[金融数学](第二版)练习题(修订版)

孟生旺《金融数学》（第二版）练习题

( 2011. 1. 10 修订)

第1章 利息度量

1.1 现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。

1.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T 月末支付1004元的现值。年实际利率为5% 。求T 。

1.3 在零时刻，投资者A 在其账户存入X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X ，按利率 i （单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i 。

1.4

1.5

1.6 如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。 如果i (m ) 一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n 年，累积值将成为7.04。求n 。 =0.1844144，d (m ) =0.1802608，试确定m 。

1.7 基金A 以每月复利一次的名义利率12 %累积。基金B 以δt = t / 6的利息力累积。在零时刻，分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额

1

将相等。

1.8 基金A 以δt =a +bt 的利息力累积。基金B 以δt =g +ht 的利息力累积。基金A 与基金B 在零时刻和n 时刻相等。已知a >g >0，h >b >0。求

n 。

1.9 在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从t = 2 开始，利息按照δt =11+t 的利息力支付。在t = 5时，存款的累积值为260。求δ。

21.10 在基金A 中，资金1的累积函数为t +1，t >0；在基金B 中，资金1的累积函数为1+t 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

21.11 已知利息力为δt =。 第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X 1+t

元的现值。求X 。

1.12 已知利息力为δt =t 3100。请求a (3)。 −1

1.13 资金A 以10%的单利累积，资金B 以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%（每半年复利一次），全年的实际利率为7%，试确定δ0.5。

t 2累积利息，其中t > 0。从时刻3到时刻6得到的全部利息为X ，1.15 某投资者在时刻零向某基金存入100，在时刻3又存入X 。此基金按利息力δ=t 100

求X 。

1.16 一位投资者在时刻零投资1000，按照以下利息力计息：

2

⎧ 0≤t ≤3⎪0.02t ，δt =⎪ ⎨⎪0.045， t >3⎪⎩

求前4年每季度复利一次的年名义利率。

1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。

⎧kt , 0

11.19 已知利息力为δt =，一笔金额为1的投资从t =0开始的前n 年赚取的总利息是8。试求n 。 2+t

21.20 1996年1月1日，某投资者向一个基金存入1000，该基金在t 时刻的利息力为0.1(t −1) ，求1998年1月1日的累积值。

1.21 投资者A 今天在一项基金中存入10，5年后存入30，已知此项基金按单利11%计息；投资者B 将进行同样数额的两笔存款，但是在n 年后存入10，在2n 年后存入30，已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末，两基金的累积值相等。求n 。

2，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。 1.22 已知利息力为δt =t −1

第2章 等额年金

2.1 某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果他首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2000元即可付清车款。假设每月复利一次的年名义利率为8%，试计算他在首期付款的金额为多少。

3

2.2 某人将在10年后退休。他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元，如果基金的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金。

2.3 某人从2000年3月1日起，每月末可以领取200元，2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率为6%，试计算：（1）年金的现值；（2）年金的终值；（3）年金在2005年12月31日的值。

2.4 某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10000元。从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。（1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？（2）如果无限期地领下去（当他死亡后，由其继承人领取），每次可以领取多少？

2.5 某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8%，试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额？

2.6 如果年实际利率为i ，那么一笔在36年内每年末支付4000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5000元的年金将有相等的现值。试计算1000元的投资在年实际利率为i 时，经过多长时间可以翻番。

2.7 借款人原计划在每月末偿付1000元，用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%。如果他现在希望一次性支付60000元还清贷款，他应该在何时偿还？

2.8 投资者每月初往基金存入一笔款项，5年后可以积存到60000元。如果前2年每次存入1000元，后3年每次存入500元。试计算每月复利一次的名义利率。

2.9 投资者每年末向一基金存入2000元，如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后两年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第4年末可以积存多少价值？

2.10 一项10年期的年金，在前5年的每季度末付款1000元，后5年的每季度末付款2000元。如果年实际利率为5%，试计算该项年金的现值。

2.11 一项每3年末支付1元的永续年金，其现值为125/91，试确定年实际利率是多少？

2.12 某人将一笔遗产（每年末可以领取的永续年金）捐赠给了四家慈善机构A ，B ，C 和D 。在前n 年，每次领取的款项由A 、B 、C 三家平均分享，n n 年以后，剩余部分均由D 领取。试确定当(1 + i) 为多少时，A 、B 、C 、D 四家在该遗产中享有的现值相等。假设年实际利率为8%。

2.13 一项永续年金在每月初付款1元，如果每年结转四次利息的年名义利率为4%，试计算该项年金的现值。

4

2.14 一项永续年金在每月初付款1000

2.15 假设一笔10000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1000元，直至还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。

2.16 一项年金从2000年1月1日开始，每月末支付100元，支付60次；这项年金的价值等价于在第K 月末支付一笔6000元的款项。每月复利一次的名义利率为12%。求k 。

2.17 如果a =x ，a =y ， 试将d 表示为x 和y 的函数。 n 2n

2.18 一位受益人获得了一笔人寿保险金，如果用这笔收入去购买一项10年期的期末付年金，每年末的付款为$1538；如果购买20年期的期末付年金，则每年末的付款为$1072。两者的年实际利率均为i ，求i 。

