高等教育出版社,量子力学教程第二版课后答案,周世勋,陈灏着

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即

λm T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

ρvdv

8πhv=

c3

3

⋅e

1

hvkT

dv， （1） −1

以及 λv=c， （2）

ρvdv=−ρvdλ， （3）

有

ρ

λ

=−ρ

dvdλ

cd

λ

=−ρv(λ)

dλ

ρv(λ)=⋅c

λ

5

=

8πhc

λ

⋅e

1

hc

λkT

,−1

这里的ρλ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，ρλ取得极大值，因此，就得要求ρλ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作λm。但要注意的是，还需要验证ρλ对λ的二阶导数在λm处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的λm就是要求的，具体如下：

ρλ=

'

8πhc

λ

6

⋅e

1

hcλkT



hc1−5+⋅hc−λkT−11−eλkT



=0 

⇒ −5+

hc

⋅λkT

11−e

hcλkT

−

hcλkT

=0

⇒ 5(1−e

如果令x=

hc

，则上述方程为 λkT

−

)=

hc

λkT

5(1−e−x)=x

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

hcλmT=

xk

把x以及三个物理常量代入到上式便知

λmT=2.9×10−3m⋅K

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知

E=hv，

hP=

λ

如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动

p2

E=

2µe

如果我们考察的是相对性的光子，那么

E=pc

注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51×106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有

λ=

h

p

===

h2µeEhc2µec2E1.24×10−6

6

2×0.51×10×3=0.71×10−9m=0.71nm

m

在这里，利用了

hc=1.24×10−6eV⋅m

以及

µec2=0.51×106eV

最后，对

λ=

hc2µecE

2

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

3

1．3 氦原子的动能是E=kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德

2

布罗意波长。

解 根据

1k⋅K=10−3eV，

知本题的氦原子的动能为

E=

33

kT=k⋅K=1.5×10−3eV, 22

显然远远小于µ核c2这样，便有

λ=

hc2µ核cE

2

2×3.7×10×1.5×10=0.37×10−9m=0.37nm

这里，利用了

=

1.24×10−6

9

−3

m

µ核c2=4×931×106eV=3.7×109eV

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为

λ=

hc2µcE

2

=

hc2µkcT

2

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB=9×10−24J⋅T−1，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

解 玻尔——索末菲的量子化条件为

pdq=nh

其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。

（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有

p212

E=+kx

2µ2

这样，便有

p=±2µ(E−

12kx) 2

这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据

1E=kx2

2可解出 x±=±

2E

k

这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有

∫

x+

x2µ(E−12kx2)dx+∫x−x(−)2µ(E−1

kx2)dx=nh

−

+

2⇒

∫

x+

x2µ(E−1kx2)dx+−

2∫x+x2µ(E−1

2

kx2)dx=nh

−

x+

⇒2 ∫xµ(E−1kx2)dx=nh−22

为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；

x=

2E

k

sinθ 这样，便有

∫π

22µEcos2θd2E−π

2

ksinθ

=n

2

h ⇒∫π

2Ecosθ⋅

2En

−π

2

kcosθdθ=2

h

∫π

2n

⇒π2E⋅

µ

=

2

k

cos2θdθ=

2

h

这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分

π

B=∫2µ

−π2E⋅

2

k

sin2θdθ

这样，便有

π

A+B=∫2µ

µ

−π2E⋅

dθ=2Eπ⋅2

k

k

,

π

µ

（1）

A−B=∫2−π2E⋅

cos2θdθ

2

k

π

=∫2−πE

2

k

cos2θd(2θ)

π

=∫2−πE

k

cosϕdϕ,

2

这里ϕ =2θ，这样，就有

A−B=∫π

−π

E

k

dsinϕ=0 2）

（

根据式（1）和（2），便有

A=Eπ

这样，便有

µ

k

Eπ

µ

k

=

n

h 2

⇒ E=nhµ

2πk

=nh

其中h=

µ

k

,

h

2π

最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。

（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有

µ

υ2

R

=qυB

⇒ p=µυ=qBR 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为

∫

2π

qBRd(Rθ)=nh

⇒ qBR2⋅2π=nh ⇒ qBR2=nh

p2

又因为动能耐E=，所以，有

2µ

(qBR)2q2B2R2

E==

2µ2µ

qBnhqh

=nB⋅2µ2µ =nBNB,=

其中，MB=

qh

是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2µ

∆E=BMB

具体到本题，有

∆E=10×9×10−24J=9×10−23J

根据动能与温度的关系式

E=

3kT 2

以及

1k⋅K=10−3eV=1.6×10−22J

可知，当温度T=4K时，

E=1.5×4×1.6×10−22J=9.6×10−22J

当温度T=100K时，

E=1.5×100×1.6×10−22J=2.4×10−20J

显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。

1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？

解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有

E=hv=µec2

此外，还有

E=pc=

hc

λ

于是，有

hc

λ

⇒

=µec2

λ=

hcµec2

1.24×10−6=m6

0.51×10=2.4×10−12m

=2.4×10−3nm

尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之

类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。

第二章波 函数和薛定谔方程

2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令

rrΨ(r，t)=ψ(r)f(t)

i

r−h =ψ(r)e

rih J=(Ψ∇Ψ*−Ψ*∇Ψ)

2m

iiii

−Et−Etr−hEtr−hEt*rrih

=[ψ(r)e∇（ψ(r)e）−ψ*(r)eh∇（ψ(r)eh）]

2m

rrrrih

=[ψ(r)∇ψ*(r)−ψ*(r)∇ψ(r)]

2m

r

可见J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

11

(1)ψ1=eikr (2)ψ2=e−ikr

rr

从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点) 传播的球

面波。

rr

解：J1和J2只有r分量

r∂r1∂r1∂

在球坐标中 ∇=r0+eθ+eϕ

∂rr∂θrsinθ∂ϕ

rih**

(1) J1=(ψ1∇ψ1−ψ1∇ψ1)

2m

=ih2m[1reikr∂∂r(1re−ikr)−1−ikr∂1ikrr

re∂r(r

e)]r0

=ih1111 2m[r(−rr−r(−11r

2−ikr2+ikr)]r0

=hkrhkr

mr2r0=mr

3

r rJ与r

1r同向。表示向外传播的球面波。

(2) rJih**

2=2m

(ψ2∇ψ2−ψ2∇ψ)

=ih1−ikr∂1ikr1ikr∂2m[re∂r(re)−re∂r(1re−ikr)]r

r0

=ih111111r 2m[r(−r2+ikr)−r(−r2−ikr)]r0

=−hkrhkr

mr2r0=−mr

3r

可见，Jrr

2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ψ(x)=eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ Q∫

ψ*ψdx=dx=∞

∞

∫

∞ ∴波函数不能按∫

(x)

2

dx=1方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 ω=2

=1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

∞，x

0， 0≤x≤a



∞，x>a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

h2d2

−ψ(x)+U(x)ψ(x)=Eψ(x)

