关于常系数线性微分方程组特解的求法
第15卷第4期2001年7月
常熟高专学报
Journal of Changshu C ollege
Vol. 15No. 4July. 2001
关于常系数线性微分方程组特解的求法
吴顺唐
212000)
Ξ
摘 要:(1) 中的函数F (x ) 为某个常系数齐次线性微分
方程组的解时, 可以用待定系数法求出(1) 的一个特解. 这个方法要比一般教材中所用的常数变易法简单得多.
关键词:非齐次常系数线性微分方程组; 待定系数法中图分类号:O175. 1 文献标识码:A 文章编号:1008-2794(2001) 04-0009-041 考虑常系数线性非齐次方程组
=AY (x ) +F (x ) , dx
T
的形式是关键. 本文即来讨论这个问题.
(1)
2 为方便计, 我们先考虑F (x ) =(f (x ) , 0, …, 0)
T
其中Y (x ) =(y 1(x ) , y 2(x ) , …, y n (x ) ) , A =
(a i , j )
n ×n
T
, F (x ) =(f 1(x ) , f 2(x ) , …, f n (x ) ) , f i (x )
的情形, 即考虑方程组
y 1′=a 11y 1+a 12y 2+…+a 1n y n +f (x )
y 2′=a 21y 1+a 22y 2+…+a 2n y n
∈C[a , b ].大家知道, 如果已经求得了(1) 对应齐次
方程组的一个基解矩阵Φ(x ) 和(1) 的一个特解
Y (x ) =(y 1(x ) , y 2(x ) , …, y n (x ) ) , 那么(1)
3
3
3
3
T
…
y n ′=a n 1y 1+a n 2y 2+…+a nn y n ,
(2)
的通解为
Y (x ) =Φ(x ) ∫Φ
x
x 0
其中f (x ) =P m (x ) e λx , P m (x ) 为次数不超过m 的代数多项式.
现作线性变换
Y (x ) =TZ (x ) ,
其中T 为常数矩阵, 且det T ≠0. 于是方程组(1
) 或(2) 可以化为
(x ) =T -1ATZ (x ) +T -1F (x ) . Z ′
如果矩阵A 的特征值为λ1, λ2, …, λr , 其重数分别为
s 1, s 2, …, s r , 而s 1+s 2+…+s r =n , 则可选取非奇
-1
(t ) F (t ) dt.
这个公式虽然形式简单, 但并不实用. 因为在求
Φ-1(x ) 时, 由于Φ(x ) 是函数矩阵, 故即使在n =2时, 也将导致十分繁复的计算, 如[1].而我们知道, 在一定的条件下, (1) 可以用消元法将它化为某个分量, 例如y 1(x ) 的n 阶线性微分方程. 而对于高阶非线性微分方程来说, 当自由项为某类特殊函数时, 就可以用待定系数法比较方便地求出它的一个特解来. 而这也提示我们, 对于非齐次线性方程组(1) 来说, 也可以用待定系数法来求它的某个特解. 在这里, 根据函数F (x ) 所属的类型, 预先确定特解应具
异矩阵T , 使
J 1
T
-1
AT =
J 2 ω J ,
Ξ 收稿日期:2001-04-16
) , 男, 教授. 作者简介:吴顺唐(1938—
10常熟高专学报 2001年
λ11
F 1(x ) =∑b i (D -λ1)
i =1s
1
其中
J i =
λ 12 ω
T
s i -i
f (x ) .
用数学归纳法不难验证, Πk ∈N ,
λk λx x
(D -λ) k g (x ) , 1) {e g (x ) }=e (D -λ1+λ
s i ×s i
T
为Jordan 块. 注意, 当F (x ) =(f (x ) , 0, …, 0) 时,
T
-1
(6)
F (x ) =(b 1, b 2, …, b n ) f (x ) , (b 1, b 2, …, b n )
-1
T
特别,
λk k λx
(D -λ1) {e 1g (x ) }=e 1D g (x ) ,
(7)
为T 的第一列列向量. 故方程组(2) 可以化为r 个独立的线性方程组:
=J 1Z 1+F 1, dx
22(3)
λx 3
因此, F 1() 仍为形如e (x ) 的函数, 其中3
P m x ) , 当然, 其实际
, 由高阶线性微分方, 方程(5) 有下面形式的特解
3
z 1(x ) :
λ3x (1)
λ当λ≠1时, z 1(x ) =e Q m (x ) ; 3s λx (1)
当λ=λ1时, z 1(x ) =x 1e Q m (x ) ;
1)
(x ) 为m 次多项式. 其中Q (m
用同样的方法, 由(4) 可得:当2Φj Φs 1时,
…
=J r Z r +F r , dx
(8)
其中
Z 1=(z 1, z 2, …, z s 1) T , Z 2=(Z s 1+1, Z s 1+2, …, Z s 1+s 2) , …Z r =(z s 1+s 2…+s r -1+1, z s 1+s 2…+s r -1+2, …, z n ) T ,
F 1=(b 1, b 2, …, b s 1) T f (x ) , F 2=(b s 1+1, b s 1+2, …, b s 1+s 2) T f (x ) , …F r =(b s 1+s 2…s r -1+1, b s 1+s 2…+s r -1+2,
T
z j (x ) =(D -λ1)
j -1
z 1-[b 1(D -λ1)
j -2
+b 2(D
-λ1)
j -3
+…+b j -1]f (x ) .