2.19 建立一个基金，在前两年每季度之初存入100，其后两年每季度之初存入200，若基金的名义利率为12%，每月复利一次。请计算第四年末的累积值为多少？

2.20 每半年复利一次的名义利率为i ，每两年末支付1元的永续年金的现值是5.89。试计算利率i 。

2.21 某人以年实际利率4%借款100元，并承诺分30次付清，后二十次的付款是前十次的2倍。在第十年末，他可以选择一次性付清全部剩余款项X ，这会使借款人在十年间获得的年实际利率为4.5%，求X 。

2.22 投资者在t =0和t =10时分别向一项基金投资12，这项基金以年实际利率i 计息。利息在年末支付，并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在t =20时，再投资利息的累积值为64，求i 。

1，求的表达式。 2.23 如果利息力为常数δ=1+t

5

2.24 给定利息力δ=1

1+0.5t ，0≤ t ≤5，请计算s 5。

2.25 已知∫8d t =100。请计算

0。

2.26 如果3a (2) (2) (2)

|=2a 2|=45s 1|，试计算i 是多少？

2.27 当t 为多少时，在时刻t 支付1元相当于将这1元在时刻0与1之间连续支付？

2.28 已知=4，=12，求利息力。

2.29 证明下列关系式：

（1）m n =a m +a n v m

（2）s =s +(1+i ) m s

（3）=a (1+i ) n −s 0

（4）s m n =s m −a n (1+i ) m 0

（5）1

1−v 10=1s (s +1

10)

i

15

（6）∑(s ) =s

t =10−s 16−s 10−6

（7）a (m )

| 1。 （８）s 2n

s +s n −s 3n =1

n s 2n s 2n

6

（９）⎜−

⎛⎝d ⎞(1+i )=−1 δ⎟⎠

第3章 变额年金

3.1 某投资者在三十年内，每年年末向银行投资1。银行在每年末以年利率j 支付利息。投资者所得利息立即被再投资，再投资利率为年实际利率j 。这2些利息在三十年之间的积累值为72.88。求j 。

3.2 某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？

3.3 一项永续年金在第一年末支付1，第二年末支付2。这样增加下去直至第n 年末支付n ，然后一直维持每年支付n ，试确定此项年金的现值。

3.4 一项永续年金在第四年初支付2，第六年初支付4，第八年初支付6，第十年初支付8，年实际利率为10%，计算其现值X 。

3.5 在年实际利率为i 时下列两项年金的现值均为X ：年金A 在每年末支付55，支付20年；

年金B 支付30年期，其中前10年每年末支付30，中间10年每年末支付60，最后10年每年末支付90。求X 。

3.6 一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1，第一次支付在第二年末，当年实际利率为i 时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1, 第一次支付在第一年末，计算该年金在年实际利率i 下的现值。

3.7 一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n 年。从第n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？

3.8 一项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增长10%，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值是多少？

7

(2)。 3.9 一项期末付年金，每半年的付款为800，750，700，…，350，i =0.16。若a 100.08=A ，试写出此年金的现值表达式（用A 表示）

3.10 一项永续年金，第5年和第6年末的付款为1，第7年和第8年末的付款为2，第9年和第10年末的付款为3，如此下去。计算其现值。

3.11 一项永续年金，从今日开始每6个月付款一次。第1次付款1，以后每次均比前次增加3%。若年实际利率为8%，试确定此项年金的现值。

3.12 一项永续年金，每四年末付款一次。第一次付款在第四年末，付款额为1。接下来的每一次付款都比上一次多5。请计算这项永续年金的现值，已知v 4=0.75。

3.13 小张在第一年的每个季度初存款1，第二年的每季度初存款2，以此类推，第八年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末，小张取出这项存款用于购买一项每年末均支付X 的永续年金。计算X 。

3.14 小张选择如下方式获得他的20年期退休金：从现在开始一个月后每月领取2000，月度退休金每年增加3%，每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。

3.15 每年初向基金中投入一笔资金，持续10年。前5次投资金额均为1000，从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%，试确定第10年末的积累值。

3.16 投资者在时刻1收到400元，时刻2收到450元，时刻3收到500元，依此类推，直到最后一次收到900元，假设每个时期的实际利率为5％，请计算这些付款在时刻零的现值和在时刻12的终值。

3.17 一个现金流的付款如下：现在支付1000元，1年后支付1070元，2年后支付1140元，3年后支付1210元，依此类推，直到最后一次支付1700元。假设年实际利率为8％，试计算这个现金流在时刻零的现值和在第11年末的终值。

3.18 小张在第1年末收到500元，在第2年末收到480元，在第3年末收到460元，依此类推，直到最后一次收到400元，假设年实际利率为6％，试计算这个现金流在第1年初的现值和在第20年末的终值。

3.19 一个现金流如下：现在支付50元，此后每年比上一年减少10元直到第4年末，然后每年的付款又比前一年增加10元，直到第8年末。假设年实际利率为9％，试计算这个现金流在时刻零的现值。

8

3.20 小张需要在第10年末筹集到80000元，因此他现在投资X 元，在1年末投资X －500元，在第2年末投资X －1000元，直到第9年末投资X －4500元，假设年实际利率为6％，试计算X 的值。

3.21 某银行有一项特殊业务，如果现在存入银行X 元，银行将在第5年末返还3000元，在第6年末返还2900元，在第7年末返还2800元，依此类推，最后一次返还在第15年末。假设年实际利率为6％，试计算X 的值。

3.22 假设在第5年末投资200元，在第6年末投资400元，在第7年末投资600元，依此类推，最后一次投资发生在第15年末。年实际利率为5％，试计算这些投资在第20年末的终值。