2mdx2

在各区域的具体形式为

h2d2

Ⅰ：x

2mdxh2d2

Ⅱ： 0≤x≤a −ψ2(x)=Eψ2(x) ②

2mdx2h2d2

Ⅲ：x>a −ψ3(x)+U(x)ψ3(x)=Eψ3(x) ③ 2

2mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=∞，要等式成立，必须

ψ1(x)=0 ψ2(x)=0

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 d2ψ2(x)2mE

方程(2)可变为+22(x)=0 2

dxh

令k2=

2mE

，得 2h

d2ψ2(x)2

+kψ2(x)=0 2

dx 其解为 ψ2(x)=Asinkx+Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ψ2(0)=ψ1(0) ⑤

ψ2(a)=ψ3(a) ⑥

⑤ ⇒B=0 ⑥ ⇒Asinka=0

QA≠0

∴sinka=0

⇒ka=nπ (n=1, 2, 3,L)

∴ψ2(x)=Asin

nπ

x a

由归一化条件 ∫

(x)dx=1

2

得 A

2

∫

a

sin2

nπ

a

xdx=1 0

由

∫

a

mπb

sin

ax∗sinnπaxdx=a

2

mn ⇒A=2

a

∴ψ2(x)=2nasinπa

x Qk2=

2mEh2

⇒Eh2

2n=

π22ma

2

n (n=1,2,3,L)可见E是量子化的。

对应于En的归一化的定态波函数为

2 ψ,t)=

sinnπxe−i

hEnt

, 0≤x≤an(xaa



0, xa #

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A′=

1

a

证ψ=

A′sinnπ：

(x+a), na

0, （2.6-14）

由归一化，得

x

1=∫ndx=∫A′2sin2

∞

−a

2

a

nπ

(x+a)dxa

=A′2∫

1nπ[1−cos(x+a)]dx−a2a

aa

A′2A′2

=x−

2−a2

∫

a

−a

cos

nπ

(x+a)dxa

a

A′2anπ2

=A′a−⋅sin(x+a)

2nπa−a=A′2a

∴归一化常数A′=

1a

#

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

−α 解：ψ(x)=⋅2αxe2

21

22

x

ω1(x)=1(x)=4α2⋅

2

α

⋅x2e−α

222

x

=

2α

3

⋅x2e−α

22

x

22dω1(x)2α3

=[2x−2α2x3]e−αx

dx 令

dω1(x)

=0，得 dx

1

x=0 x=±x=±∞

α

x=±∞时，ω1(x)=0。显然不是最大几率的位置。 由ω1(x)的表达式可知，x=0 ，

d2ω1(x)2α322223−α2x2

而 =[(2−6αx)−2αx(2x−2αx)]e

dx2=4α

3

[(1−5α2x2−2α4x4)]e−α

22

x

d2ω1(x)4α31

=−2

dx1ex=±

2

可见x=±

1

α

=±

h

µω

是所求几率最大的位置。 #

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(−x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

h2d2

−(x)+U(x)ψ(x)=Eψ(x) ①

2µdx2

将式中的x以(−x)代换，得

h2d2

−ψ(−x)+U(−x)ψ(−x)=Eψ(−x) ② 2

2µdx

利用U(−x)=U(x)，得

h2d2

−(−x)+U(x)ψ(−x)=Eψ(−x) ③ 2

2µdx

比较①、③式可知，ψ(−x)和ψ(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态

的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此ψ(−x)和ψ(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x−x)而得其对方，由①经x→−x反演，可得③，

⇒ ψ(−x)=cψ(x)

④

由③再经−x→x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ⇒ ψ(x)=cψ(−x)

⑤

④乘 ⑤，得

ψ(x)ψ(−x)=c2ψ(x)ψ(−x) 可见，c2=1 c=±1

当c=+1时， ψ(−x)=ψ(x)，⇒ψ(x)具有偶宇称， 当c=−1时， ψ(−x)=−ψ(x)，⇒ψ(x)具有奇宇称，

当势场满足 U(−x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#

2.7 一粒子在一维势阱中

U0>0, x>a

U(x)=

 0, x≤a

运动，求束缚态(0

−h2d2

2µdx

2

(x)+U(x)ψ(x)=Eψ(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：−h2d2

2µdx2

1(x)+U0ψ1(x)=Eψ1(x)①

h2d2

Ⅱ：−2µdx

2

2(x)=Eψ2(x) ②

−h2 Ⅲ：d2

2µdx

2

3(x)+U0ψ3(x)=Eψ3(x)③

整理后，得 Ⅰ： ψ′′−2µ(U0−E)

1

h2

1=0 Ⅱ：. ψ′2µ E

2′+h

22=0 Ⅲ：ψ′2µ(U0−E)

3

′−h

2

3=0 令 k2µ(U0−E)1=2h2 k2

2µE2

=h2

则

Ⅰ： ψ1

′′−k21ψ1=0 ⑦ Ⅱ：. ψ′2′−k22ψ2=0 ⑧ Ⅲ：ψ′3

′−k21ψ1=0 ⑨ ④ ⑤⑥

−∞

各方程的解为

ψ1=Ae−kx+Bekx

ψ2=Csink2x+Dcosk2x

1

1

ψ3=Ee+kx+Fe−kx

1

1

由波函数的有限性，有

ψ1(−∞)有限 ⇒A=0

ψ3(∞)有限 ⇒E=0

因此

ψ1=Bekx

1

ψ3=Fe

−k1x

由波函数的连续性，有

ψ1(−a)=ψ2(−a),⇒Be−ka=−Csink2a+Dcosk2a (10)

1

′(−a),⇒k1Be−ka=k2Ccosk2a+k2Dsink2a (11)ψ1′(−a)=ψ2

1

ψ2(a)=ψ3(a),⇒Csink2a+Dcosk2a=Fe

−k1a

(12)

1

′(a)=ψ3′(a),⇒k2Ccosk2a−k2Dsink2a=−k1Fe−ka (13)ψ2

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得

e−k1aB+sink2aC−cosk2aD+0=0

k1e−k1aB−k2cosk2aC−k2sink2a D+0=00+sink2aC+cosk2aD−e

−k1a

F=0

0+k2cosk2aC−k2sink2aD+k1e−k1aF=0

解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组

有非零解，必须

e−k1ak1e−k1a

00

sink2a−cosk2a0−k2cosk2a−k2sink2a0

=0 −k1a

sink2acosk2aek2cosk2a−k2sink2ak1Be−k1a

−k2cosk2a−k2sink2a

00=e−k1a

sink2acosk2a

−e−k1a−

k2cosk2a

−k2sinkk2ak1e−1a

sink2a

−cosk2a0 −k−k1e1asink2a

cosk2a

−e−k1a=

ksink−k

2cosk2a−k22ak1e1a

=e−k1a[−k−k−k1k2e1acos2k22a+k2e1a

sink

2acosk2a+ +ka2−k1k2e−k1sin2k2a+k2e

1asink2acosk2a]− −kaa1e−k1[k1e−k1sink−k2acosk2a+k2e1acos2k2a+ +k−k1e1asink−k2acosk2a−k2e1asin2k2a] =e−2k1a[−2k2

