偏微分方程与特征线
偏微分方程与特征线
1函数空间的矢量场
给定一个矢量场v =v i (x ) ∂x i ，就在空间定义了曲线簇。比如，经过x 0点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题
i =v i (x ) ，i =1,..., n x x (0) =x 0
这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是
t 2t 3
t + + +... x (t ) =x +x x x
2! 3! 232t 3t =(1+vt +v +v +...) x 2! 3!
=exp(vt ) x
此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。
这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是n-1维。
矢量场的可积性
那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即
exp (ua ) exp(vb ) exp(uc ) exp(vd ) x =x
如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d, 使得方程精确满足。 按照各级展开，有 一级
a 1+c 1=0b 1+d 1=0
二级
a 1b 1(uv -vu ) =(a 2+c 2) u +(b 2+d 2) v
…
由此，得到条件
[u , v ]=uv -vu =αu +βv
这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。 n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。 可以按照下图进行直观理解
给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。
∆={∑a i v i , a i 是任意函数}
i
这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，
[∆, ∆]⊆∆
他们积分可以给出m 维积分子流形。
单参数李群
一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。
我们先看一下单参数李群的表现，它将1维参数空间（物理上经常是时间），映射为群空间。群元素可以形式地写为算符形式
g t =exp(vt )
在表示空间中也可以写为函数变换
g t x =ϕ(x , t )
这个函数变换是常微分方程的初值问题的解
∂t ϕ(x , t ) =v ϕ(x , t )
ϕ(x , 0) =x
当然这个函数满足如下关系
g t +s f (x ) =g t g s f (x )
f (ϕ(x , t +s )) =f (ϕ(ϕ(x , s ), t ))
比如平移群g a =exp(a ∂x ) 表示为 g a f (x ) =exp(a ∂x ) f (x ) =f (x +a ) ，
再如 转动群 g θ=exp(θn ⋅(r ⨯∂r )) 表示为g θf (r ) =exp(θn ⋅(r ⨯∂r )) f (r ) =f (r ') 单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。
微分形式
一个函数描述为
u =f (x ) =f (x 1,..., x n )
可以看做 自变量空间到变量空间的映射
R n →R :x →u
在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。
如果给自变量微小改变x ⇒x +dx ，因变量也有相应的改变
df =f , x dx
上面下标逗号表示求导。
如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应dx 改成相应的矢量分量就可
i v df =v i f , x i
这就是微分形式。微分形式不再依赖坐标。因此可以认为是客观量。 一般1微分形式可以描述为
ω=ωi (x ) dx i
不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来
ϕ:M m →N n , y →x (y )
那么N 空间上的微分形式可以通过映射ϕ*拉回到M 空间上的微分形式
n
m
ω'=ϕ*ω=ωi (x (y )) dx i (y ) =ωi (x (y )) ∂y x i (y ) dy j
j
微分形式可以与矢量作用，
i v ω=v i ωi
因此可以将微分1形式想象成线元积分场，给定空间某点上一个线元，就给一个值。 当然，给定一条曲线，就可以给一个积分值
一条曲线可以描述为一维空间T 向n 维空间N 上的映射
1
n
l :T 1→N n , t →x (t )
⎰l *ω=⎰ω(x (t )) dx (t )
i l
i
微分形式的外积
两个微分形式ω, θ，相当与两个线元积分场。用这两个线元积分场可以构造一个面元积分场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。要求
i αu +βv i γv +δu ω∧θ=
因此，ω∧θ=
β
u i v ω∧θ γδ
1
(ωi θj -ωj θi ) dx i dx j =ωi θj dx i ∧dx j 2
外微分
观察微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小面元上的函数（2微分形式）
∂Ω
i j
ω=d ω=ωdx ∧dx j , i ⎰⎰⎰⎰
Ω
Ω
d ω=ωj , i dx i ∧dx j
k 形式
对微分形式进行外积或者外微分都可以变成2形式，3形式，。。。 对于m 微空间，可以证明，最高阶是m 形式。
微分形式的可积性
很明显，如果ω=df ，那么有d ω=0
一个问题就是如果ω≠df ，那么能否有ω=adf ，很明显d ω=θ∧ω。也就是说，如果微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。
另一个问题是给定一些微分形式{θ, α=1,..., n }，能否判定任意一个微分形式的外微分可以表达为这些微分形式的组合形式？ 答案是：d θ∧∧θ
β=1α
n
α
β
=0
可以很容易证明这个表达式
α
将{θ, α=1,..., n }扩充后，形成余切空间TM *的完备基
{θ, α=1,..., n , σ, μ=1,..., m -n }
αμ
那么d θα=ταβ∧θβ+ραγ∧σγ， 可以肯定ρ
αγ
∧σ∧θ=0，这是关于ρ
β=1
γ
n
βα
γ
的线性方程，由于σ
γ
β=1
∧θβ独立，这个方程
n
只有0解。 因此d θ=τ
α
αβ
∧θβ
我们再看能使{θα, α=1,..., n }拉回到0的映射ϕ，
ϕ*θα=0
能否找到ϕ:N m -n →M m ，使得上式成立呢？
这就是Frobenius 定理的另一种描述，当任意α，都有d θ∧∧θ
β=1α
n
β
=0时，可以找到
ϕ:N m -n →M m ，将{θα, α=1,..., n }推回到0.