3.23 一项连续支付的年金，第1年连续支付100元，第2年连续支付110元，第3年连续支付120元，依此类推，直到第10年连续支付190元。假设年实际利率为4％，试计算此年金在第10年的终值。

3.24 有一项连续年金，第1年连续支付100元，此后每一年比前一年减少5元，直到最后一次支付65元，假设年实际利率为7％，试计算此项年金在第10年的终值。

3.25 小张现在25岁，他希望在他65岁到90岁之间每年领取养老金，第一次是在他65岁生日时领取15000元，之后领取的金额每年比前一年增加3％，假设年实际利率为5％，试计算小张现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。

3.26 一项10年期连续年金，在时刻t 的支付率为，假设利息力为，试求此项年金在时刻零的现值。 ρt =4t +3δt =0.03+0.04t

3.27 一个现金流从时刻5到时刻10连续付款，在时刻t 的支付率为

的利息力为ρt =1.2t 2+2t ，时刻零到时刻5的利息力为δt =0.004t +0.01，时刻5到时刻10δt =0.0006t 2+0.001t ，试计算此现金流在时刻零的现值。

3.28 小张从第1年到第7年每年末投资Z 元，年实际利率为3％，然后又将每年末的利息进行再投资，再投资利率为5％。在第7年末的终值为X 元。小王从第1年到第14年每年末投资Z 元，年实际利率为2％，然后又将每年末的利息进行再投资，再投资利率为3.5%。他在第14年末的终值为Y 。试计算Y/X。

3.29 一项期末付永续年金，前5年的付款均为20元，从第6年开始，付款每年比上一年增长k %。假设年实际利率为9％，此项永续年金的现值为335 9

元，试计算k 的值。

3.30 一项连续年金，其在时刻t 的支付率为9k +tk ，其中0≤t ≤10，利息力为1，在10年后，此项年金的价值25000元，试计算k 的值。 δt =9+t

3.31 一项15年期的年金，在第1年末给付300元，第2年末给付280元，第3年末给付260元，直到给付金额减少到160元，然后每年的给付金额保持160元不变，直到15年末，假设年实际利率为5％，试计算此项年金在时刻零的现值。

第4章 收益率

4.1 某项目的初始投资为50000元，并将产生如下净现金流入：第1年末15000元，第2 年末40000元，第3年末10000元。求该项目的收益率。

4.2 投资者将10000元存入一家银行，期限为10年，年利率为5%。如果在五年半之内取款，银行将扣除取款额的6%作为罚金。投资者分别在第4、5、6、7年末取款k 。10年末，这笔存款的余额为10000元。求k 。

4.3 一个投资账户的有关信息如下：

2006.1.1 2006.5.1 2006.9.1 2007.1.1 时间 50000 75000 90000 67000 余额(投入或支取之前) 15000 投入

25000 支取

请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。

4.4 两项基金的有关信息如下：

基金 X

日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额

2003.1.1 50000

10

2003.3.1 55000

2003.5.1 24000 50000

2003.11.1 36000 77310

2003.12.31 43100

基金 Y

日期 投入 支取 投入/支取之前的基金余额

2003.1.1 100,000

2003.7.1 15,000 105,000

2003.12.31 F

基金Y 在2003年的时间加权收益率等于基金X 在2003年的币值加权收益率。求F 。

4.5 某人2006年1月1日在一个账户投资了100元。该年的其他投资信息如下：

2006.4.19 2006.10.30

90 110 投入之前的余额

X X 投入金额

假设该账户在2007年1月1日的余额为120元。该账户在2006年的币值加权收益率是0%，时间加权收益率是y 。计算y 。

4.6 1月1日，一个投资账户的余额为100元。4月1日，余额上升为120元，又存入D 。10月1日，余额为100 ，又取出50元。第2年的1月1日，账户余额为65元。假设该账户的时间加权收益率为0%，请计算币值加权收益率。

4.7 2008年1月1日，某投资者向基金投入1000元，第二笔投资发生在2008

基金在过去一年的时间加权收益率为10%，币值加权收益率为9%

4.8 某账户在1月1日的账面余额为75元，12月31日的账面余额为130元。每月末存入该账户的资金为10元，并分别在2月28日，6月30日，10月15日和10月31日从账户中取走了5元、25元、8元和35元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。

4.9 某投资者于1月1日在一个账户中投资50元，下表为该投资账户一年中的余额变化：

日期 投资前的余额 新增投资额

3月15日 40 20 11

6月1日 80 80

10月1日 175 75

6月30日，账面余额为157.50元，12月31日，账面余额为X 。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示，则其等于全年的时间加权收益率。求X 。

4.10 某投资基金在年初的余额为20000元。在每季度末，收到一笔新增投资1000元。在这些现金流发生之后的基金价值为23000，24800，25000及25100元。请计算该基金的时间加权收益率。

4.11 一个投资者购买了一项5年期的金融产品，该产品满足下述条件：(1) 该投资者在5年内的每年初可以获得1000元；(2) 这些款项将按年利率4%计息，并在每年末，所获利息又以3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得4%的年收益率，请计算该投资者应该支付的购买价格。

4.12 某投资者在20年内每年初向银行存入500元，银行以i %的年利率在每年末支付利息。这些利息以(i /2)%的年利率进行再投资。整个投资在20年中的年实际收益率为8%。请计算i 。