1k2cos2k2a+k22sin2k2a−k1sin2k2a]

=e−2k1a[(k222−k1)sin2k2a−2k1k2cos2k2a]

∵ e−2k1a≠0

∴(k222−k1)sin2k2a−2k1k2cos2k2a=0

即 (k222−k1)tg2k2a−2k1k2=0为所求束缚态能级所满足的方程。#

解法二：接（13）式

−Csink2a+Dcosk2a=

k2kCcoskk

2a+2kDsink2a 11

Csinkk22a+Dcosk2a=−

kCcoskk

2a+2Dsink2a 1k1

k2kcosk+sinkk2

2a2aksink2a−cosk2ak11

=0

2k2

kcosk2a+sink2a−(sink2a−cosk2a)1k1−(k2kcoskk

2a+sink2a)(2sink2a−cosk2a)1k1−(

k2kcosksinkk

2a+2a)(2ksink2a−cosk2a)=011 (

k2kcoska+sinka)(k

222sink2a−cosk2a)=01k1

k22kacoskk2k

2sink22a+21ksink2a−2cos2k2a−sink2acosk2a=0

1k1 (−1+k2

2ksin2k2k

2)2a− 21kcos2k2a=0

1 (k2

2−k21)sin2k2a− 2k1k2cos2k2a=0

#

解法三：

(11)-(13)⇒2kk2Dsink2a=k1e−1a(B+F) (10)+(12)⇒2Dcosk2a=e−k1a(B+F)

(11)−(13)

(10)+(12)

⇒k2tgk2a=k1 (a)

(11)+(13)⇒2kik2Ccosk2a=−k1(F−B)e−1a (12)-(10)⇒2Csink2a=(F−B)e−ik1a

(11 )+(13)

(12)−(10)

⇒k2ctgk 2a=−k1

令 ξ=k2a，η=k2a， 则

ξ tgξ=η (c)或

ξ ctgξ=−η (d)

ξ2

+η2

=(k2

+k2)=2µU0a2

1

2

h2

(f) 合并(a)、

(b)：

tg2k1k22a=

2kk2−k2 利用tg2k2tgk2a

2a=−tg2

k 2112a

#

解法四：（最简方法-平移坐标轴法）

Ⅰ：−h2

2µ′1

′+U0ψ1=Eψ1 （χ≤0） Ⅱ：−h2

2µ′2

′=Eψ2 （0＜χ＜2a） Ⅲ：−h2

2µ′3

′+U0ψ3=Eψ3 （χ≥2a） ψ′1′−2µ(U0−E)

h2

1=0 ⇒

′′

ψ2+2µEh22=0



ψ′2µ(3′−U0−E)h2

3=0ψ′−k2 (1) k2

1′1ψ1=01=2µ(U0−E)h2ψ′2′+k22h2

2ψ2=0 (2) k2=2µE束缚态0＜E＜U0ψ′3

′−k2

1ψ3=0 (3)ψ1=Ae+k1

x+Be−k1

x

ψ2=Csink2x+Dcosk2x

ψ3=Ee+k1

x+Fe−k1

x

ψ1(−∞)有限 ⇒B=0

ψ⇒E=0

3(∞)有限 因此

∴ψk1=Ae1x ψ−k

3=Fe

1x

由波函数的连续性，有

ψ1(0)=ψ2(0),⇒A=D (4)

ψ1′(0)=ψ′2

(0),⇒k1A=k2C (5)ψ′(2a)=ψ−2k2

3′(2a),⇒k2Ccos2k2a−k2Dsin2k2a=−k1Fe1a

(6)

ψ2(2a)=ψ3(2a),⇒Csin2k2a+Dcos2k2k1

a2a=Fe− (7)

(7)代入(6)

kk

Csin2k22a+Dcos2k2a=−kCcos2k2a+2kDsin2k2a 11

利用(4)、(5)，得

k1Asin2k+Acos2kk

2k2a2a=−Acos2k2a+Dsin2k2a2k1A[(

k1k−k2

)sin2k2a+2cos2k2a]=02k1

QA≠0

∴(k1k−k

2sin2k2a+2cos2k2a=02k1

两边乘上(−k1k2)即得

(k22

2−k1)sin2k2a−2k1k2cos2k2a=0

#

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

∞, x

, 0≤x

1, a≤x≤b，0, b

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为

−h2d2

2µdx

2

(x)+U(x)ψ(x)=Eψ(x) 对各区域的具体形式为

Ⅰ：−h2

2µψ1′′+U(x)ψ1=Eψ1 (x

2µψ′2

′+U0ψ2=Eψ2 (0≤x

2µψ′3

′−U1ψ3=Eψ3 (a≤x≤b) Ⅳ：−h2

2µ

ψ′4

′+0=Eψ4 (b

对于区域Ⅰ，U(x)=∞，粒子不可能到达此区域，故 ψ1(x)=0 而 . ψ′′−2µ (U0−E)

2

h

2

ψ2=0 ① ψ′2µ (U1+E)

3

′+h2

3=0 ② ψ′4

′+2µE

h

2ψ4=0 ③ 对于束缚态来说，有−U

2

1ψ2=0 k21=h2

ψ′′+k23ψ3=0 k22µ (U1+E)

3

3=h

2

ψ′4′+k2

4ψ4=0 k24=−2µE/h2

各方程的解分别为

ψk1

xk1

x

2=Ae+Be− ψ3=Csink2x+Dcosk2x

ψk3

x4=Ee++Fe−k3

x

由波函数的有限性，得 ψ4(∞)有限， ⇒E=0

∴ ψ4=Fe−k3x 由波函数及其一阶导数的连续，得 ψ1(0)=ψ2(0) ⇒B=−A ∴ ψ2=A(ek3x−e−k3x)

ψ2(a)=ψ3(a)⇒A(ek3x−e−k3x)=Csink2a+Dcosk2a ψ′3

(a)=ψ3′(a)⇒Akk1(e3a+e−k3a)=Ck2cosk2a−Dk2sink2a ψ3(b)=ψ4(b)⇒Csinkk2b+Dcosk2b=Fe−3b ⑨