λx
将(8) 及f (x ) =P m (x ) e 代入上式, 就知
λx (j )
λ当λ≠1时, z j (x ) =e Q m (x ) ; λx (j )
当λ=λ1时, z j (x ) =e Q m +s 1-j +1(
x ) ;
…, b n ) T f (x ) ,
在(3) 中的第一个独立方程组如写成算子的形式, 则为
(D -λ1) z 1=z 2+b 1f (D -λ1) z 2=z 3+b
2f
其中Q (k j ) (x ) 为k 次多项式. 上面的讨论结果, 也适用于(3) 中的其他独立方程组. 这样, 当λ不是矩阵A 的特征值时, 方程组(3) 有下面形式的特解:
(1) (n ) 2) T λx
(x ) , Q (Z 3(x ) =(Q m m (x ) , …, Q m (x ) ) e , 式中Q (m j ) (x ) 为待定m 次多项式; 当λ等于矩阵A
的某个特征值, 例如, λ=λ1时, 方程组(3) 有下面形式的特解:
(1) s
x 1Q m (x ) (2) Q m +
s 1-1(x )
…
(D -λ1) z s 1-1=z s 1+b s 1-1f (D -λ1) z s 1=b s 1f
(4)
将此方程组中的各个方程依次作用算子(D -s -1s -2
λ, (D -λ, …, D -λ1) 11) 11, 和I 后, 可得
(D -λ1) (D -λ1)
s 1
…
Z 3(x ) =
Q m 1+1(x ) Q m 1
(s +1) (s )
) z 1=(D -λ
s 1-1
z 2+b 1(D -λ1)
s 1-1
f (x ) , f (x ) ,
e
λx
s 1-1
z 2=(D -λ1)
s 1-2
z 3+b 2(D -λ1)
s 1-2
(x )
…
(D -λ) z s +b s -1(D -λ1) z s 1-1=(D -
λ1) f (x ) , 11(D -λ1) z 1=b s 1f (x ) .
2
…
()
Q m n (x )
将以上各式相加, 就得
s
(D -λ1) 1z 1=F 1(x ) , 其中
(5)
这样, 原方程组便有如下形式的特解:
Y (x ) =TZ 3(x )
(1) (2) (n ) T λx
(10) =(Q m +s (x ) , Q m +s , …, Q
m +s (x ) ) e
其中s 为λ是矩阵A 某个特征值时的重数.
注意, 由于方程组(3) 中各子方程组的相对独立
第4期 吴顺唐:关于常系数线性微分方程组特解的求法性, (3) 式中的部分多项式Q (m j ) (x ) 在某些情况下可以预先确定为零. 例如, 当ϖj , 矩阵T 中第s 1+s 2+…+s j +1行到第s 1+s 2+…+s j +s j +1行的元素等于零时, 便是如此. 另外, 在预解式(10) 中, 分量
y 1(x ) 的预解式为
(1)
Q m +s 1
11
λx
由此即知(2) 的确具有y 1(x ) =x s Q 1m (x ) e 形式的
特解, 其中Q 1m (x ) 为待定的m 次项式.
现在我们回到方程组(1) , 其中F (x ) =(f 1(x ) ,
f 2(x ) , …, f n (x ) ) , 且Πi , f i (x ) =p m , i (x ) e
T
λi x
3
(x ) e , 但我们可以证明,
λx
, 这
λ1) x
(x ) e 在一定条件下, 可以简化为y 1(x ) =x s 1Q (m .
