第6讲定积分的简单应用
第6讲 定积分的简单应用
第一部分 知识梳理
1.作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分,即sb
av(t)dt。
2.物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a
第二部分 精讲点拨
考点1.定积分的几何应用 baF(x)dx。
yx3,曲线 yx6x
13所围成图形的面积 (1)计算由直线 S。
[EX.1]如图所示,阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
C.[f(x)- g ( x )]dx B. dg(x)x D.[ g ( x ) -f(x)]dx 2
考点2.定积分在物理中的应用之变速直线运动
(2)一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示.求汽车在这1 min 行驶的路程。
[EX.2]一物体沿直线以v=2t+3(t的单位:s,v的单位m/s)的速度运动,求该物体在3---5s行进的路程。
考点3.定积分在物理应用之变力做功
(3)在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处,求克服弹力所作的功.
如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功多少?
[EX.3]一物体在力F(x)=3x+4(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力相同的方向从x=0处运动到x=4处,求力F(x)所做的功。
第三部分 过关检测
一、选择题
1.如图所示,阴影部分的面积是(
)
A.3
323
2 B.23 35 D. 32.由曲线y=x-1、直线x=0、x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x-1)dx
B.(x-1)dx|
C.|x-1|dx
D.(x-1)dx+(x-1)dx
3.设f(x)在[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成图形的面积为( )
A.f(x)dx
C.|f(x)|dx
1624.曲线y=1-与x轴所围图形的面积是(
) 81 B.|f(x)dx| D.以上都不对 22222
A.4
C.2
2 B.3 5 D. 2 5.一物体以速度v=(3t+2t)m/s做直线运动,则它在t=0s到t=3s时间段内的位
移是( )
A.31m
C.38m
2 3 B.36m D.40m 6.由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为( )
A.1 12
1B. 4D.7121C. 3
7.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为( )
A.8J
C.12J
[答案] D
8.若某产品一天内的产量(单位:百件)是时间t的函数,若已知产量的变化率为a=3
6t,那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) 1A. 23B.3-2 2
D.6-2 B.10J D.14J C.6+32
9329.过原点的直线l与抛物线y=x-2ax(a>0)所围成的图形面积为a,则直线l的方2
程为( )
A.y=±ax
C.y=-ax B.y=ax D.y=-5ax
10.物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动,则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是
( )
A.31m B.36m C.38m D.40m
二、填空题
11.由曲线y=2x,y=x-4所围图形的面积是________。 12.一物体沿直线以v1+tm/s的速度运动,该物体运动开始后10s内所经过的路程是________。 2
12213.由两条曲线y=x,y与直线y=1围成平面区域的面积是________。 4
a (1≤t≤2)14.一变速运动物体的运动速度v(t)=bt2≤t≤e)t2t (0≤t≤1)
则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位:m/s,时间单位:s)______________________。
三、解答题
15.计算曲线y=x-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积。
16.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若直线x=-t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求2t的值。
17.A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点的速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:
(1)A、C间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间。
18.以初速度40m/s垂直向上抛一物体,ts时刻的速度(单位m/s)为v=40-10t,问多少秒后此物体达到最高,最大高度是多少?
19.物体A以速度v=3t+1(t的单位:s,v的单位m/s)在一直线上运动,在此直线上与物体A出发的同时,物体B在物体A的前方5米处,以v=10t的速度与A同向运动,两物体何时相遇?相遇时与物体A的出发地的距离是多少?
20.一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度(t的单位:s,v的单位m/s)紧急刹车至停止,求:v(t)=5-t+
(1)、从开始刹车到完全停止所经过的时间。
(2)、紧急刹车后火车行驶的路程。
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