4.13 投资者A 以年利率10%投资1000元，期限为10年。每年末支付利息，利息以年利率i 进行再投资。10年末，利息的积累值为1500元。投资者B 在20年的每年末投资150元，年利率为12%。每年末支付利息，利息以年利率i 进行再投资。求20年后B 的利息积累值。

4.14 某投资者的初始投资为12，10年末又投资12，这些投资以年实际利率i 计息。利息按年度支付，并以0.75i 的年实际利率进行再投资。在20年末，再投资利息的积累值为64元，求i 。

4.15 某投资人分别在 1999年, 2000年和2001年的年初投资了1000元。请根据下表的数据计算该投资者在2001日历年度所获得的利息。

投资年度利率 投资组合利率 投资组合利率的原始投资的

日历年度y +2日历年度y i 1y i 2y i y +2

1999 9.00% 10.00% 11.00% 2001

2000 7.00% 8.00%

2001 5.00%

4.16 假设市场的无风险利率为5%，债券A 的面值为1000元，期限为一年，违约概率为1%，如果发行人希望按面值发售债券，试计算该债券的息票率至少应为多少？如果投资者要求购买该债券的期望收益等于8%的无风险利率所产生的收益，试计算息票率应为多少？

12

第5章 债务偿还

5.1 一笔贷款在n 年内分期偿还，每年末的偿还金额为X 元，n > 5，且已知：

（1）第一期付款的利息金额为604.00元。

（2）第三期付款的利息金额为593.75元。

（3）第五期付款的利息金额为582.45元。

试计算X 。

5.2 一笔35年期的贷款以等额分期方式偿还，每年末偿还一次。第8次分期付款的利息金额为135元。第22次分期付款的利息金额为108元。请计算第29次分期付款的利息金额。

5.3 一笔10000元的30年期贷款，年实际利率为5%，以等额分期方式偿还，每年末偿还一次。试求分期付款中利息金额最接近于付款金额三分之一的年份。

5.4 一笔10年期的贷款，在每年末偿还R 元。已知：

（1）在头3年中，偿还的本金金额总和为290.35。

（2）在最后3年中，偿还的本金金额总和为408.55。

请计算在整个偿还期内，支付的利息金额为多少。

5.5 按年实际利率i 偿还一笔1000元的贷款。已知：

（1）在第6年末偿还第一笔款项。

（2）然后每年末等额偿还一次，在第15年末可以偿清这笔贷款（即一共偿还10次）。

（3）在第10年末的付款结束后，未偿还本金余额为908.91。

试计算第5年末的未偿还本金余额。

13

5.6 一笔20000元的贷款，期限为4年，年实际利率为8%。借款人必须在每年末偿还1600元的利息，并建立一笔偿债基金用于清偿贷款本金，偿债基金的利率与贷款利率相同。试计算下列各项：

（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额；

（2）偿债基金在第2年末的余额；

（3）第2年末的贷款净额。

5.7 假设偿债基金的年实际利率为7%，重新计算5.6题的有关结果。

5.8 有两笔贷款的本金均为20000元，期限均为4年，但偿还方式不同。第一笔贷款采用偿债基金方式，贷款利率为8%，偿债基金利率为7%。第二笔贷款采用等额分期偿还方式。试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。

5.9 一笔10年期的贷款在每年末偿还一次，年贷款利率为5%。第一次的付款为200元，后来的每笔付款均比前一年多10 元。请计算第5次付款的利息是多少。

5.10 一笔125000元的30年期贷款在每月末偿还一次，每年的月偿还金额相等。每一年的月偿还额较前一年高出2%。第一年的月偿还额为R 元，年实际利率为5%，求R 。

5.11 银行有一笔10000元的20年期贷款，该笔贷款在每年末偿还1000元。如果银行把每次的偿还额立即按5%的实际利率进行再投资，试确定银行在这20年的实际年收益率。

5.12 一笔金额为A 的n 年期贷款，在每年末偿还1，年利率为i 。若所有分期付款的本金部分的现值之和为P 。求(Ia ) 的表达式。

5.13 某人有一笔55000的抵押贷款，每月末需偿还500.38，共需偿还n 年。每月复利一次的年名义利率为i 。借款人因故没有偿还第一期付款，但其余各笔均按时偿还了。由于没有偿还第一期付款，故在第n 年末还欠3077.94。试计算利率i 。

5.14 某人自2000年1月1日起以年实际利率5%偿还一笔20000元的30年期贷款，每年末偿还一次。该人自2010年1月1日起又以年实际利率7%偿还另一笔10000元的20年期贷款，也在每年末偿还一次。试计算在2010年偿还的两笔贷款的本金之和。

5.15 一笔50000的贷款分10次按年偿还。第一笔付款X 在贷款后6个月末支付，以后每隔一年偿还一次，每次的偿还金额均为2X 。假设前4.5年的年实际利率是5%，随后变为3%。试计算X 。

14

5.16 一笔1000元的贷款将以每月复利一次的名义利率12%计息，在6个月内的每月末分期偿还。前三次每次支付X ，后三次每次支付3X 。试求第三次支付的本金金额与第五次支付的利息金额。

5.17 一笔1000000元的30年期贷款将按月等额偿还，每月末偿还一次，每月复利一次的名义利率为X %。在第69期的还款额中，利息金额占94.473%, 在第70期的还款额中，利息金额占94.418%。 试求X 。

5.18 一笔1000元的30年期贷款按年分期偿还，每年末偿还一次，年实际利率为8%。前10期的偿还金额均等于应付利息，第11至20期的偿还金额等于应付利息的两倍，后10期的偿还金额等于X 。试求X 的值。