里p m , i (x ) ∈P m , λi 3∈R. 今对每个i 考虑方程组
Y ′=AY (x ) +F i (x ) (i =1, 2, …, n ) (13) 其中
λx T
F i (x (0, 0…, f 0, f i (x ) =p m , i (x ) e i , 13) , 然, 就可以得到下面:
定理1. 设
F (x ) =(f 1(x ) , f 2(x ) , …, f n (x ) ) T , 其中
f i (x ) =p m , i (x ) e
λi x
3
事实上, 在方程组(2) 中, 对各方程依次求(n -1) 次导数, 并将所得的n (n -1) 个方程整理成关于x 2,
x 3, …, x n 及其导数的方程组, 可得
A 1-E 1
U A 1-E 1
ω
A 1-E 其中
a 12 a 13 … a 1n
A 1=
a 22 a 23 … a 2n
U
(n -1)
=
…
W
(n -1)
,
(11)
3
, p m , i (x ) ∈P m , λi ∈R.
… …
a n 2 a n 3 … a 0 0 … 01 0 … 0
,
n ×(n -1)
那么当所有λi 3都不是矩阵A 的特征值时, 方程组
(1) 具有如下形式的特解:
y 1(x ) =∑Q m , i (x ) e
i =1n n
(1)
λi x λi x
3
3
, ,
y 2(x ) =∑Q m , i (x ) e
i =1
(2)
E 1=
ω0 0T
n ×(n -1)
,
…
y n (x ) =∑Q m , i (x ) e
i =1n
(n )
λi x
3
,
U =(y 2, y 3, …, y n ) ,
W =(y 1′-a 11y 1-f (x ) , a 21y 1, -a 31y 1, …, -a n 1y 1) .
T
如果λi 3为矩阵A 的s i 重特征根, 则方程组(1)
具有如下形式的特解:
y 1(x ) =x
s 1
(1) Q m , 1(()
x ) e
λx 1λx 2
3
3
+∑
i ≠1i ≠1
(1)
Q m +s i , i ()
(x ) e
λi x λi x
3
3
, ,
当
A 1 -E 1
2
y 2(x ) =x s 2Q m , 2(x ) e
2
+∑Q m +s i , i (x ) e
…
≠0
(n ) λx (n ) λx s
y n (x ) =x n Q m , n (x ) e n +∑Q m +s i , i (x ) e i ;
i ≠1
det
A 1 -E 1
ω ω
A 1 -E 33
(n -1) (n -1) (n -1)
时, 可以从(11) 中解出y 2, y 3, …, y n . 再
对(2) 中的第一个方程求导n -1次就得
y 1n =a 11y 1n -()
(
1)
+a 12y 2n -1+…+a 1n y n n -1+f
() () (n -1)
以上结果也适用于λi 为复数的情形。此时如
果在所得的特解预解式中分解出实部和虚部函数, 即可得当
a x
βf 1(x ) =e i [p m , i (x ) cos βi x +q m , i (x ) sin i x ]
,
(12)
(n -1) (n -1) (n -1)
现将从(11) 中解出的y 2, y 3, …, y n 代入
(12) 式, 就得关于y 1的n 阶线性微分方程:y 1
(n )
=c 11y 1n -1+c 12y 1n -1+…+c 1n y n n -1+g (x ) ,
() () ()
时方程组(1) 的特解应具有的形式, 即有下面的定理
定理2. 设
F (x ) =(f 1(x ) , f 2(x ) , …, f n (x ) ) T , 其中
βf i (x ) =e a i x [p m , j (x ) cos βi x +q m , i (x ) sin i x ],
p m , i
(x ) , q m , i (x ) ∈P m
(x ) , …, f (n -1) 其中c 1i 是一些常数, g (x ) 是f (x ) , f ′
λx
(x ) 的线性组合, 因此也具有P n (x ) e 形式的函数.
那么当所有λi 3都不是矩阵A 的特征值时, 方程组
12
(1) 具有如下形式的特解:
常熟高专学报 2001年
解之即得
A =-
(1) (1)
βy 1(x ) =∑e a i x [p m , i (x ) cos i x +q m , i (x )
i =1
n
, B =-.
4141
41sin βi x ],
(2) (2) a x
y 2(x ) =∑e i [p m , i (x ) cos βi x +q m , i (x )
i =1n
因此, 方程组的通解为
x n
sin βi x ],
=e
3t
cos5t
sin5t
-sin5t cos5C 1C 2
-e
-t
.
