答复．”这样的教学法似乎也没有什么问题，因此，父亲就以如下的问题作为最后的检验：“那么，我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合呢？”迟疑了一会，女儿最终回答道：“不行！除非它们都能站起来．”（转引自郑毓信《数学教育哲学》P183)

听完这个叙述之后，我们要问：

（1）你最突出的感受是什么？说出你最想说的话来．

为了把思考引向深入，我们还要继续问：

（2）课例说了些什么事实？这些事实说明了什么道理？

为了使说明道理的讨论更加集中，我们再配上3道重点思考题： 重点思考题

①“女教师”是怎样组织“集合”教学的？为什么教师所传授的知识不是“女儿”所回答的？幼儿园里的“男孩子集合”、“女孩子集合”、“白孩子集合”、“黑孩子集合”与作为原始数学概念的集合有什么区别？

②“女儿”为什么说集合学习“一点也不难”？又为什么要强调匙子和土豆都“站起来”？这到底是“教师”的教学内容问题，还是“学生”的学习基础问题，抑或是“数学家”的评估方式问题？如何认识“女儿”学习中的错误？ ③世界上所有的匙子或土豆“组成的集合”与“幼儿园里部分孩子（男、女、

白、黑）”组成的集合有无不同？对于幼儿园孩子认识集合概念而言，是“女教师”的教学不对头还是“数学家”的提问不恰当？幼儿园能不能渗透集合概念？ 这个讨论的一个目的，是想渗透建构主义的观点．下面是我们的初步总结．

对课例的分析

这个数学学习的故事，向我们展示了包含有教师、学生和数学家的行为、思想、情感在内的生动描述．（1）女孩兴高采烈地回家，手舞足蹈地描述学习的情况，天真而坦诚地回答父亲关于“土豆组成集合”的问题，在其可笑答案的背后，有引发沉重思考的悬念．其中给我的最突出的感受是：学生满以为已经学到的东西，并非教师所努力传播的东西．整个过程采用了倒叙的方式，描写了3个主要情节：

△教师教学的情节；

△学生学习的情节（与教师的教并列进行）；

△数学家评估的情节．分为两个阶段，首先是询问教与学的过程，然后用一道题目来检查教学效果．

于是，在这个小小的课例里，就涉及到教的问题、学的问题、教学内容与教学评估等问题．出于提炼建构主义观点的目的，我们提出4点看法．

（1）教师传授什么，学生就接受什么的传统认识并不可靠．

女教师根据集合概念的基本特性，就近利用课堂情景努力进行教学设计，并且结合幼儿的特点，运用直观性（一眼看清）、活动性（学生扮演元素、组成集合）的教学原则，积极组织教学，这个方向是值得肯定的；其内容限于集合实例的渗透也是可行的，儿童偏爱活动、喜欢参与，从单个活动看，让有关人员站起来不但有助于集合的“呈现”，而且也能产生趣味性、新奇感，并积累数学活动的体验．但是，四次叫学生“站起来”，造成了非本质属性的泛化，这说明，教师传授知识时，学生不是被动接受的，他们对知识信息有一个选择、整合和“意义赋予”的过程，认为教师传授什么学生就接受什么的传统认识并不可靠，这应该引发我们对教学观念更新的思考．

（2）学生在学习过程中的错误认识有其内在的合理性．

在学习“集合”（名词）之前，儿童已经有了“听到哨音，到操场排队‘集合’（动词）”的经验，也有把一群人看成一个整体（小组或班级）的已有知识，

在女教师的设计下，又见到“站起来的人组成集合”，这两者的相互作用，是儿童根据原有知识经验，建构新知识的过程，于是，新旧知识之间的共同点：“人”，“聚集到一块”等就很自然地成为“集合”概念的必要因素与必要形式，面对“土豆”组成的集合，“女儿”首先迟疑了一下，一闪念之间可能出现很多否定性的因素：土豆不是人！土豆不能站起来！土豆不会在幼儿园里！全世界的土豆既看不全又数不清„„在这些可能的否定理由中，构成反差最大、最明显的是：当初孩子们都站起来了，所以，“女儿”最终说“不行！除非它们都站起来．”如果说，这是一个错误的话，那确实有其内在的合理性，确实是一个可爱的错误，应该说，在课堂上没有学生的错误，更没有错误的学生．

另外，女儿的年龄太小，还没有足够的非形式化数学知识去消化抽象的集合，从本质上认识集合概念是不可能的，只能是一些具体实例的渗透，为真正学习集合概念作些前期准备，因此，与其说女儿要土豆站起来是一个错误，不如说女教师的教学设计还有缺陷，不如说数学家的提问本身并不恰当．