5.19 一笔15年期的贷款，年还款额为1000元，年实际利率为5%。在第5次还款之后调整了偿还方式。调整后，第6次偿还800元，第7次偿还（800+K ）元，以后每次付款比前一次均增加K ，还款期不变。求调整后的最后一次偿还额。

5.20 两笔金额相等的30年期贷款，均以8%的利率按年分期偿还，每年末偿还一次。贷款L 将等额分期偿还。贷款N 每期偿还的本金金额相等，同时根据未偿还本金余额支付相应的利息。在第t 年末，贷款L 的偿还额首次超过贷款N ，求t 。

5.21 一笔8000元的10年期贷款按年偿还，每年末偿还一次，年利率为7％。偿还4次以后，借款人要求分4次偿还剩余的债务。新的偿还方式使贷款人在整个8年期获得了8%的年收益率。试确定调整偿还方式以后，借款人增加了多少付款。

5.22 一笔100000元的30年期贷款，偿还方式满足下述条件：

（1）第一年末偿还X 元。

（2）后来的19年，每年末的偿还金额要比上一年增加100元。在最后十年，各年的偿还额保持在前一年的水平不变。

（3）年实际利率为5%。

求X 。

5.23 某人从银行获得一笔贷款，期限为4年，年实际利率为8%。借款人用偿债基金方法偿还，每年末支付的总金额（包括当期的利息和向偿债基金的储蓄两部分）依次为2000元，3000元，4000元，5000元，偿债基金的年实际利率为7%。试计算贷款本金为多少？

5.24 一笔10000元的贷款，期限为5年，年实际利率为8%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息800元，并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转4次利息的年名义利率为6%，试计算下列各项：

15

（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额；

（2）偿债基金在第2年末的余额；

（3）第2年末的贷款净额。

第6章 债券和股票

6.1 债券的面值为1000元，年息票率为5%，期限为5年，到期按面值偿还。假设现行的市场年利率为6%，试计算下列各项：

（1）债券的价格

（2）第二年末的账面值

（3）第二年的利息收入

债券的面值为1000元，息票率为6%，期限为5年，到期按面值偿还。投资者所要求的收益率为8%，试计算债券在购买9个月后的价格和账面值。 6.2

6.3

6.4

债券的面值为1000元，期限为5年，到期按面值偿还，年息票率为6%。如果发行价格为950元，试计算该债券的收益率。 假设6.3题中的息票收入只能按5%的利率投资，试重新计算该债券的收益率。

6.5 一种面值为100的100年期债券，到期按面值偿还。已知该债券第一个十年的年息票率为10%，第二个十年的息票率为9%，第三个十年的息票率为8%，…，最后一个十年的息票率为1%。如果年收益率为5%时，求该债券的购买价格。

6.6 一种在年末分红的股票，当年的利润为J ，利润在今后的每一年内都会以10%的速度增长，在接下来的五年内没有分红，五年后将每年利润的50%分红，如果实际收益率为21%，请计算投资者的理论购买价格。

16

6.7 一家公司利润的季度增长率为2%，每季度该公司打算拿出利润的30%作为股票的分红。在某个季度初，一个投资者购买了此公司的股票以获得10%的年收益率（每半年复利一次）。该股票的第一次分红是在该季度末，分红金额为3.00。请计算该股票的理论价格。

6.8

6.9 已知下述债券有相同的收益率且面值均为1000：

（1）一种10年期债券，年息票率为8%，每半年支付一次息票，债券的折价为X

（2）一种10年期债券，年息票率为9%，每半年支付一次息票，债券的溢价为Y

（3）一种10年期债券，年息票率为10%，每半年支付一次息票，债券的溢价为2X

请计算Y 的值。

一种n 年期附有8%年度息票率的债券，面值为1000。此债券在第三年末的账面值为1099.84，在第五年末的账面值为1082.27。求此债券的价格。

6.10 一个卖空的投资者以每股10的价钱出售500股股票。一年后，每股的价钱降到7.50，此时该投资者补进500股该股票。假设交易保证金为50%，保证金的利率为5%。该股票在每季度每股分红0.1。请计算该投资者卖空的收益率。

6.11 某投资者在年初购买了两种债券。债券X 是14年期的债券，面值为1000，年息票率为10%，年收益率为8%。债券Y 是14年期的债券，面值为F ，年息票率为6%，购买价格为P ，年收益率也为8%。在第六年，债券X 的账面调整值等于债券Y 的账面调整值（注：这里的账面调整值是指年初账面值和年末账面值之差的绝对值），请计算P 的值。

6.12 在2002年1月1日购买了一支普通股票，它将在2011年12月31日之前每年末分红15，从2012年开始，分红每年增加K %，K

6.13 一项面值为1000元的债券，年息票率为8％，每半年支付一次息票，到期偿还1100元。以价格P 购买此债券将产生6％的年收益率（每半年复利一次）。偿还值的现值为190，求价格P 。

6.14 三种债券有同样到期偿还值和到期时间。第一种债券的年息票为40，以价格P 出售；第二种债券的年息票为30，以价格Q 出售；第三种债券的年息票为80。所有的价格计算都基于相同的收益率，并且所有的息票具有相同的支付频率。求第三种债券的价格。

17

6.15 一项10年期债券的面值为1000元，年息票率为r ， 每年末支付一次息票，偿还值为1100。如果以价格P 出售，将产生4％的年实际收益率；如果以价格（P − 81.49）出售，将产生5%的年实际收益率; ；如果以价格X 出售，将产生 r 的年实际收益率。请计算X 。

