第一章 半导体的物质结构和能带结构
第一章 半导体的物质结构和能带结构
1、参照元素周期表的格式列出可直接构成或作为化合物组元构成半导体的各主要元素，并按共价键由强到弱的顺序写出两种元素半导体和八种化合物半导体，并熟记之。
共价键由强到弱的两种元素半导体，例如：Si，Ge
共价键由强到弱的八种化合物半导体：例如：SiC，BN，AlN，GaN，GaAs，ZnS，CdS，HgS
2、何谓同质异晶型？举出4种有同质异晶型的半导体，并列举其至少两种异晶型体的名称和双原子层的堆垛顺序。
答：化学组成完全相同的不同晶体结构称为同质异晶型。
1． SiC，其多种同质异型体中，3C-SiC为立方结构的闪锌矿型晶格结构，其碳硅双原子层
的堆垛顺序为ABCABC⋅⋅⋅；而2H-SiC为六方结构的纤锌矿型晶格结构，其碳硅双原子层的堆垛顺序为ABAB⋅⋅⋅；4H-SiC为立方与六方相混合的晶格结构，其碳硅双原子层的堆垛顺序为ABACABAC⋅⋅⋅
2． GaN，有闪锌矿结构和纤锌矿结构两种同质异型体，闪锌矿结构的Ga-N双原子层的堆
垛顺序为ABCABC⋅⋅⋅；而纤锌矿结构的Ga-N双原子层的堆垛顺序为ABAB⋅⋅⋅；
3． ZnS，有闪锌矿结构和纤锌矿结构两种同质异型体，闪锌矿结构的Zn-S双原子层堆垛顺
序为ABCABC⋅⋅⋅；而纤锌矿结构的Zn-S双原子层堆垛顺序为ABAB⋅⋅⋅；
4． ZnSe，有闪锌矿结构和纤锌矿结构两种同质异型体，闪锌矿结构的Zn-Se双原子层堆垛
顺序为ABCABC⋅⋅⋅；而纤锌矿结构的Zn-Se双原子层堆垛顺序为ABAB⋅⋅⋅；
3、室温下自由电子的热速度大约是105m/s，试求其德布洛意波长。 解：该自由电子的动量为：
p=m0v=9.11⨯10-31⨯105=9.11⨯10-26kg⋅m/s
由德布洛意关系，可知其德布洛意波长
1h6.625⨯10-34λ====7.27⨯10-9=7.27nm -26
kp9.11⨯10
4、对波矢为k的作一维运动的电子，试证明其速度
υ=
1dE(k) dk
解：能量E和动量P波频率ν和波矢k之间的关系分别是：
E=hν= ω； P= k
根据能量和动量的经典关系：
1
P=m0v,E=m0v2
2
2k
由以上两个公式可得：E=
2m0
dE(k)η2kηk1dE(k)
=对这个结论求导可得：，进一步得： =dkm0m0ηdk
根据动量的关系：P=ηk=m0v可得：v=
2
ηk
m0
=
1dE(k)
ηdk
5、对导带底电子，试证明其平均速度和受到外力f 作用时的加速度可分别表示为
* 和 * υ= k/mna=f/mn
解：将E（k）在k=0出按泰勒级数展开取至k项，得到
2
dE1d2E
E(k)=E(0)+()k=0k+(2)k=0k2+....
