4-23 -高阶线性方程的例子.拉普拉斯变换

4.3 高阶线性微分方程例子、拉普拉斯变换

(Examples of higher order Linear ODE、Laplace Transformation )

[教学内容] 1. 介绍简谐振动、节拍、共振、振幅反应等概念. 2. 介绍拉普拉斯变换的概念和性质.3. 介绍线性高阶微分方程的拉普拉斯变换解法. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.

[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标]

1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.

1. 机械振动

mx ' ' +cx ' +kx =F(t)，x 表示偏离平衡位置的位移，k 表示弹簧弹性系数(spring constant)，c

表示阻尼系数（damping constant），F(t)表示外部力（external force） （1） 简谐振动(simple harmonic motion)：m x ' ' +kx =0，定义w 0=通解为

k/m，则得到方程的

x(t)=c 1 cos(w0t) +c 2 sin(w0t) =c 1+c 2(

22

c 1c 1+c 2

2

2

cos(w0t) +

c 2c 1+c 2

2

2

sin(w0t))

令A =

c 1+c 2, θ=arctan

22

2πc 1

，则x (t)=Asin(w0t +θ)，称T =为周期(period)，

w 0c 2

1w 0

=为频率(frequency)，w 0为圆频率（circular frequency ），称A 为振幅(amplitude ) ，T 2π

称θ为初相位(phase angle).

（2） 有阻尼自由振动（Free damped motion ） m x ' ' +cx ' +kx =0，改写为

c 22

x' ' +2n +x w ' 0x =0，其中n =, w0=k/m. 特征方程为λ2+2n λ+w 0=0.

2m

(a) 小阻尼（under-damped case）两复根 (音叉声音渐弱) (b) 临界阻尼(critically damped case) 重根(

(c) 大阻尼（over-damped case）两不同实根 （3） 无阻尼强迫振动（undamped force oscillations） mx ' ' +kx =F 0 cos(wt)，w ≠w 0（natural frequency）. 在x (0)=x ' (0)=0初值下，

x(t)=

F 02F 0[cos(wt)-cos(wt)]=02222

22m(w0-w ) m(w0-w )

节拍(Beat: an audible variation in the amplitude of the combined sound with a frequency of

(w0-w)/2

)

2π

图

w=w 0=共振（Resonance ） mx' ' +kx =F 0 cos(wt),

特解为x p (t)=

k/m,

F 0

t sin(w0t) ，

2mw 0

图

Amplitude Response: 考察x ' ' +4x =F 0cos(wt)，可得特解x p (t)=

F 0

cos(wt). 2

4-w

Output Amp (F0/|4-w 2|)1

==Amplitude response = ,

Input Amp F 0|4-w 2|

图

（4） 有阻尼强迫振动（damped forced Oscillations）

x ' ' +2x ' +26x =82 cos(4t) =82e 4it ，特解为

582e 4it

，. x p (t)=Re() =5cos(4t)+4sin(4t)=41sin(4t +α) tan α=

(4i)2+2(4i)+264

方程的任一解为x (t)=c 1e cos(5t)+c 2e sin(5t)+x p (t)→x p (t), t→+∞.

-t

-t

图

例62. Graph the amplitude response for the following systems (1) x ' ' +x ' +4x =F 0cos(wt); (2) x ' ' +6x' +4x =F 0cos(wt). 解：(1) 特解为

F 0F 0(cos(wt)+isin(wt))((4-w 2) -iw) iwt

x p (t)=Re[e ]=Re[]， 2222

(iw)+iw +4(4-w ) +w F 0((4-w 2)cos(wt)+w sin(wt))F 04-w 2

x p (t)==sin(wt+α), tanα=. 222222(4-w ) +w w (4-w ) +w

Output Amp (F0/(4-w 2) 2+w 2) 1Amplitude Response ==

222Input Amp F 0(4-w ) +w

图

（2）作为练习，自己独立完成.

2. 拉普拉斯变换

（1）拉普拉斯变换的概念 (a) 广义积分敛散性：Gamma 函数：Γ(x) =

⎰

+∞

1

b 111

dx =lim =lim (1-) =1收敛（converge ）. 22⎰1b →+∞b →+∞x x b

⎰

+∞

e -t t x -1dt , x>0. Γ(1) =1, Γ(n+1) =n ! , n ∈N .

σt

(b) 概念：设函数f(t)定义在[0, +∞) 上，且满足|f(t)|≤Me , t>T, M, σ为两正常数，则称变换F(s)=L[f(t)]=

⎰

+∞

F(s)为象e -st f(t)dt, Re(s)>σ为函数f(t)的拉普拉斯变换，

函数，f(t)为原象函数.

例63. 求(1) f(t)=1, t ≥0; (2) f(t)=e , t≥0; (3) f(t)=t , t≥0, n =1,2, 的拉普拉斯变换.

at

n

1-bs 11-st

e dt =lim (-e +) =, Re(s)>0. ⎰0b →+∞s s s +∞1at at -st

(2) L[e]=⎰e dt =, Re(s)>a .