…
y n (x ) =∑e [
i =1
a i x
(n )
p m , i (x ) cos βi x +(n )
q m , i (x )
sin βi ];
利用初始条件,
c 1c 如果λi 为矩阵A 的s i 重特征根, 则方程组(1) 如下形式的特解
(1) (1) a x s y 1(x ) =e 11, 1(1x x m , 1x sin β1x ]+∑e
i ≠1
,
c 1c =
4141.
a i x
[
p m s i , i
(x ) βi x +
(1)
q m +s i , i
(x )
故所求特解为
x
sin βi x ],
y 2(x ) =e
i ≠1
a 2i x
[x
s 2
(2)
p m , 2(x ) cos β2x +x
s 2
(2)
q m , 2
(x )
=e 3t
cos5t
sin5t -sin5t cos5-
41.
(2) (2) a x
βsin β2x ]+∑e i [p m +s i , i (x ) cos i x +q m +s i , i (x )
sin βi x ],
这个例子采自[1].与[1]中的解法相比, 这里要
简单得多了.
例2. 求下面方程组的通解:
=2x +3y +4te -dt
=3x +2y +4t. dt
t
…
y n (x ) =e
i ≠1
a n x
[x
s n
(n )
p m , n (x ) cos βn x +x
s n
(n )
q m , n
(x ) (x )
a x
sin βn x]+∑e i [
(n )
p m +s i , i
(x ) cos βi x +
(n )
q m
+s i , i
sin βi ];
3 现在, 我们利用定理1和定理2来解两个简单的
例子.
例1. 求下面方程组初值问题的解:
=3x +5y +e -dt
=-5x +3y. dt
t
x (0) =0, y (0) =1.
解. 系数矩阵A 的特征为λ5i , 因此对1, 2=3±应齐次方程的基解矩阵为
cos5t sin5t 3x
exp At =e .
-sin5t cos5因λ3=-1不是特征值, 故由定理1, 方程组有下面形式的特解:
x 解. 系数矩阵A 的特征值为-1, 5. 注意, λ3=-1为特征值, 故由定理2, 原方程有下面形式的特解:
-t
t (At +B ) e +Ft +G x =.
(Ct 2+Dt +E ) e -t +Ht +将上式代入原方程并化简比较系数后可得
-2A +3B +3D =-4, 3B -2C +3D =0,
3E -B =0, 3E -D =0, 2F +3G =0, 3F +2G =-4, 2H +2I =F , 3H +2I =H.
=
A e
-t
,
其中A , B 为待定系数. 将其代入原方程组可得
A -t 3 5A -t 1-t -e =e +e , -5 约去e -t , 并化简后可得
4A +5B =-1-5A +4B =0,
解之即得
, C =-1, D =-, E =-, F
339
=-, G =, H =, I =-. 525525
(下转15页) 因此原方程的通解为
A =1, B =-
第4期 钟振华 朱林生:论高师《高等代数》习题课教学教学方式的讨化是很初步的, 进一步的研究只能留待以后去做。参考文献:
[1] 孟道骥. 关于高校数学教学内容改革的探索[J].数学教育学报,1999, (3) . [2] 北大数学系. 高等代数(第三版) [M].北京:高等教育出版社,1988. [3] 孟道骥. 高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,1998. [4] 张奠宙. 数学的明天[M].南宁:广西教育出版社,1999.
15
Teaching in Assignment Class of 《Advanced 》normal College
ZH ONG 12
(1. Department of s ong 675000,China ;
2. C ollege ,Changshu 215500,China )
Abstract :In this paper ,we discuss the teaching requirement
,Principle of sellecting preblams and teaching methods in as 2signment class of 《
Advanced Algebras 》in a higher normal C ollege. K ey w ords :Advance algabra ;teaching requirement
;principle
(上接12页)
x (t ) y (t )
=
e e e e
5t
5t -1-1
C 1C t -
2
+
t 3
2
-e
-t
-t -t -3+
t +525
t -525
.
参考文献:
[1] 王高雄, 周之铭, 等. 常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.
[2] 东北师范大学数学系微分方程教研室. 常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982. [3] 丁同仁. 常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1997.
On the
Praticular Solution of the N onhomogeneous Systems with constant coefficients
W U Shun-tang
(Zhenjiang T eachers ’C ollege ,Zhengjiang ,212000,China )
=AY +F be a nonhom ogeneous systems with constant coefficients. In this paper we prove that the par 2dx
Abstract :Let
ticular s olution of the nonhom ogeneous systems can be obtained by means of the method of undetermined coefficients when the vector function F is itself a particular s olution of s ome hom ogeneous linear systems with constant coefficients. K ey w ords :Nonhom ogeneous systems with constant coefficients ,Method of undetermined coefficients.