（3）用数学家的思维来要求学生并不恰当．

在这个课例中，出现了3种思维方式，即数学家（爸爸）的思维，教师（女教师）的思维，学生（女儿）的思维．“数学家”与“学生”在思维上存在巨大差距（成人与儿童、数学与常识、抽象模式与具体实例），教师责任就是要进行教学法的加工，使数学成为儿童可以接受的东西，使得新知识能够在原有知识经验的基础上建立起来，就是说，数学的“学术形态”需要转变为“教育形态”，数学教师不同于数学家的一个方面就在于，我们不是要创造表示概念，而是去创造概念的理解．看来，女教师理解这一点，而“数学家”对数学教育的理解未必就比女教师了解得更多，这表现为：

①女教师只给“女儿”提供几个由“人”组成的具体集合的实例；而数学家却从集合的实质属性出发提出问题，他的检测起点太高，超出了“女儿”的年龄与认识水平，也超出了教师的教学范围．

②“全世界”的匙子或土豆，与“女儿”所认识的“集合”大相径庭，不是由“人”组成的、也不是在“幼儿园”的范围内，还是“一眼不能看清”、“多得数也数不完”的（朴素想象的无穷）：这一切，对第一次接触“集合实例”的儿童来说，是吃不消的．

③“匙子或土豆”隐含着“并集”的逻辑结构，既然“女儿”的集合概念尚未过关，“并集”当然也就更费解了．

④对女教师设计上的缺陷，“数学家”没有看出来，反认为“这样的教学法似乎也没有什么问题”．

这种种情况表明，数学教育是一门独立的专业，即使“数学家”也并非天然了解数学教育，他们往往更注重于数学教育的数学方面，而对数学教育的教育方面了解不够，诚然，缺少数学知识就没有资格成为数学教师，但只有数学知识还不足以成为一个好的数学教师；惟同时兼有数学专业知识、数学教育理论与数学教学技能的人才有希望成为优秀的数学教师．

由于评估的不合适，小女儿聪明可爱的一面被失败可笑的一面掩盖着，很可能会给小女儿留下学数学的消极体验．如果换一种提问方式或提问标准，小女儿将会是数学学习的成功者，也就是说，多一把子可以多出一批人才．应当注意到，失败是成功之母，成功更是成功之母．

（4）女教师教学设计的改进意见．

女教师不可能给幼儿园的儿童传授一个相对完整的集合概念，这是完全合理的，对此，不应该对教师求．但在如何给儿童提供尽可能优化的教学设计方面，确实还有值得研究的问题．

①举例应避免非本质属性的泛化．

“人”、“站起来”、“幼儿园里”等都是组成集合的非本质属性，一次又一次的重复尤其强化了“站起来”的动作．如果让坐着的学生也同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化．从“概念形成”的角度看，此处还没有进行到对共同属性抽象出本质属性的阶段，更应通过“变式”来突出本质属性．

②设计要能引起认知冲突

女教师所呈现的例子都是幼儿园里看得见的有限集合，都是具有相同“性别”或相同“肤色”的人组成的特殊集合．具有同一属性的有限个人集中在一起，看成一个整体（小组或班组），儿童比较好认识，不需要太多的思考，所以“女儿”说“一点也不难”，这句话的另一层含义是，教学设计没有引起学生更多的认知冲突．如果让男女孩子、黑白孩子也组成集合，让幼儿园内外的孩子也组成集合，让孩子与桌子一齐组成集合等，那么，教学效果会有很大的不同.

③反馈环节太粗糙．

教学不能没有反馈环节，这一点“女教师”是明白的，但集体回答“是否都懂了？”分不清真懂假懂，也掩盖了‘不出声’或“未明白”的声音，这个简单化的提问，相当于医生问来诊的病人：“你有什么病？”用病人的自我诊断来代替医生的诊断是不合适的，如果让学生去举出集合的例子，检验的情况会更真实一些，更细致一些，考虑到女教师所提供的例子不仅内容单一，而且类型上也只有正例、没有反例，让学生举例议论就更有必要了，学生说不定会举出一些不构成集合的例子来，使认识过程更加完整．

建构主义观点：教学中应重视学生真正的理解，而不是表面的理解，这样，在课堂上教师通过“你们懂了吗？”或“你们还有什么问题”来判断学生是否真正理解就会简单化了．（《教育研究》2002,7）

学生是否形成真正的、深层次的理解，教师大致可以从下面几个方面进行判断：

·能否用自己的话对所学知识进行解释、表达．

·能否据所学知识进行推论、猜测并解释相关现象，解决相关问题． ·能否举一反三，灵活运用．

·能否综合几方面的相关知识解决较复杂的问题．

·能否应用所学知识解决实际生活中的问题．

④措词更确切一点

“男孩子的集合”没有界定它的包含集，因而可以理解为“世界上”男孩子的集合，准确说，应是“该幼儿园里男孩子的集合”．