正项级数的又一审敛法
一类特殊的正项级数收敛性的判别方法
车茂林
(内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112) 1
摘 要:对柯西根式判别法作出相应的补充, 得到一种新的审敛法. 关键词:正项级数; 收敛; 发散
引 言
在正项级数敛散性判定定理的研究中, 许多数学分析
[1-3]
和微积分教程
[4-5]
中都提及到柯
西根式判别法. 由于其简洁、独立的特点, 成为解题首选的方法之一. 但是, 在解决某些特殊的正项级数时, 可以通过适当的变形, 使命题的求解更加简化. 本文结合已有的柯西根式判别法以及某些相关知识, 对柯西根式判别法进行推广, 进而得到了一种新的审敛法.
引理1(比较原则):设
[1]
∑u
n =1
∞
n
和
∑v
n =1
∞
n
是两个正项级数, 如果存在某正数N , 当
∀n >N 时都有:
u n ≤v n ,
则 (1) 若级数
∑v
n =1∞
∞
n
收敛, 级数
∑u
n =1∞
∞
n
也收敛;
(2) 若级数
∑u
n =1
n
发散, 级数
∞
∑v
n =1
n
也发散.
引理2:若级数
[1]
∑u
n =1
n
收敛, 则
lim u
n →∞
n
=0.
1
车茂林(1989-),男,汉,四川达州人,内江师范学院数学与信息科学学院本科生.
结论及应用
定理
定理1:设
∑u
n =1
∞
n
是正项级数, 若∃N ∈N +,
1
∞
1n
(1) 当n >N 时, 如果∃a ∈R , 有(-a ) ≥l >1成立, 则级数∑u n 收敛.
u n n =1∞1n
(2) 当n >N 时, 如果∃a ∈R , 有(-a ) ≤1成立, 则级数∑u n 发散.
u n n =1
∞
1
证明:(1)由于子成立:
∑u
n =1
n
是正项级数, 则u n >0. 又因为∃N ∈N +, 当n >N 时, 有如下式
1
(-a ) n ≥l >1. u n
取a =1, 整理可得:
1
u n ≤
∞
1
, l >1. n
l +1
而当l >1时, 级数
1
是收敛的, 故由引理可知: ∑n
l +1n =1
1
∞1n
当n >N 时, 如果有(-a ) ≥l >1成立, 则级数∑u n 收敛.
u n n =1
∞
(2) 由于立:
∑u
n =1
n
是正项级数, 则u n >0. 又因为∃N ∈N +, 当n >N 时, 有如下式子成
1
(-a ) n ≤1. u n
取a =1, 整理可得
1
u n ≥
由于数列{u n }的极限
1. 2
lim
n →∞
u n ≥
1
≠0, 有级数收敛的必要条件可得: 2
∞
1n
当n >N 时, 如果有(-a ) ≤1成立, 则级数∑u n 收敛.
u n n =1
∞
1
定理2:设
∑u
n =1
n
是正项级数, 如果∃a ∈R , 有:
1
lim
n →∞
1
(-a ) n =r u n
成立. 则当r >1时, 级数
∑u
n =1
∞
n
收敛; 当r
1
∑u
n =1
∞
n
发散.
证明:由于
lim
n →∞
1
(-a ) n =r 成立, 则由极限的定义可得: u n
1
1
∀ε>0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|(-a ) n -r |
u n
取a =1, 整理得:
1
r -ε
u n
1
则当r >1时, 得r -ε>1, 从而得到(-1) n >r -ε>1, 由定理1即可得证此命题的前半
u n
部分. 同理可证当r
综上所述:命题2得证. 定理3:设
1
1
∑u
n =1
∞
n
发散.
∑u
n =1
∞
n
是正项级数, 如果∃a ∈R , 有:
1(-a ) n =r lim ______u n
n →∞
1
成立. 则当r >1时, 级数
∑u
n =1
∞
n
收敛.
1
1
证明:由于lim (-a ) n =r , 而对于任意数列{a n }, 有下列式子成立
______u n
n →∞
lim a
_____n →∞
n
≤lim a n ≤lim a n .
n →∞
n →∞
_____
则有
lim
n →∞
1
(-1) n ≥r . u n
1
(-a ) n =b , 其中b ≥r . 而r >1, 则由上述定理2结论的前半部分即可得u n
∞
1
1
令证.
lim
n →∞
定理4:设
∑u
n =1
n
是正项级数, 如果∃a ∈R , 有:
1
lim
n →∞
______
1
(-a ) n =r u n
成立. 则当r
∑u
n =1
∞
n
发散.
1
证明:由于
lim
n →∞
______
1
(-a ) n =r , 而对于任意数列{a n }, 有下列式子成立 u n
lim a
_____n →∞
n
≤lim a n ≤lim a n .
n →∞
n →∞
_____
则有
lim
n →∞
1
(-a ) n ≤r . u n
1
(-a ) n =b , 其中b ≤r . 而r
1
1
令证.
lim
n →∞
案例分析
1
的敛散性. ∑n
n =1e +1
1
∞
案例1:证明级数
11
证明:设u n =n . 取a =1, 则lim (-1) n =e >1. 故由上述定理2可得级数
e +1n →∞u n
1
收敛. ∑n
e +1n =1
∞
案例2:证明级数
∑
∞
1
n =11n
() +1e
的敛散性.
证明:设u n =
11
() n +1e
. 取a =1, 则
lim
n →∞
11
(-1) n =
1
∑
∞
1
n =11n
() +1e
发散.
定理说明
本文得到了在柯西判别法的一类推广情况, 使柯西判别法的应用更加的灵活. 在上述定理的应用过程中, 涉及到数列极限的求解问题, 因而具有较强的综合性.
参考文献
[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001. [2] 朱培勇等. 数学分析 [M].成都:四川大学出版社,2002. [3] 徐茂森等. 数学分析 [M].北京:清华大学出版社,2007. [4] 韩云瑞等. 微积分教程[M].北京:清华大学出版社,2007.
[5] Г. М. 菲赫金哥尔茨著 杨弢亮, 叶彦谦译. 微积分学教程[M].北京:高等教育出版社,2006.