平面几何(基本方法1)
高中数学培优讲座
第三讲:平面几何证明基本方法——分析法、综合法、反证法、同一法
(一)分析法、综合法
分析法是由命题的结论人手,承认它是正确的,执果索因,寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程;综合法则是由命题的题设人手,通过一系列正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论.
无论是分析法还是综合法,都要经历一段认真思考的过程,分析法先认定结论为真,倒推而上,容易启发思考,每一步推理都有较明确的目的,知道推理的依据,了解思维的过程;综合法由题设推演,支路较多,可以应用的定理也较多,往往不知应如何迈步,这是它的缺点,而优点在于叙述简明,容易使人理解解题的步骤.
选择型分析法解题,就是从要求解的结论B 出发,希望能一步步把问题转化,但又难以互逆转化,进而转化为分析要得到结论B ,需要什么样(充分)的条件,并为此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向择优,假设有条件C 就有结论B ,即C 就为选择找到的使B 成立的(充分)条件(C ⇒;同样地,再分析在什么样的条件下能选择得到C ,即D ⇒B )C ,最终追溯到此结论成立或原命题的某一充分条件(或充分条件组)恰好是已知条件或已知结论A 为止.
在运用选择型分析法解题时,常使用一系列短语:“只需„„即可”来刻画,具体来说,若可找到C ⇒B ,欲证A ⇒B ,只需证A ⇒C 即可.
0例题1:如图,已知∠,点B 在CE 上,CA = CB=CD,过A ,C ,D 三点的圆交ACE =∠CDE =90
AB 于F . 求证:F 为△CDE 的内心.
如果在从结论向已知条件追溯的过程中,每一步都是推求的等价(充分必要)条件,那么这种分析法又叫可逆型分析法。因而,可逆型分析法是选择型分析法的特殊情形,用可逆型分析法证明的命题用选择型分析法一定能证明,反之用选择型分析法证明的命题,用可逆型分析法不一定能证明.
可逆型分析法的证明中,常用符号“⇔”来表示,或用一系列“则需证„„”来表示,并最后指出“上述每步可逆,故命题成立”. a +b 例题
2:直角△ABC 中,a 、b 为直角边长,c 为斜边长。求证:≤c 2
如果在从结论向已知条件追溯的过程中,在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处,需采取相应的构造型措施:如构造一些条件,作某些辅助图等,进行探讨、推导,才能追溯到原命题的已知条件(或稍作变形处理) 的分析法又叫做构造型分析法.
例题3:如图,AD 是△ABC 的中线,任意引直线CF 交AB 于F ,交AD 于E ,求证:.
2AF
FB ED
在由已知条件着手较难时,或没有熟悉的模式可供化归推导时,我们可倾向于寻找简单的模式(特例),然后将一般情形化归到这个简单的模式上来。这样的综合法称为奠基型综合法. 例题4:如图,由任一点
△ABC 的三条高AD 、BE 、
段,求证:这三条垂线段
一条是其余两条的和.
P 向等边CF 作垂线中最长
的
当问题给出的已知条件较少且看不出与所求结论的直接联系时,或条件关系松散难以利用时,去有意识地寻找、选择并应用媒介实现过渡,这样的综合法称之为媒介型综合法.
例题5:(斯特瓦尔特定理)设D 是△ABC 底边BC 上任一点,求证:
222. AD ⋅BC =AB ⋅CD +AC ⋅BD -BC ⋅BD ⋅C
类似方法可证:
1.(阿波罗尼斯定理)若AD 是△ABC 的中线,则AB . +AC =2(AD +BD )
(提示:△ADB 和△ADC 中用余弦定理)
2.(斯库顿定理)在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,则AD . =AB ⋅AC -BD ⋅C
(提示:在△CAD 和△BAD 中,用cos ) ∠CAD =cos ∠BA
3.(托勒密定理)在圆内接四边形ABCD 中,AC . ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅B
(提示:在△BAD 和△BCD 中,用cos ;又在△ABC 和△ACD 中,用∠BAD =-cos ∠BC
,分别整理出BD 2,AC 2的表达式,再相乘即证)
cos ∠ABC =-cos ∠AD 22222
解题时,运用解析法的思想制订解题的大体计划和方向,然后并不真用解析法来实现这个计划,而用综合法来实现,这种综合法我们称之为解析型综合法.
例题6:如图,在四边形ABC'D 中,已知∠B 为直角,对角线
AC=BD,过AB 、CD 之中点E 、G 作中垂线交于N ;过BC 、
中点F 、H 作中垂线交于M . 求证:B 、M 、N 三点共直线.
AD 之
上面,我们分别介绍了分析法与综合法,在解题时,这两种方法可单独使,也可结合使用,在分析中有综合,在综合中有分析,交叉使用去论证、求解问用题.