dk2dk
因为，k=0时能量取极小值，所以(dEdk)k=0=0，因而
1d2E
E(k)-E(0)=(2)k=0k2
2dk
1d2E1
令2(2)k=0=*代入上式得
dkmn
2k2
E(k)-E(0)= *
2mn
根据量子力学概念，波包中心的运动速度为
v=
dω dk
式中，k为对应的波矢。由波粒二象性，角频率为ω的波，其离子的能量为 ω，代入
上式，得到半导体中电子的速度与能量的关系为
v=
1dE
dk
2k2dE 2k
=根据式E(k)-E(0)=求导得代入上式得 *
dkm*2mn
v=
k
*mn
当有场强为ε的外电场时，电子受到f=-qε的力，电子有一段位移ds外力对电子做的
功等于能量的变化，即
dE=fds=fvdt=
有此公式可得
fdE
dt dk
f=
dk dt
上式说明，在外力f的作用下，电子的波矢k不断变化，其变化率与外力成正比。其加
速度为
dv1ddE1d2Edkfd2E
a==()==
dt dkdk dk2dt 2dk2
1d2E1
利用公式2(2)k=0=*可得
dkmn
2
m=2
dEdk2
*n
因此加速度
a=
f *mn
6、对图示两个抛物线型的空穴E-k关系，试以自由电子质量为单位确定其有效质量。
解：根据价带顶得E-k关系:
2k2
E(k)-E(0)=-
2m*p
由图中的两个抛物线形状可以得到两个E-k关系式的标准式为：E=Ak
对于实线，带入图中坐标得A=100EV-8。 对于虚线，带入图中坐标得A=100EV-40。 因此对比标准的E-k关系式得
2
2
对于实线，m=-
200EV-16
*p
2
对于虚线，m=-
200EV-80
*p
7、参照图1.9，如果平衡态原子间距a0
因某种原因产生微小变化，材料的电学特性会发生
何种改变？
解：因为如果a0变小，轨道杂化就会变得越明显，同时原子间共有化运动也会越剧烈，因此导电性变强，反之亦然。
8、根据式（1-27）及所附参数绘制Si在0≤T≤600K温区Eg与T的关系曲线，标出Eg的室温值。
解：Si的Eg随温度变化的规律可以表示为：
αT2
Eg(T)=Eg(0)-
T+β
式中Eg(0)=1.17ev，α=4.73×10-4 eV/K，β=636K 当T=50K时，带入数值可得Eg(50)=1.1683ev 当T=100K时，带入数值可得Eg(100)=1.1636ev 当T=150K时，带入数值可得Eg(150)=1.1565ev 当T=200K时，带入数值可得Eg(200)=1.1474ev 当T=250K时，带入数值可得Eg(250)=1.1366ev 当T=300K时，带入数值可得Eg(300)=1.1245ev 当T=350K时，带入数值可得Eg(350)=1.1112ev 当T=400K时，带入数值可得Eg(400)=1.0969ev 当T=450K时，带入数值可得Eg(450)=1.0818ev 当T=500K时，带入数值可得Eg(500)=1.0659ev 当T=550K时，带入数值可得Eg(550)=1.0494ev 当T=600K时，带入数值可得
Eg(600)=1.0322ev
由图可知，在T=273K时Eg=1.13ev
9、将原子设想成半径为r的实心小球，最近邻原子之间的距离为2r，由此计算一个金刚石晶胞中原子实际占有空间的百分比（占空比），以此说明半导体掺杂的可能性。 解：设金刚石晶胞的边长是a
根据几何关系可知：3a=8r。可得a=
8r 3
又因为一个金刚石晶胞中有8个原子。因此可得：
43
πr⨯8占空比==34.01% 8r3()因为金刚石晶体的原子占空比只有34.01%，还有近2/3的空隙，这就说明半导体中可以存在填隙式掺杂。半导体中还有另一种掺杂方式即替位式掺杂。
10、以Si在GaAs中的行为为例说明IV族杂质在III-V族化合物中的双性掺杂行为，并据此对下图所示的砷化镓中电子密度与硅杂质浓度的非线性关系作出合理解释。