6.16 债券的面值为10000元，年息票率为6％，每半年末支付一次息票。债券在到期前2年零4个月被出售。售价将使购买者获得4％的年名义收益率（每半年复利一次）。请确定理论方法和半理论方法计算的债券价格差异。

6.17 债券的期限为20年，面值为1000元，在每年末支付息票，到期偿还1050。如果以价格P 出售可以产生8%的年实际收益率。第一次支付的息票为50，以后每次支付的息票比上一次增长3％。求价格P 。

6.18 投资者购买了一个面值为1000元的10年期债券，息票率为8％，每半年末支付一次息票。如果债券在到期时按面值偿还，将产生7％的名义收益率（每半年复利一次）。如果债券在第5年末被赎回，为了保证产生相同的收益率，最小的赎回值为X 。求X 。

第7章 远期、期货和互换

7.1 假定X 公司的股票是60元并且不派发股利，年实际利率是10%。请画出该股票多头的回收图和盈亏图。并请验证如果1年后的股票价格是66元，则盈亏为零。

7.2 应用7.1题的信息，画出该股票空头的回收图和盈亏图。请验证当一年后的价格是66元时，盈亏为零。

7.3 假定A 公司的股票今天是105元，并且预期每季度派发股利1.70元，第一次是在3个月以后，最后一次恰在交割股票前。无风险连续复利利率是

1.5%。如果要求现在支付远期合约的价格，请计算该股票一年期的远期价格（即预付远期的价格）是多少？

7.4 如果股票的价格是105元，每日复利一次的年名义收益率是2%，日股利是多少？如果我们在年初持有一单位股票，假设股利收益全部再投资于该股票，年末将会持有多少单位的股票？如果想在年末持有一单位股票，那么在年初我们应该投资多少？

7.5 股票的价格是70元，连续复利率是6%。（1）如果股利为零，6个月期的远期价格是多少？（2）如果1年期的远期价格是72元，年度的连续股利 18

收益率是多少？

7.6 X 公司股票的现货价格是105元，无风险连续复利利率是6%，该股票在未来一年没有分红。针对下列两种情况，你将如何进行套利？

（1）假定你观察到6个月的远期价格是115元。

（2）假定你观察到6个月的远期价格是107元。

7.7 如果1年期和2年期的远期石油价格分别为23美元/桶和24美元/桶，且1年期和2年期的即期利率分别是5% 和5.5%。则2年期的互换价格是多少？

7.8 如果1年期、2年期和3年期的石油远期价格分别是每桶22美元、23美元和24美元。即期利率分别为：1年期5%，2年期5.5%，3年期6%。请计算：（1）3年期的互换价格是多少？（2）开始于一年后的一个2年期的互换价格是多少？

7.9 考虑7.8中3年期的石油互换。如果一个交易商支付固定价格并收到浮动价格。在这个仓位中，什么样的石油远期合约将对石油价格风险套保？请验证锁定的净现金流的现值为零。

7.10 在7.9题中，如果作为固定价格的支付者，在第一次互换结算后相对于远期价格多支付了多少？第二次互换结算后累积多支付了多少？第三次后呢？

第8章 期权

8.1

8.2

8.3 假定一份1年期的远期合约，价格是60元。1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少？ （2）假定买进一份1年期的执行价格是60元的看涨期权，如果1年后标的资产具有和上面同样的价格时，该看涨期权的回收是多少？ （1）假定在远期价格是60元时做空一份远期，那么1年后当股票价格分别是50元、55元、60元、65元和70元时的回收各是多少？ （2）假定买进一份1年期的执行价格是60元的看跌期权，如果1年后标的资产具有和上面同样的价格，该看跌期权的回收是多少？ 假定X 公司的股票不派发股利且现在的价格是60元。1年后交割的远期价格是63元。如果买进股票或远期合约都没有什么好处，那么1年期的实 19

际利率是多少？

8.4 假定股票的当前价格是105元，年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图：

(1)期权费为8.57元，执行价格为100元的看涨期权。

(2)期权费为5.67元，执行价格为105元的看涨期权。

(3)期权费为3.53元，执行价格为110元的看涨期权。

8.5 假定股票的当前价格是105元，年实际利率为6%。请计算并画出以下期权的回收图和盈亏图：

(1)期权费为0.98元，执行价格为100元的看跌期权。

(2)期权费为2.71元，执行价格为105元的看跌期权。

(3)期权费为5.20元，执行价格为110元的看跌期权。

8.6 以100元买进A 公司股票，同时买进一个执行价格为105元的1年期的看跌期权，看跌期权的期权费为7.20元，实际年利率是5%。试计算此仓位的回收和盈亏。

8.7 以105元做空A 公司的股票，并卖出一个执行价格为105元的1年期的看跌期权，该期权的期权费为7.20元，实际年利率是5%。试计算此仓位回收和盈亏。

8.8 年实际利率是5%，A公司股票的1年期的远期价格是105元，1年后到期的股票的期权费如下表：

执行价格 看涨期权 看跌期权

95 10.45 0.93

100 8.11 3.35

105 7.20 7.20

110 5.12 9.88

115 3.60 13.12

假定以100元买进A 公司的股票，并买进一个执行价格为95元的看跌期权，构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证：用90.48元购买零息债券，并买进一个执行价格为95元的看涨期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。