ψ′3

(b)=ψ4′(b)⇒Ck2sink2b−Dk2cosk2b=−Fk3e−k3b ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧ ⑩

k1ek1a+e−k1aCcosk2a−Dcosk2a

由⑦、⑧，得 (11) =k1a−k1a

k2e−eCsink2a+Dcosk2a

由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C−(k2sink2b)D=(−k3sink2b)C−(k3cosk2b)D (

k2k

cosk2b+sink2b)C=(−2cosk2b+sink2b)D=0 (12) k3k3

令β=ek1a+e−k1ak1

ek1a−e

−k1a

⋅k，则①式变为 2 (βsink2a−cosk2a)C+(βcosk2a+sink2a)D=0 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 (

k2 kcosk)(−k

22b+sink2bsink2b+cosk2b)3k=0 (βsink3

2a−cosk2a)(βcosk2a+sink2a)即 (βcosk2a+sinkk2

2a)(kcosk2b+sink2b)−(βsink2a−cosk2a)⋅3

⋅(−k2

ksink2b+cosk2b)=03

β

k2kcoskk

2bcosk2a+23

ksink2bsink2a+βsink2bcosk2a+

3 +sinkk22bsink2a+β

ksink−k

22bsink2asink2bcosk2a)−

3k3 −βcosk2bsink2a+cosk2bcosk2a=0 sinkk22(b−a)(β−)+coskk

2k2(b−a)((β+1)=03k3 tgkk22(b−a)=(1+

kβ)(k

2k−β)33

把β代入即得

=(1+kka tgk2e1a+e−k1k2k1ek1a+e−k1a

2(b−a)kk1a−e−k1a)(k−kk2e1a−e

−k1a

) 3e3 此即为所要求的束缚态能级所满足的方#

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

程。

(ek1a−e−k1a)−sink2a−cosk2a0(ek1a+e−k1a)k2

−k2cosk2ak2sink2a0

0sink−k2bcosk2b−e3a

=00kk2cosk2b−k2sink2bk3e−3a

−k2cosk2ak2sink2a0

0=(ek1a

−e−k1a)sink2bcosk2b−e−k3a−

kk2cosk2b−k2sink2bk3e−3a

−sink2a−cosk2a0

−k1(ek1a

+e−k1a)=sink2bcosk2b−e−k3a

k2cosk2b−k2sink2bk3e−k3a

=(ek1a−e−k1a（)−k2−k2k−k3e3acosk2acosk2b−k2e3a

sink2a

coskk−kk2−k2k3e3asink2asin2b−k2e3a

2b−cosk2asink2b）

−kk1(e1b+e−k1b（)kk2k3e−3bsink2acosk2b−k2e−k3bcosk2a coskk2b+k3e−3bcosk2asinkk2b+k2e−3bsink2asink2b））

=(ek1a−e−k1a)[−k2

2k3cosk2(b−a)+k2sink2(b−a)]e−k3b

−(ek1a−e−k1a)[kb

1k3sink2(b−a)+k1k2cosk2(b−a)]e−k3 =ek1a[−(ka)+(k21+k3)k2cosk2(b−2−k1k3)sink2(b−a)]e−k3b

e−k1a[(k2

1−k3)k2cosk2(b−a)+(k2+k1k3)sink2(b−a)]e−k3b

=0

⇒ [−(k2

k1+k3)k2+(k2−k1k3)tgk2(b−a)]e−3b

−[(k2

1−k3)k2+(k2+k1k3)tgk2(b−a)]e−k3b=0

[(k2

−k2ka

22

1k3)e

1−(k+k1k3)]tgk2(b−a)−(k1+k2k

2

3)k2e

1a

−(k1−k3)k2=0

此即为所求方程。 #

补充练习题一

、设 ψ(x)−1

2=Ae

2

2x(α为常数)，求A = ？

解：由归一化条件，有 1=A

2

∫

∞

α2x2

α

2x

2

−∞

e

−d( x)=A

2

1

α∫

∞

−∞

e−d(α x)

=A

2

1

2

1

α

∫

∞

−∞

e

−y2

dy=A

α

1

∴A=

#

2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。

1

解：基态能量为E0=hω

2

设基态的经典界限的位置为a，则有

11

E0=µω2a2=hω

22 ∴a=

h

µω

=

1

α

=a0

在界限外发现振子的几率为

αω=

∫

−a

e

−α2x2

−∞

α∞−αx

dx+e dx (ψ0 =

a

∫

22

α−α

2x2

)

=====

2α

2

∫∫∫

∞

a0∞

e−α

22

x

dx (偶函数性质)

2

a0∞

e−(αx)d(α x)e−ydy

22

2

2

1

1

2

2

[∫e−ydy−∫e−ydy]

−∞

−∞

∞

[−

2π2

2

12π

∫

2

−∞

e−t

2

/2

dt] （令y=

12

t)1

x

式中

2π∫

1

e

−t2/2

−∞

dt为正态分布函数ψ(x)=

2π∫

e−t

2

/2

dt

−∞

当x=2时的值ψ(2)。查表得ψ(2)=&0.92 ∴ω=&

∂

[−×0.92] =2(1−0.92)=0.16

∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #

α−23、试证明ψ(x)=e

31

22

x

(2α3x3−3αx)是线性谐振子的波函数，并求此波

函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为

−h2d2(x)+1

µω22µdx2

x2ψ(x)=Eψ(x) ①

把ψ(x)代入上式，有

d1

dx(x)=d

−22x2dx[3(2α3x3−3αx)]1

2 =[−α2x(2α3x3−3αx)+(6α3x2−3α)]e−2

x

2

3

−1

2x

2

=3e

2(−2α5x4+9α3x2−3α)

d2ψ(x)d−1

222xdx2

=dx3(−2α5x4+9α3x2

−3α)

=

α−12α2x23−αxe

(−2αx4+9α3x2−3α)+e−12

2x225(−8α5x3+18α3x)

1

2=(α4x2−7α2

)α−2x

2

3e

(2α3x3−3αx)

=(α4x2−7α2)ψ(x)

把d2

dx

2ψ(x)代入①式左边，得

左边=−h2d2ψ(x)122

2µdx2

+2

µωxψ(x) =7α2

h2(x)−h2α4x2ψ(x)+1

µω2x22µ2µ2

ψ(x) =7⋅µωh2h2µω42h⋅2µ(x)−2µhxψ(x)+1

2

µω2x2ψ(x) =

7hωψ(x)−1µω2x2ψ(x)+1

µω2x2222ψ(x) =7

2

hωψ(x)