0s -a

解：(1) L[1]=

+∞

(3) L[t]=

n

⎰

+∞

t e dt =⎰

n -st

+∞

+∞u (st)-(st)Γ(n+1) -u

e d(st)=e du =, Re(s)>0 n +1n +1n +1⎰0s s s

n n

(2)拉普拉斯变换的性质

(a) 线性性质：设a, b 为实数，则L[a f(t)+b g(t)]=a L[f(t)]+b L[g(t)]. (直接验证即可)

例64. 求(1) f(t)=cos(kt), t≥0; (2) f(t)=sin(kt), t≥0的拉普拉斯变换，其中k>0.

e ikt +e -ikt 11

解：(1) f(t)=，Re(s ) >0. , L[eikt ]=, L[e-ikt ]=

2s -ik s +ik

则由拉普拉斯变换的线性性质知，

1111s

L[cos(kt)]=(L[eikt ]+L[e-ikt ])=(+) =2, Re(s)>0. 2

22s -ik s +ik s +k e ikt -e -ikt 11

(2) f(t)=，Re(s ) >0. , L[eikt ]=, L[e-ikt ]=

2i s -ik s +ik

则由拉普拉斯变换的线性性质知，

L[sin(kt)]=

1111k (L[eikt ]-L[e-ikt ])=(-) =2, Re(s)>0. 22i 2i s -ik s +ik s +k

2

作业55. 求下列函数的拉普拉斯变换. (1) f(t)=2, t≥0; (2) g(t)=3t ; (3) h(t)=sin(2t)+cos(3t) .

(3) 拉普拉斯逆变换

由下面结论知，任两个在[0, +∞) 连续且不同的函数在拉普拉斯变换下不可能具有相同的象函数. 因此，如果F(s)是某个连续函数f(t)在拉普拉斯变换下的象函数，则称f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L [F(s)]. 拉普拉斯逆变换也具有线性性质. 例65. 求L [

n

-1

-1

112-1-1

], L [], L []. 32s s +2s +9

t 2Γ(n+1) n ! -12! 2-11解：由L[t] ==n +1知，L [3]=t , L [3]=. n +1

s s 2s s

11-1

知，L []=e -2t . s -a s +2

k 22-132-1

由L[sin(kt)]=2知，L []=L []=sin (3t). 222

s +k s +93s +93

由L[e]=

at

作业56. 求L [

（4）一些理论

（a) 拉普拉斯变换存在性定理：如果函数f(t)在t ≥0部分按段连续，且满足

-1

11s -1-1], L [], L []. s 4s 2-1s 2+4

|f(t)|≤Me σt, t>T, M, σ为两正常数，则F(s)=L[f(t)], Re(s)>σ存在.

e t t t 2-ct

=+∞. 反例：f(t)=e , lim ct =lim e

t →+∞e t →+∞

2

2

（b) 拉普拉斯逆变换唯一性定理：假定函数f(t), g(t)满足上述拉普拉斯变换存在性定

理条件，记F (s G 分别表示f(t),g(t)在拉普拉斯变换下象函数. 若) , (s )

F(s)=G (s), Re(s)>σ，则在[0, +∞) 上每个连续点处都有f(t)=g(t).

（5）拉普拉斯变换的微分性质和平移性质

(a) 如果函数f(t)在t ≥0部分连续可导，且满足|f(t)|≤Me , t>T, M, σ为两正常数，则L[f ' (t)], Re(s)>σ存在，且L[f ' (t)]=sL[f(t)]-f(0)=sF(s)-f(0), F(s)=L[f(t)]. 推论：如果函数f(t)在t ≥0部分两阶连续可导，且满足|f(t)|≤Me , t>T, M, σ为两正常数，则记g(t)=f ' (t)，L[f ' ' (t)]=L[g'(t)], Re(s)>σ存在， 且L[f ' ' (t)]=sL[g(t)]-g' (0)=sL[f'(t)]-f ' (0)=s(sF(s)-f(0))-f' (0). (b) 平移性质：L[ef(t)]=F(s-a) . 例如， L[eat sin(2t)]=

at

σt

σt

22-1

; L []=e at sin(2t). 22

(s-a) +4(s-a) +4

L[5eat t]=

55-1at

; L []=5e t. 22

(s-a) (s-a)

例66. Solve the initial value problem x ' ' -x ' -6x =0, x(0)=2, x' (0)=-1. 解：记F(s)=L[x(t)]，由拉普拉斯变换的微分性质知，L[x' (t)]=sF(s)-x (0)，

L[x' ' (t)]=s[sF(s)-x (0)]-x ' (0)=s 2F(s)-s x(0)-x ' (0)=s 2F(s)-2s +1.

将上述表达式代入原方程，由拉普拉斯变换的线性性质知，

s 2F(s)-2s +1-sF(s)+2-6F(s)=0，解得F(s)=

2s -32s -3

， =

s 2-2s -6(s+2)(s-3)

由遮挡法知，F(s)=

7/53/5

+.

(s+2) (s-3)

-1

因此，所求解函数为x (t)=L [F(s)]=

7-113173L []+L -1[]=e -2t +e 3t . 5s +25s -355

注解：拉普拉斯变换求出微分方程在初值条件下的特解，而不是通解.

例67. 求解初值问题x ' ' +4x =sin(3t), x(0)= x' (0)=0.

解：记X(s)=L[x(t)]，则由初值条件知，L[x' ' (t)]=s(sX(s)-x (0))-x ' (0)=s X(s)，

2

于是原方程在拉普拉斯变换下为s X(s)+4X(s) =

331

，解得. X(s)=⋅s 2+9s 2+9s 2+4

31As +B Cs +D 33

，解得. ⋅=+A =C =0, B =, D =-2222

s +9s +4s +9s +455

2

因此，所求特解为 x (t)=L -1[X(s)]=

31-1231331

⋅L [2]-⋅L -1[2]=s i n (2-t s i n (3 t ). 52s +453s +9105

作业57. 运用拉普拉斯变换求解(1) y' ' -4y' +4y =0, y(0)=0, y' (0)=3. (2) y' ' +y' -2y =8sin(2t), y(0)=0, y' (0)=0.