8.9 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票，并买进一个执行价格为95元的看涨期权，请构造这个仓位的回收和盈亏表。请验证：借入90.48元，并买进一个执行价格为95元的看跌期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。

20

8.10 应用8.8题的有关数据。假定以100元做空A 公司的股票，并买进一个执行价格为105元的看涨期权，请构造这个仓位的回收表和盈亏表。请验证：借入100元，并买进一个执行价格为105元的看跌期权，可以得到与前述仓位相同的回收和盈亏。

8.11 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收：（1）以100元买进A 股票；（2）买进一个执行价格为95元的A 股票的看涨期权，卖出一个执行价格为95元的看跌期权，并贷出90.48元。

8.12 应用8.8题的有关数据。请验证下面两笔交易具有相同的盈亏和回收：（1）以100元做空A 股票；（2）卖出一个执行价格为105元的A 股票的看涨期权，买进一个执行价格为105元的看跌期权，并借入100元。

8.13 应用8.8题的有关数据。假定1年期的看涨期权的期权费是9.31元，在相同执行价格上的看跌期权的期权费是1.69元，试求这个执行价格是多少？

8.14 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的股票看涨期权，并卖出一个执行价格为100元的股票看涨期权，请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证：买进一个执行价格为95元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为100元的看跌期权可以得到相同的盈亏。看涨期权和看跌期权的差价组合的回收之差是如何产生的？

8.15 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为105元的股票看涨期权，并卖出一个执行价格为95元的股票看涨期权，请构造该投资策略的回收图和盈亏图。请验证：买进一个执行价格为105元的股票看跌期权和卖出一个执行价格为95元的看跌期权可以得到相同的盈亏。这些仓位的初始成本之差是多少？

8.16 应用8.8题的有关数据。假定买进一个执行价格为95元的看跌期权和卖出一个执行价格为105元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。净期权费是多少？如果要在保持看跌期权的执行价格为95元时构造一个零成本的衣领，应该如何改变看涨期权的执行价格？

8.17 应用8.8题的有关数据。如果投资100元在A 股票上，买进一个执行价格为95元的看跌期权并卖出一个执行价格为115元的看涨期权。画出这个仓位的盈亏图。如何变化可以实现一个零成本衣领？

8.18 应用8.8题的有关数据。计算并画出下列仓位的盈亏图：

（1） 执行价格为105元的A 股票跨式；

（2） 签出执行价格为95元的A 股票跨式；

（3） 同时执行（1）和（2）交易。

21

8.19 应用8.8题的有关数据。买进一个执行价格为95元的看涨期权和卖出一个执行价格为100元的看涨期权，卖出一个执行价格为95元的看跌期权和买进一个执行价格为100元的看跌期权。

（1） 验证这一系列交易不存在A 股的价格风险；

（2） 这个仓位的初始交易成本是多少？

（3） 1年后该仓位的价值是多少？

8.20 应用8.8题的有关数据。计算下列比率差价组合的盈亏：

（1） 买进一个执行价格为95元的看涨期权，卖出两个执行价格为105元的看涨期权。

（2） 买进两个执行价格为95元的看涨期权，卖出三个执行价格为105元的看涨期权。

（3） 买进n 个执行价格为95元的看涨期权和卖出m 个执行价格为105元的看涨期权，使得该仓位的期权费为零，这时n/m满足什么条件？

8.21 应用8.8题的有关数据。计算并分别画出下列交易的盈亏图：

（1） 买进一个95元的看涨期权，卖出两个100元的看涨期权，买进105元的看涨期权。

（2） 买进一个95元的看跌期权，卖出两个100元的看跌期权，买进105元的看跌期权。

（3） 买进股票，买进95元的看跌期权，卖出两个100元的看涨期权，买进105元的看涨期权，其中股票的价格是90.47元。

从盈亏图中可以看出上述交易组合是哪种衍生产品？

8.22 假设股票没有红利支付，股票的现价为50元，该股票欧式看跌期权的执行价格为50元，有效期为3个月，无风险年收益率为10％，年波动率为30％。请计算该股票欧式看跌期权的价格。

8.23 在8.24题中，如果股票在两个月后预期支付的红利为1.5元，请重新计算该股票欧式看跌期权的价格。

8.24 一个无红利股票的欧式看跌期权，有效期为3个月，目前的股票价格和执行价格均为50美元，无风险年利率为10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。

8.25 一个两个月期基于某股票指数的欧式看涨期权，执行价格为500，目前的指数为495，无风险年利率为10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树树图，为期权定价。

22

第9章 利率风险

9.1 假设n 年期债券的年名义息票率等于年名义收益率，均为y (m ) 。 ，请证明该债券的马考勒久期为MacD =a (m )

9.2 某15年期的零息债券到期支付1000，该债券每月复利一次的年名义收益率为12%。试计算该债券的修正久期。

9.3 假设年实际收益率为10%，试计算5年期零息债券的修正久期。

9.4 已知年息票率为5％的10年期债券的年实际收益率为6％， 试计算该债券的修正久期。

9.5 已知年息票率为6%的四年期债券的实际收益率为3%，试计算该债券的修正久期。

9.6 某20年期的零息债券到期支付1000，该债券的年名义收益率为12%，每年复利2次。试计算该债券的修正久期。

9.7 某2年期债券年息票率为10%，每半年付息一次，债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为12%，每年复利2次，试计算该债券的修正久期。

9.8 某30年期债券年息票率为8%，每半年付息一次，债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为8%，每年复利2次。试计算该债券的修正久期。