右边=Eψ(x) 当E=

7

2

hω时，左边 = 右边。 n = 3

d−2 ψ(x)=e

dx37

的能量为hω。

2

1

22

x

(2α3x3−3αx)，是线性谐振子的波函数，其对应

第三章 量子力学中的力学量

3.1 一维谐振子处在基态ψ(x)=

αe−

α2x2i2

−t2

，求：

(1)势能的平均值=

1

µω2x2； 2

p2

(2)动能的平均值=；

2µ (3)动量的几率分布函数。

解：(1) =

α11

µω2x2=µω222∫

∞

−∞

x2e−α

2

x2

dx

=

11111hα2

µω2⋅222=µω2=⋅ µω2224µω2α2αα

1

hω

4

=

p21

= (2) =

2µ2µ

∫

∞

−∞

ˆ2ψ(x)dx ψ*(x)p

1

22

α1∞−2 =e∫−∞

2µ

x

d2−22x2

(−h)edx 2

dx

2

22

1

αh22∞

=α∫(1−α2x2)e−αxdx

−∞

2µ

∞αh22∞−αx

α[∫edx−α2∫x2e−αxdx] =

−∞−∞

2µ

22

22

αh22α[ =−α2⋅3

α2α2µαh22h22h2µωα ==⋅ α=

2α4µ4µh2µ

1

hω 4

111

=

或 =E−=2hω−4hω=4

hω

(3) c(p)=∫ψ*p(x)ψ(x)dx =

1

∞

α−1

2

x2

2πh

∫−∞

e2e

−ih

Pxdx

2 =

1−1

x2−i2

2h

∫

∞

−∞

e

e

h

Pxdx

1 =

1α22(x+ip2p2−αh)−2αh

2πh∫

∞

−∞

e

dx

p2 =

1α2πhe−

2α2h

2

2(x+α2h

)2∫

∞

−1−∞

e

2ipdx

1p2

=

α−2h

2

2

1

−

p2 2α2h2

2πh

e2α

α

=

αhe

动量几率分布函数为 p2

ω(p)=c(p)2

=1

α2h2

αhe

−

#

3.2.氢原子处在基态ψ(r,θ,ϕ)=1

a0a3e−r/，求：

(1)r的平均值；

(2)势能−e2

r的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

解：(1)=∫r(r,θ,ϕ)dτ=4

=3

2

13πa0

∫∫∫

π2π∞

re−2r/a0r2sinθ drdθ dϕ

∫

∞

r3a−2r/a0dr

a0

=43!3a3=a0242 0a0

e22)=(−e2

(r)=−πa3

∫π∫2π∫

∞

10

r

e−2r/a00

r2sinθ drdθ dϕ=−e2

πa3

∫π2π∞

−2r/a00

∫0

∫

ersinθ drdθ dϕ

−4e2=0

a3

∫

∞

−2r/ar dr

e4e2=−1

e2a32

=−02a0

a0

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

ω(r)dr=∫

π

2π

∫

[ψ(r,θ,ϕ)]2r2sinθ drdθ dϕ=

4−2r/a3ea0r2

dr 0

ω(r)=

4a3e−2r/a0r2

dω(r)=42

3(2−r)re−2r/a0dra0

a 0 令

dω(r)

dr

=0， ⇒ r1=0, r2=∞, r3=a0 当 r1=0, r2=∞时，ω(r)=0为几率最小位置

d2ω(r)4842−2r/a0

dr2=a3(2−r+r)e0aa2

00 d2ω(r)8−2

dr2=−3

e

a0

∴ r=a0是最可几半径。

(4)

Tˆ2=12µpˆ2=−h2µ

h2

=−

2µ

∫π∫2π∞

1−r/a02−0

0∫

πa3e∇(er/a0)r2

sinθ drdθ dϕ 0

−

h2=∫π

∫2π

∫

∞

1−r/a01d2d−r/a2µ

πa3e0

r2

dr[rdr(e0)]r2

sinθ drdθ dϕ =−4h21

2µa3

(−∫

∞

(2r−r2−r/a0

a00

ae dr

=4h2a220a0h2

2µa4(2−)=2

0442µa0

(5) c(p)=∫ψ*rp

(rr

)ψ(r,θ,ϕ)dτ c(p)=

1

(2πh)3/2

∫

∞

1

r/a0

−i

h

prcosθ2π

πa3e

−r2

dr∫π

e

sinθ dθ∫0

dϕ

=

2π−i

h

prcosθ(2πh)

3/2

a3∫∞

r2e

−r/a0

dr∫π

e

d(−cosθ)

=

2π∫

∞

2r/a0−h

prcosθ(2πh)

3/2

a30

re−dr

hi

π

ipr

e0

i

i

=

2πh∞−r/a0hpr

−pr(2πh)3/2

a30

ip∫0

re(e−eh)dr =

2πh(2πh)3/2

a30ip[1(1−i−1 p)2(1+ip)2

a0ha0h

=

1

4ip

2a33

ipπ2 0hah(1a2

+p)2

00h2

=

4

a440h2a3

h3

πa2

2

22

0(a0p+h)

=

(2a0h)3/2h

π(a0p+h)

2222

动量几率分布函数

358a0h

ω(p)=c(p)=2

π(a0p2+h2)4

2

#

3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer=Jeθ=0 Jeϕ=

eh m2

nlm

µ rsinθ

证：电子的电流密度为

rrih**

Je=−eJ=−e(ψnlm∇ψnlm−ψnlm∇ψnlm)

2µ ∇在球极坐标中为

r∂1r∂r1∂

∇=er+eθ+eϕ

∂rr∂θrsinθ∂ϕrrr

式中er、eθ、eϕ为单位矢量

rrr∂1r∂rih1∂*Je=−eJ=−e+eθ+eϕ[ψnlm(er)ψnlm

∂rr∂θrsinθ∂ϕ2µ

rrr∂∂∂11*

+eθ+eϕ −ψnψnlm]lm(er

∂rr∂θrsinθ∂ϕ

riehr∂*∂1∂**ψψnlm−+e[er(ψnlmn)(lmnlmnlmnlmθ

∂r∂rr∂θ2µ

r∂∂∂111***

−ψnnlm)+eϕ(nlmnnnlm)]lmlm−lm

r∂θrsinθ∂ϕrsinθ∂ϕ

=−

Qψnlm中的r和θ部分是实数。 r

∴ Je=−

iehehm22r2r

(−imnlm−imnlm)eϕ =−nlmeϕ

2µrsinθµrsinθ

可见，Jer=Jeθ=0 Jeϕ=−

ehm2

nlm

µrsinθ

#

3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为

meh

−2µ(SI)

M=Mz=

hme−(CGS)2µc 原子磁矩与角动量之比为

e

−(SI)Mz2µ

=

eLz

−(CGS)2µc

这个比值称为回转磁比率。

解：(1) 一圆周电流的磁矩为

dM=iA=JeϕdS⋅A （i为圆周电流，A为圆周所围面积） =−

ehm2

nlmdS⋅π(rsinθ)2

µrsinθ

=−

ehm

µ

ehm

πrsinθnlmdS

πr2sinθnlmdrdθ (dS=rdrdθ)

2

2

=−

µ

(2)氢原子的磁矩为 M=∫dM=∫

π

∫

∞

−

ehm

µ

πnlmr2sinθ drdθ

2

=−

π∞ehm2

⋅2π∫∫nlmr2sinθ drdθ

002µ

=−

ehm2ππ∞22

nlmrsinθ drdθdϕ

2µ∫0∫0∫0

=−

ehm

(SI) 2µ

ehm

2µc

在CGS单位制中 M==−

原子磁矩与角动量之比为

MzMe

==−(SI) LzLz2µ

Mze

=−(CGS) # Lz2µc

L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H=，L为角动量，

2I求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2=L2Z

哈米顿算符 Hˆ2=12ILˆ2Z=−hd2

2Idϕ2

其本征方程为 (H

ˆ与t无关，属定态问题) −h2d2

2Idϕ

2

φ(ϕ)=Eφ(ϕ)

2

dφ(ϕ)

2IE

dϕ2=−h

2

φ(ϕ) 令 m2=

2IE

h2

，则 d2φ(ϕ)2

dϕ

2

+mφ(ϕ)=0 取其解为 φ(ϕ)=Aeimϕ (m可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有