其实d θ=τ
α
αβ
∧θβ就很能说明问题，几何上讲，绕任意无穷小回路对θα求和后，都可以
表达为{θα, α=1,..., n }的组合形式。因此，使得某点的{θα, α=1,..., n }为0的切向场，也可连续延拓到别处。这样的切向量场的积分曲面就是映射形成的曲面。 表达为
V ={v :i v θα=0, α=1,..., n }
在V 中，可以找到相互对易的m-n 个矢量{w α, α=1,.., m -n }，映射可以形式地表示为
ϕ:N m -n →M m , λ→x (λ) =exp(λαw α) x
很明显
ϕ*θα=θαi (x (λ)) dx i (λ) =θαi (x (λ)) x i (λ) , λαd λα=θαi (x (λ)) w αi (x (λ)) d λα=0
这些矢量{w α, α=1,.., m -n }就构成了方程{θ=0, α=1,..., n }的特征矢量。
α
微分形式组成的理想
如果给定生成元{θ, α=1,..., n }，我们将I ={
α
ωα∧θα, ωα是任意形式，包括0形式}∑α
成为生成元生成的理想。很明显任意形式ω（包括函数，0形式），只要和理想中的元相乘
（外积），都会变成理想中的元素，即ω∧I ⊆I 。这和常讲的理想意义差不多。 借用理想概念
Frobenius 定理表达为
一个外微分理想I 的具有最大零化子空间的条件是 dI ⊆I
偏微分方程（组）
表达为F (u , x , u x , u xx ,...) =0，可以理解为函数偏导数的约束关系。 Hamilton 力学
⋅p -L (q , q , t ) H =q =-∂q H p =∂p H q
∂t H =-∂t L
比如流体（固体）方程
∂t ρ+∇⋅(ρv ) =0∂t (ρv ) +∇⋅(ρvv -σ) =0
11
∂t (ρv 2+ρE ) +∇⋅((ρv 2+ρE ) v -σ⋅v ) =022
再加上本构方程和状态方程才会封闭。 电磁学Maxwell 方程
，其中u ={ρ, u , E }
∇⋅D =ρ
∇⋅B =0
，其中u ={B, E }
∇⨯H -∂t D =j ∇⨯E +∂t B =0
或者在真空场写为
∂μF μν=-j ν∂με
μναβ
F αβ=0
F μν=∂μA ν-∂νA μ，其中u =A ={φ, A }
加上电磁学本构和电流方程才会封闭。 量子力学的薛定谔方程
22
i ∂t ψ=(∇+V (r )) ψ，其中u =ψ
2m
相对论电子运动的狄拉克方程
(i γμ∂μ-
mc
) ψ=0
刘维尔方程
∂q ρ+p ∂p ρ=0∂t ρ+q
∂t ρ+∂p H ∂q ρ-∂q H ∂p ρ=0i ∂t ρ=[H , ρ]
相对论电磁学
⎛v ⎫
L =m 0c /- ⎪+ev ⋅A -e ϕ
⎝c ⎭
2
2
⎛v ⎫24
H =m 0c 2/- ⎪+e ϕ=e ϕ+m 0c +c 2(p -eA ) 2
⎝c ⎭
2
v =
c 2(p -eA )
24m 0c +c 2(p -eA ) 2
=-e ∇ϕ-p
c e (p -eA ) ⋅∇A
24
m 0c +c 2(p -eA ) 2
2
切触空间
为了从几何上描述偏微分方程的意义我们定义切触空间。
我们定义：
自变量x 的空间称为域空间D
自变量x ，因变量u 构成的空间称为图空间G
自变量x ，因变量u ，和因变量对自变量的导数p ，构成的空间{x , u , p }叫做切触空间K 。切触空间是对图空间的拓展。带来一些自然结构，即切触形式
C α=du α-p i αdx i
任何函数φ:M →G , λ→(x , u ) ，扩充为到切触空间的映射
Φ:M →K , λ→(x , u , p )
都会满足切触关系ΦC =0
这样，一阶偏微分方程组描述为
PE ={F α(x i , u β, p i β), du β-p i βdx β}
如果一个映射满足Φ*PE =0，这个映射就是PE =0的解。
同样地可以定义高阶切触空间
C α=du α-p i αdx i
α
C i α=dp i α-p ij dx j
...