9.9 已知当收益率为8%时，某20年期债券的价格为125.31。当收益率下降为7.75%时，该债券的价格将上升至127.64。当收益率上升至8.25%时，该债券的价格将降为122.95。试计算该债券的有效久期。

9.10 已知某10年期债券的价格为75.98，年息票率为6%，收益率为8%，马考勒久期为8.517。试计算当收益率下降为7.85%时该债券的价格。

9.11 某5年期债券年息票率为8.0%，每半年付息一次。已知现在的收益率为7.0%时，债券的价格为104.876。当收益率上升50个基点时，该债券的价格将下降为100.214. 。当收益率下降50个基点时，该债券的价格将上升为109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。

23

9.12 利用习题9.11计算得到的有效久期和有效凸度，试估计当收益率上升100个基点时债券的新价格。

9.13 一项永续年金在每年年末支付1，年实际收益率为6%，试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。

9.14 某10年期债券的修正久期为8.67，凸度为43.51。试估计当债券价格上升50个基点时，债券价格变化的百分比。

9.15 某保险公司已确认在10年末将有一笔15000元的债务支出，为了偿还这笔负债，该公司计划将3473.95元投资于5年期的零息债券，将3473.95元投资于15年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。

9.16 某保险公司已确认在5年末将有一笔20000的债务支出，为了偿还这笔负债，该公司可供选择的投资方案只有购买4年期零息债券和10年期零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为10%。为了达到免疫的目的，该公司应如何分配在这两种债券上的投资？

9.17 公司未来负债的现金流如下表所示：

年度 1 2 3 4 5

1794 6744 144 3144 负债的现金流 824

可供该公司投资的资产如下：

（1）年息票率为5％的1年期债券；

（2）年息票率为10％的2年期债券；

（3）年息票率为4％的4年期债券；

（4）年息票率为3％的5年期债券；

每种债券的面值均为100元，年实际收益率为5％。

如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险，请计算应该如何购买这三种债券？

24

第10章 利率的期限结构

10.1 假设各债券的面值均为100元，收益率与息票率如下表所示，请计算各债券的价格。

到期日 年息票率 实际年收益率

1 11.00% 8.00%

2 5.00% 9.00%

3 15.00% 10.00%

10.2 给定以下各年的即期利率。请计算年息票率为10%，面值为100元的3年期债券的价格。

时间实际年即期利率1 5.000%

2 6.000% 3 8.000%

10.3 根据题10.1的收益率曲线，计算1年、2年和3年期的年即期利率。

10.4 根据题10.3计算的即期利率，请计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0、f 1、f 2。

10.5 假设5年期的即期利率为r 5 = 8%，请根据下表的收益率曲线，计算每年支付40元的5年期期初付年金的现值。

到期日年息票率 年实际收益率

1 5.000% 4%

2 7.000% 5%

3 8.000% 5.5%

4 6.000% 6%

5 10.000% 7%

10.6 给定以下远期利率表。求年息票率为10%，面值为100元的3年期债券的价格。

t f t 0 7%

25

1 5% 2 10%

10.7 由下表所示的平价收益率曲线，计算可应用于第1、2、3年的远期利率f 0, f 1, f 2。

到期日年息票率 实际的年收益率

1 4.000% 5.000%

2 6.000% 7.000%

3 8.000% 9.000%

10.8 根据下表给定的远期利率，请计算1年、2年和3年期的即期利率。

t f t 0 6.000%

1 5.000% 2 10.000%

10.9 下表是3个支付年息票债券的收益率，年息票率未知。请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。

到期日 年息票率 实际年收益率

1 x 20%

2 y 20%

3 z 20%

10.10 利用题10.9的信息，计算可应用于第1，2，3年的远期利率f 0、f 1、f 2。

10.11 支付年息票债券的价格如下表所示，请计算年息票率为15%，面值为100元的3年期债券的价格。

到期日 年息票率 100元面值债券的价格

1 10.000% 106

2 5.000% 95

3 9.000% 102

10.12 假设5个零息票债券的价格如下表所示，请确定适用于3到4年的实际年远期利率f 3的值。

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到期日每100元面值债券的价格1 96

2 91

3 82

4 75 5 65

10.13 假设1年期的即期利率为5%。适用于1到2年的远期利率f 1为7%。支付年息票的3年期的平价债券的实际年收益率为8%。求3年期的即期利率。

10.14 年息票率为6%的2年期债券的实际年收益率为10%，其面值为100元。1年期的即期利率为7.0%，2年期的即期利率为9.0%。请确定一个投资策略，使得通过买入或卖出1个该2年期债券获得无风险的套利收益。

10.15 年息票率为12%的1年期债券的实际年收益率为12%。年息票率为10%的2年期债券的实际年收益率为15%。各债券的面值均为100元。

（1）请计算2年期的即期利率r 2。

（2）某投资者希望按（1）中计算的即期利率r 2投资1000元，投资期限为两年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构，请问如何通过买入或卖出上述1年期和2年期的债券实现投资者的目标收益。

10.16 假设题10.15中的投资者找到了愿意接受1000元两年期投资的机构，且该机构愿意为这项两年期投资支付20%的利率。由题10.15计算的2年期即期利率，投资者意识到存在套利机会。投资者找不到一个机构愿意按题10.15计算的2年期即期利率提供贷款，但可以买入或卖出前述的1年期和2年期债券。请确定一个投资策略，使得投资者可以获得35元的套利收益。

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