φ(ϕ+2π)=φ(ϕ)⇒eim(ϕ+2π)=eimϕ 即 ei2mπ=1 ∴m= 0，±1，±2，…

m2转子的定态能量为E=h2

m2I

(m= 0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为

φm=Aeimϕ A为归一化常数，由归一化条件

1=∫2π

φ*

2π

mφmdϕ=A2∫dϕ=A22π

00

⇒A=

12π

∴ 转子的归一化波函数为

φ1m=

2π

eimϕ

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H

ˆ=12I

Lˆ2 H

ˆ与t无关，属定态问题，其本征方程为

12I

Lˆ2

Y(θ,ϕ)=EY(θ,ϕ) (式中Y(θ,ϕ)设为H

ˆ的本征函数，E为其本征值) L

ˆ2Y(θ,ϕ)=2IEY(θ,ϕ) 令 2IE=λh2，则有

L

ˆ2Y(θ,ϕ)=λh2Y(θ,ϕ) 此即为角动量L

ˆ2的本征方程，其本征值为 L2=λh2=l(l+1)h2 (l=0, 1, 2, L) 其波函数为球谐函数Ym

ϕlm(θ,ϕ)=NlmPl(cosθ)eim ∴ 转子的定态能量为 El(l+1)h2

l=2I

可见，能量是分立的，且是(2l+1)重简并的。

#

3.6 设t=0时，粒子的状态为

ψ(x)=A[sin2kx+1coskx] 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：ψ(x)=A[sin2kx+2coskx]=A[2(1−cos2kx)+2coskx]

=

A

[1−cos2kx+coskx] 2

Ai2kxikx[1−−e−i2kx)++e−ikx)] 2(e2(e2

=

=

1A2πhi0xi2kx−i2kxikx−ikx

[e−2e−2e+2e+2e]⋅ 22πh

可见，动量pn的可能值为0 2kh −2kh kh −kh

2

pn2k2h22k2h2k2h2k2h2

动能的可能值为0

2µµµ2µ2µ

对应的几率

ωn

应为

A2A2A2A2A2

()⋅2πh 416161616

11111

( ⋅A2πh 28888

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

A2A2A2

1=∑ωn=()⋅2πh=+4×⋅2πh

4162n

∴ A=1/h ∴ 动量p的平均值为

=∑pnωn

n

A2A2A2A2

=0+2kh×⋅2πh−2kh×⋅2πh+kh×⋅2πh−kh×⋅2πh=0

16161616

2pnp2

==∑ωn

µ2µ2n

k2h212k2h21

=0+µ⋅8×2+2µ×8×2

=5k2h2

8µ

# 3.7 一维运动粒子的状态是

ψ(x)=Axe−λx, 当x≥0

 0, 当x

其中λ>0，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由

1=∫∞

(x)2

dx=∫∞

−∞

A2x2e−2λxdx

=

124λ

3

A

∴A=2λ3/2

ψ(x)=2λ3/2xe−2λx (x≥0) ψ(x)=0 (x

∞

1−∞

2πh

e

−ikx

ψ(x)dx=(

1/2

3/2

2πh

1⋅2λ

∫

∞

(λ+ik)x−∞

xe−ψ(x)dx =(2λ31/2x

∞1

λ+ik)x2πh)[−

λ+ik

e−(λ+ik)x0

+

λ+ik

∫

∞

−∞

e−(dx

=(2λ31/2x2λ31/1

2πh)(λ+ik)2

==(

2πh)2

(λ+ip

)2

h

动量几率分布函数为 ω(p)=c(p)2

=

2λ3

12λ3h3

1

πh

p2=

(λ2

+2

π

(h2λ2+p2)2

h

2)

(2) =∫

∞

−∞

ˆψ(x)dx=−ih∫4λ3xe−λxψ(x)p

*

−∞

∞

d−λx

(e)dx dx

=−ih4λ3h∫x(1−λx)e−2λxdx

−∞

∞

=−ih4λ3h∫(x−λx2)e−2λxdx

−∞

∞

=−ih4λ3h(

14λ2

−

14λ2

)

=0 #

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数

ψ(x)=Ax(a−x)

描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：由波函数ψ(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为

2nπ

sinx, 0≤x≤a

ψ(x)a a

 0, x≤0, x≥a

n2π2h2

En= (n=1， 2， 3， L)

2µa2 动量的几率分布函数为ω(E)=Cn Cn=∫ψ*(x)ψ(x)dx=∫sin

−∞

02

∞a

nπ

xψ(x)dx a

先把ψ(x)归一化，由归一化条件， 1=∫(x)dx=∫Ax(a−x)dx=A

2

2

∞

2

a

2

−∞0

∫

a

x2(a2−2ax+x2)dx

=A2∫(a2x2−2ax3+x4)dx

5

a5a5a52a =A(− +)=A32530

2

a

∴A=

30

a5

∴ Cn=∫

a

230nπ

sinx⋅x(a−x)dx ⋅5

aaa

aa2nπnπ2

=[axsinxdx−xsinxdx] ∫0∫0

aaa3

2a2nπa3nπa2nπ

[−xcosx+sinx+xcosx=322

nπaanπaanπ −

2anπ2anπxsinx−cosx]2233

aanπnπ0

2

3

a

=

4n

[1−(−1)] 33

nπ

2

∴ ω(E)=Cn

=

240

[1−(−1)n]2 66

nπ

960

，n=1， 3， 5， L

=n6π6

 0，n=2, 4, 6, L

aˆ2pˆ =∫ψ(x)Hψ(x)dx=∫ψ(x)ψ(x)dx −∞02µ

∞

=∫

a

30h2d2

x(x−a)⋅[−x(x−a)]dx 52

2µadx

30h2

=

µa55h2

=µa2

3.9.设氢原子处于状态 ψ(r,θ,ϕ)=

∫

a

30h2a3a3

x(x−a)dx=(−) 5

23µa

13

R21(r)Y10(θ,ϕ)−R21(r)Y1−1(θ,ϕ) 22

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率

和这些力学量的平均值。

解：在此能量中，氢原子能量有确定值

E2=−

µes2

2h2n2

=−

µes2

8h2

(n=2)

角动量平方有确定值为

L2=l(l+1)h2=2h2 (l=1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1=0LZ2=−h 其相应的几率分别为 其平均值为 Z=

133×0−h×=−h 444

13

， 44

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ∞, r≥a;

U(r)=

0, r

求粒子的能级和定态函数。

解：据题意，在r≥a的区域，U(r)=∞，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数

ψ=0 (r≥a)