高阶偏微分方程表示
αPE ={F β(x i , u α, p i α, p ij ,...), C α, C i α,...}
方程解是满足 Φ*PE =0
的映射。
一阶偏微分方程（组）的特征线
一阶偏微分方程
PE ={F (x , u , p ), du -pdx }
为了寻找它的解法，我们寻找合适的微分形式，对函数微分，得到
PE 1={F , F , x dx +F , u du +F , p dp , du -pdx }
很自然地想到微分形式组合的特性矢量，就是{w :i w PE 1=0}的矢量。这里有一个问题需要解决，PE 1封闭吗？也就是说是否满足dPE 1⊆I (PE 1) ？
很明显ddF =0，但是ω=dC =dx ∧dp 并不在理想中，因此{w :i w PE 1=0}的矢量，有可能不能够积分出一个子空间来，因此不是偏微分方程的解。
PE 2={F , F , x dx +F , u du +F , p dp , du -pdx , dx ∧dp }是封闭的，定义 I (PE ) =I (F , F , x dx +F , u du +F , p dp , du -pdx , dx ∧dp )
{w :i w I (PE ) ⊆I (PE )}的矢量就是偏微分方程的特征矢量，它们的积分组成偏微分方程的
解。
我们考虑只有一个因变量情况H (x i , u , p i ) =0的偏微分方程的
I (PE ) =I (H , H , x dx +H , u du +H , p dp , du -pdx , dx ∧dp )
设w =a i ∂p i +b ∂u +c ∂x i 是上述理想的特征矢量 因此，i w (dx i ∧dp i ) =-a i dx i +c i dp i ，可以描述为
i
⎧H , x dx +H , u du +H , p dp
⎨
⎩du -pdx
线性组合的形式。消去du 的项，得到，
H , x i dx i +H , u p i dx i +H , p i dp i ，
因此可以选因此w =
a i =-(H , x i +H , u p i ) c i =H , p i
，再有i w (du -p i dx i ) =b -p i c i =0，得到b =p i H , p i
-(H , x i +H , u p i ) ∂p i +H , p i ∂x i +p i H p i ∂u
因此特征线可以采用常微分方程积分
i =-(H , x i +H , u p i ) p i =H , p i x =p i H p i u
如果u 当成作用量，H 当成Hamilton 量，x 粒子位置，p 粒子动量，这正是经典粒子运动方程。
李导数
一个由矢量v =v i ∂x i 形成的单参数李群可以表述为M 映射
m
→M m 的映射，也是R →M m 的
对于一个函数f (x ) ，这个映射可以将其拉回到φ*f (x t ) ，φ:(t , x ) →x t =exp(vt ) x 。
即φ*f (x t ) =exp(vt ) f (x ) =f (exp(vt ) x ) ，后者可以方便地用算符运算验证
exp(vt ) f (x ) =exp(vt ) f (x ) exp(-vt ) 1=f (exp(vt ) x exp(-vt )) 1=f (exp(vt ) x )
我们计算函数的无穷小变换即李导数
L v f =
exp(vt ) f (x ) -f (x )
=vf (x ) =i v df
t
也就是说，函数的李导数就是其方向导数 对于微分形式ω=ωi dx i ，
φ*ω=ωi (x t ) dx t =ωi (exp(vt ) x ) d (exp(vt ) x )
t
ω(x +vxt ) d (x +vxt ) -ωi (x ) dx =i
t
=(i v d ωi ) dx i +ωi dv i =i v (d ωi ∧dx i ) +d (ωi v i ) =i v d ω+di v ω=(i v d +di v ) ω
这个公式也可包含前一个，只要认为i v f =0就可以了，因此
L v ω=
ωi (exp(vt ) x ) d (exp(vt ) x ) -ωi (x ) dx
L v =i v d +di v
可以证明，李导数满足莱布尼兹法则
L v (ω∧θ) =L v ω∧θ+ω∧L v θ
接着我们推导矢量场的李导数
u =u i ∂x i
在x t 处的矢量要与x 处的矢量比较，首先必须通过映射将其映射到x 点上，映射是