由于在r

h21d2dψ

(r)=Eψ −

2µrdrdr

令 U(r)=rEψ, k2=

2µE

，得 h2

d2u2

+ku=0 2

dr

其通解为

u(r)=Acoskr+Bsinkr

∴−ψ(r)=A rcoskr+B

r

sinkr

波函数的有限性条件知， ψ(0)=有限，则 A = 0 ∴ ψ(r)=

B

r

sinkr 由波函数的连续性条件，有

ψ(a)=0 ⇒ B

a

sinka=0

∵B≠0 ∴ka=nπ (n=1,2,L) k=

nπ

a

∴ En2π22h

n=2µa2

ψ(r)=

Bnπrsina

r 其中B为归一化，由归一化条件得 1=π

π

a

2

∫0

dθ=∫0

dϕ=∫0

(r)r2sinθ dr

=4π⋅∫

a

B2

sin2

nπ0

a

rdr=2π aB2

∴ B=

12π a

∴ 归一化的波函数

sin

nπ ψ(r)=1r

2π a

r

#

3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(∆x)2⋅(∆p)2=? 解： p=0

p2=2µ =

522kh 4

∞1

x=∫A2x[sin2kx+coskx]2dx=0

−∞2∞1

x2=∫A2x2[sin2kx+coskx]2dx=∞

−∞2 (∆x)2⋅(∆p)2=(x2−x2

)=(p2−p2

)=∞

3.12 粒子处于状态 2

ψ(x)=(

1/2

exp[ix2πξ

2

)

1hp0x−4ξ

2

式中ξ为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(∆x)2⋅(∆p)2=? 解：①先把ψ(x)归一化，由归一化条件，得 2

x 1=∫∞

12ξ

2

∞

(

x2ξ2

)2

−∞

2πξ

2

e

−dx=

12ξ

2

π

∫−∞

e

−d(

x2ξ

2

)

=

12ξ2π

=(

12πξ

2

)1/2

∴ξ2=

1

2π

/ ∴ 是归一化的

ψ(x)=iπ

hp0x−2

x2]

② 动量平均值为

iπiπ

=∫∞

− p0x− x2 p0x−x∞ψ*(−ihddx)ψdx=−ih∫∞2−∞eh2( ih

p0−π x)eh2

dx

− =−ih∫∞

(i

p−πx20−π x)e dx

−∞h

=p∞

2

∞

x2

0∫−∞

e −πxdx+iπ h∫−∞

xe −πdx

=p0

③ (∆x)2⋅(∆p)2=?

=∫∞ψ*xψdx=∫∞

xe −πx2

−∞

−∞

dx （奇被积函数）

x2=∫∞

x2e −πx2

1

x∞πx2

−∞

dx=−

2π

xe−π2−∞

+

12π

∫

∞

−∞

e −dx

=−

12π

p2

=−h2

∫∞

ψ*d22∞− i

2

i

hp0x−πx2dh

p0x−πx2dx dx=−h∫−∞edx

e dx

−∞2

=h2

(π+p0

∞2∞2h

)+i2πhpπx0∫xe−dx−π2h2∫x2e−πx dx

−∞−∞ =h2

(π+p2

01π2

h)+0+(−π2h2)2π=(2

h2+p0

) (∆x)2=x2−x2

=

1

2π

(∆p)2=p2−p2

=(πh2+p22

π

0)−p220=2

h

(∆x)2⋅(∆p)2=

1π

22π

⋅

2

h=

124

h #

3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。

解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为∆r≈R

由测不准关系

(∆r)2

⋅(∆p)2

≥h2

4

得 (∆p)2

≥h2

4R2

对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符r

p为奇宇称，所以

p=0

又有 (∆p)2=p2

−p2

h2

所以 p=(∆p)≥ 2

4R

2

2

h2

可近似取 p≈2

R

2

P2es2

能量平均值为 E= −

2µr

es2es2

作为数量级估算可近似取 ≈

rR

es2h2

则有 E≈−

2µR2R

基态能量应取E的极小值，由

es2∂Eh2

=−+=0 ∂RµR3R2

h2

得 R=2

µes

代入E，得到基态能量为 Emin=−

µes4

2h

2

补充练习题二

ˆ或Uˆ的本征函数，ˆ+Uˆ的本征函数。 1．试以基态氢原子为例证明：而是T ψ不是T 解：ψ100=

µ es213/2−r/a01

()2e (=2

a0h4πa0

1

22h1∂1∂1∂∂2ˆ=−T[(r)+(sinθ)+]2222µr∂r∂rsinθ∂θsinθ∂ϕ2esˆ=−U

r

ˆψT100

h21∂2∂ψ100

=−(r)

2µr2∂r∂r

h2113/21∂2∂−r/a0

=−(⋅2(re)

2µa0∂rr∂r

h2113/212−r/a0h212

=−()(2−)e=−(2−ψ100

2µa02µa0a0ra0a0r ≠常数×ψ100

ˆ的本征函数 ψ100不是T

ˆψ=−es U100100r

2

ˆ的本征函数 可见，ψ100不是U

ˆ+Uˆ)ψ而 (T100

h2113/212−r/a0es2

=−()(2−)e−100

2µa0ra0a0r

h21h2h2

=−100+100−100

2

2µa0µa0rµa0r

h21

=−100

2

2µa0

ˆ+Uˆ)的本征函数。 可见，ψ100是(T

2．证明：L=6h，L=±h的氢原子中的电子，在θ=45°和 135°的方向上被发现的几率最大。

2

解： QWlm(θ,ϕ)dΩ=lmdΩ ∴ Wlm(θ,ϕ)=lm L=6h，L=±h的电子，其l=2, m=±1

2

Q Y21(θ,ϕ)=−

15

sinθcosθ eiϕ8π

15

sinθcosθ e−iϕ8π

2

Y2−1(θ,ϕ)=−

∴W2±1(θ,ϕ)=Ylm当θ=45°和 135°时 W2±1=

=

1515sin2θcos2θ=sin22θ 8π32π

15

为最大值。即在θ=45°，θ=135°方向发现电子的几率最大。 32π

15

之间。 32π

在其它方向发现电子的几率密度均在0～

3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。 证：①对1s态，n=1, l=0, R10=(

2

W10(r)=r2R10(r)=(

13/2−r/a0

e a0

132−2r/a0

4rea0

∂W1012

=()34(2r−r2)e−2r/a0

∂ra0a0

令

∂W10

=0 ⇒r1=0, r2=∞, r3=a0 ∂r

易见 ，当⇒r1=0, r2=∞时，W10=0不是最大值。 W10(a0)=大。

4−2

e为最大值，所以处于1s态的电子在 r=a0处被发现的几率最a0

②对2p态的电子n=2, l=1, R21=(

13/2

)2a0

r3a0

e−r/2a0

W21(r)=rR21

2

2

13r42−r/a0

=()re2

2a03a0

∂W211r−r/a03

r(4−e=5

∂ra24a00

令

∂W21

=0 ⇒r1=0, r2=∞, r3=4a0 ∂r

易见 ，当⇒r1=0, r2=∞时，W21=0为最小值。 ∂2W2118rr2−r/a02

r(12− =+2)e5

a0a0∂r224a0

∂2W21

∂r2

=

r=4a0

18−42−4

×16a(12−32+16)e=−e

24a03a0

∴ r=4a0为几率最大位置，即在r=4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。

③对于3d态的电子 n=3, l=2, R32=(

W32(r)=r2R32

2

23/21r

)()2e−r/3a0 a081a0

∂W32

∂r

116−r/3a0

re72

a81×15

82r=2r5(6−e−2r/3a0

7

3a081×15a0

=

令

∂W32

=0 ⇒r1=0, r2=∞, r3=9a0 ∂r

易见 ，当⇒r1=0, r2=∞时，W32=0为几率最小位置。 ∂2W32164r52r6−2r/3a02

(15r− =2+2)e7

a0∂r281×15a09a0

∂2W32

∂r2

r=9a0

2

36a02×81a014−6

(9a)(15−+e=2072

a081×15a09a0

=−

16−6

e

∴ r=9a0为几率最大位置，即在r=9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。

4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为

U(x)=0, x≤0 (在金属内部)