x →x t =exp(vt ) x ，这个映射诱导的映射只能将x 处的矢量推向x t 。因此采用这个映射的
逆映射将x t 处的矢量推向x 。φ:x t →x =exp(-vt ) x t
L v u ==
φ*u i (x t ) ∂x (t ) -u i (x ) ∂x
i
i
t
u i (x +vxt ) ∂x i (t ) x j ∂x j -u i (x ) ∂x i
t
=v j ∂x j u i -u j ∂x j v i =[u , v ]
微分方程的对称性
对于在切触空间中微分形式理想I 表达的微分方程，如果存在坐标变换（映射）使得I 不变，这个变换就是微分方程的对称性。我们考虑一种连续变换，它形成单参数李群，写为
ϕt :K →K , (x , u , p ) →(exp(Vt ) x , exp(Vt ) u , exp(Vt ) p )
i αα
其中V =V ∂x i +V ∂u α+V i ∂p α表示切触空间中的矢量。
i
因此我们需要研究这个的无穷小变换将微分形式如何改变。
实际上如果I 的李导数仍然属于I 就可以保证李变换是微分方程的对称变换。
C α=du α-p i αdx i
αβ
L V C α=A βC
L V C α=(i V d +di v ) C α=-i V (dp i α∧dx i ) +d (V α-p i αV i ) =-V i dx +V dp i +d (V -p i V ) =-V i dx +dV -p i dV
αβααβA βC =A βdu β-A βp i dx i
α
i
i
αααi αi ααi
对比dp j ，du , dx 的系数，可以得到
j αj i ∂βV -p i α∂βV =0 j α∂β(V α-p αj V ) =A β
j αβ-V i α+∂i (V α-p αj V ) =-A βp i
ββi
约去系数A,
j ααj βααj V i α=∂i (V α-p αj V ) +∂β(V -p j V ) p i =D i (V -p j V ) j αj i ∂βV -p i α∂βV =0
由上式兼容性，可以得到V , V 与P j 的依赖关系 写为
j αj ∂β(V α-p i αV i ) =-δβV
i αβ
兼容性条件是
k j αk j j k j k ∂γ∂β(V α-p i αV i ) =-δβ∂γV =∂β∂γ(V α-p i αV i ) =-δγα∂βV
j k j α因变量数目大于1时，选α=γ≠β，有0=-∂βV ，再代入前公式∂βV =0。也就是说
j 在因变量数目大于1时V α, V i 仅是(x , u ) 的任意函数，而V i α=D i (V α-p α
j V ) 。
k 对于只有一个因变量情况∂1V j =∂1j V k ，这表明∂1j (V 1-p i 1V i ) =-V j
令ξ=i V C =V 1-p i 1V i
V j =-∂p j ξ
V 1=ξ-p j ∂p j ξ
V j 1=D j ξ
对照特征矢量，可以看出，原来这个对称性仅仅是将1个自变量的微分方程作了规范变换。
这就是满足切触条件必须满足的对称性约束。
如果知道方程对称性，比如V
就可以根据方程的解构造新的解了，比如φ:R s →C m +n +m n 是方程的一只解，那么 φ exp(V t ) 也是方程的一只解，且φ exp(Vt ) :R s +1→C m +n +m n ，这样可以从低维解子空间构造高维解子空间了。
对于常微分方程，可以减少未知数或降阶。
常微分方程的对称性及其精确解
给定常微分方程组，确定其微分形式理想。如果确定一个对称性，就可以将其降阶。具体地， 如果确定了其对称矢量v ，并解析求出其李变换场
(x , u , p ) →(x t (x , u , p ), u t (x , u , p ), p t (x , u , p )) ，将t 消去，可以得到n-1个表达式，加上t, 以它们为变量，方程不再包含t （由于在对称性变换时，有t →t +a ，又由于系统具有对称性，因此，新变量不能显含t 。），变量数目就减少了1个。
比如其次方程
y '=f (y /x ) , 有1个因变量和一个自变量，方程对称性为 x =x 0exp(t ), y =y 0exp(t ) , 消去t, 得到表达式w =y /x ，t =ln(x /x 0) 将这个表达式带入方程，方程变得F (w , w t ) =0，不再含有未知数t, 因此减少了一个未知数（可能是自变量，也可能是自变量）。对于目前方程，可以解析求解了
w t +w =f (w )
dw ⎰w -f (w ) =t =ln(x /x 0)