Ux≥0 (在金属外部)

0, 其中 U0>0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。 解：设电场强度为ε，方向沿χ轴负向，则总势能为 V(x)=−eε x (x≤0)， V（x）=U0−eε x （ x≥0） 势能曲线如图所示。则透射系数为 D≈exp[−

2x1

h∫x2µ(U0−eε x−E)dx] 2

式中E为电子能量。x1=0，x2由下式确定 p=2µ(U0−eε x−E)=0 ∴ xU0−E

2=

eε

令 x=

U0−E

eε

sin2θ，则有 ∫

x1

x2µ(U−eε x−E)dx=2

0∫

2π

2µ(U0−E)⋅

U0−E

eε

2sin2θ dθ2π

=2U0−Eeε2µ(U−cos3θ

0−E)(3)

=

2U0−E

3eε

2µ(U0−E)

∴透射系数D≈exp[−

2U0−E

3heε

2µ(U0−E)]

5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 4x2

d2

dx2

； ②

[]

2

； ③

∑

n

K=1

2

d2

解：①4xdx2

是线性算符

Q 4x2

d222

2(c2d2d1u1+c2u2)=4x(c1u1)+4x(c2u2) dxdx2dx

2 =c2d2d

2

1⋅4xdx2u1+c2⋅4x2dx

2u2

②[] 2不是线性算符

Q [c2222

1u1+c2u2]2=c1u1+2c1c2u1u2+c2u2

≠c1[u21]+c2[u2

2]

n

③∑是线性算符

K=1

n

N

N

N

N

∑c1u

1

+c2u2=

∑c1

u1

+∑c2

u

2

=c1∑u1+c2∑u2

K=1

K=1

K=1

K=1

K=1

6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 ddx， idd2

dx， 4dx

2

解： ∫∞

ψ*

d

−∞dxφ dx=ψ*φ ∞∞d-∞−∫−∞dx*φ dx

当 x→±∞，ψ→0，φ→0

∴ ∫∞d∞d−∞ψ*dx

φ dx=−∫−∞dx*φ dx=−∫∞−∞(d

dx)*φ dx ≠∫∞−∞(d

dx)*φ dx

∴d

dx

不是厄米算符

∫∞

−∞ψ*iddx

φ dx=iψ*φ ∞

∞d-∞−i∫−∞dxψ*φ dx

=−i∫∞−∞(ddx)*φ dx=∫∞d

−∞(idx

)*φ dx

∴id

dx

是厄米算符

∫∞

−∞ψ*4d2dφ∞

∞dψ*dφdx

2φ dx=4ψ*dx-∞−4∫−∞dxdxdx

=−4∫∞

dψ*dφdψ*

∞d2

ψ* −∞dxdxdx=4

dx

φ+4 ∫−∞dx2φ dx

=−4∫∞

d2

2

−∞dx2

*φ dx=∫∞d

−∞(4dx2ψ)*φ dxd2

∴4dx

2是厄米算符

7、下列函数哪些是算符d2

dx2的本征函数，其本征值是什么？

①x2， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx+cosx 解：①d2

dx

2(x2)=2

∴ x2

不是d2

dx

2的本征函数。

② d2dx2

ex=ex

∴ ex

不是d2

dx

2的本征函数，其对应的本征值为1。

③d2d

dx

2(sinx)=dx(cosx)=−sinx

可见，sinx是d2

∴dx2的本征函数，其对应的本征值为－1。

④d2ddx

2(3cosx)=dx(−3sinx)=−3cosx−(3cosx)

∴ 3cosx 是d2

dx2的本征函数，其对应的本征值为－1。

d2 ⑤dx2(sinx+cosx)=d

dx

(cosx−sinx）=−sinx−cosx

=−(sinx+cosx) ∴ sinx+cosx是d2

dx

2的本征函数，其对应的本征值为－1。

ˆ=−ieixd的本征函数。 8、试求算符F

dxˆ的本征方程为 解：F

ˆφ=Fφ F

即 −ieix

dφ

d

=Fφdx

dd)=d(−Feix) dxdx

φ

=iFeixdx=−d(Feix

d

+lncdx

lnφ=−Feix

−ix

ˆ是F的本征值） φ=ce−Fe（F

9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。

a

0, x≤2

解： U(x)=

∞, x≥a2 方程（分区域）：

Ⅰ：U(x)=∞ ∴ ψI(x)=0 a

(x≤−)

2

a

Ⅲ：U(x)=∞ ∴ ψIII(x)=0 (x≥

2

h2d2ψII

Ⅱ：−=EψII 2

2µdx

d2ψII2µE

+2ψII=0 2

dxh令 k2=

2µE h2

d2ψIIdx2+

k2

ψII=0 ψII=Asin(kx+δ)

( 标准条件：ψ−a=(−aI2ψII2)aa 

ψII(2=ψIII(2)

∴ Asin(−kx+δ)=0 ∵ A≠0 ∴ sin(−kx+δ)=0 取 δ−k

a2=0， 即 δ=ka

2

∴ ψa

II(x)=Asink(x+2

)

Asinka=0 ⇒ sinka=0

∴ ka=nπ (n=1, 2, L) k=

π

a

n



πaa ∴ 粒子的波函数为 ψ(x)=Asinna(x+2 x≤2

0, x≥a2

粒子的能级为E=h22n2π2k2

2µk=2µa

(n=1, 2, 3, L)

由归一化条件，得

1=∫∞

(x2

a/22

nπ−∞)dτ=A2∫

−a/2

sina(x+a

2

)dx =A

2

∫a/21−a/22[1−cos2nπa(x+a

2

dx =A2⋅

a2−A2∫a/22nπa−a/2cosa(x+2

)dx

=

a2aa2nπA−A2⋅sin(x+)

a22nπ2−a

2

a

2

=

a2A 2

∴ A=

2 a

∴ 粒子的归一化波函数为

2πnaa

sin(x+ x≤a22 ψ(x)=a

0, x≥a2

10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径）。 证：1s: ω(r)10dr=R10r2dr =(

2

13

⋅4e−2r/a0⋅r2dr a0

ω10(r)=(

13

⋅4r2e−2r/a0 a0

dω1012

=4()3⋅(2r−r2)e−2r/a0 dra0a0131

⋅(1−r)re−2r/a0 a0a0

=8(

dω10

=0，则得 dr

令

r11=0 r11=a0

d2ω10132∂rr−2r/a0

8()⋅[(1−r)−(1−)e] =

a0a0a0a0dr2134r2r2−2r/a0

] =8(⋅(1−+2)e

a0a0a0