答：由于III－V族化合物半导体的两种构成元素的价电子数分别为3和5，因而价电子数为
4的
IV族杂质占据III族原子位置时多余一个电子而具有施主行为，占据V族原子位置时则欠缺一个电子而具有受主行为。以硅为例，当Si替代Ga原子时起施主作用，替代As原子时起受主作用。
图中之所以出现非线性关系，是因为双性掺杂行为导致的。当硅杂质充当施主杂质时，会施舍一个电子从而使电子密度增加，而当硅杂质充当受主杂质时，会接受一个电子，从而使电子密度降低。由于硅杂质是充当施主杂质还是受主杂质不确定，因此硅杂质可能会施舍电子，也可能接受电子，这样就会呈现砷化镓中电子密度与硅杂质浓度的非线性关系。
11、InSb的相对介电常数εr=17，电子有效质量mn*=0.015m0（m0为电子惯性质量）求①施主杂质电离能；②施主的弱束缚电子基态轨道半径。 解：①利用氢原子基态电子的电离能
m0q4
E0=E∞-E1=22=13.6eV
8ε0h
可将计算浅施主杂质电离能的类氢模型表示为
*4*mnqmnE0
∆ED=222=2
8εrε0hm0εr
带入InSb的相关数据mn*=0.015m0和εr=17，即得
∆ED=0.015⨯
②利用氢原子基态电子的轨道半径
13.6
=0.012eV 17
ε0h2
r0==52.9⨯10-12m 2
πm0q
可将浅施主杂质弱束缚电子的基态轨道半径表示为
ε0εrh2m17rn==εror=⨯52.9⨯10-12=6⨯10-8m=60nm
*2*0
πmnqmn0.015
1）表中哪些杂质属于双性杂质？
2）表中还有哪些杂质可能跟这些杂质一样起双重作用，未发现其双重作用的可能原因是什么？
3）Mg在GaN中起施主作用的电离能为什么比Si、C施主的电离能大，且有两个不同值？
4）Ga取N位属何种缺陷，有可能产生几条何种能级，其他能级观察不到的可能原因是什么？
5）试针对此表再提出两个问题并解答之。
答：1）按表中所列，Si、C、Mg皆既为施主亦为受主，因而是双性杂质。
2）既然II族元素Mg在N位时能以不同电离能0.26eV和0.6eV先后释放其两个价电子，那么表中与Mg同属II族元素的Be、Zn、Cd、Hg似也有可能具有类似能力，I族元素Li更有可能在N位上释放其唯一的外层电子而起施主作用。现未发现这些杂质的施主能级，原因可能是这些元素释放一个电子的电离能过大，相应的能级已进入价带之中。
3）Mg在GaN中起施主作用时占据的是N位，因其外层电子数2比被其置换的N原子少很多，因此它有可能释放其它价电子，但这些电子已为它与最近邻Ga原子所共有，所受之约束比Si、C原子取代Ga原子后多余的一个电子所受之约束大得多，因此其电离能较大。当其释放了第一个电子之后就成为带正电的Mg离子，其第二个价电子不仅受共价环境的约束，还受Mg离子的约束，其电离能更大，因此Mg代N位产生两条深施主能级。
4）Ga取N位属反位缺陷，因比其替代的N原子少两个电子，所以有可能产生两条受主能级，目前只观察到一条范围在价带顶以上0.59eV~1.09eV的受主能级，另一能级观察不到的原因可能是其二重电离（接受第二个共价电子）的电离能太大，相应的能级已进入导带之中。（不过，表中所列数据变化范围太大，不合情理，怀疑符号~有误，待查。）
5）其他问题例如：
为什么C比Si的电离能高？答：因为C比Si的电负性强。
Li代Ga位应该有几条受主能级？答：Li比Ga少两个价电子，应该有两条受主能级。
13、同样是与GaP形成固溶体，为什么用禁带较窄的InP构成的GaInP所能达到的最宽直接禁带反而比用禁带较宽的GaAs构成的GaAsP所能达到的最宽直接禁带更宽？
答：这是由于禁带极值的位置造成的，虽然InP禁带较窄，但是其与GaP都是间接带隙，固溶体能带并非随组 分线性变化，更多是连续的非线性变化，所以并不能单单凭借组分禁带的宽窄来判断固溶体禁带的宽窄度。
14、为什么固溶体禁带宽度随组分比变化的曲线往往具有不圆滑的转折特征？
答：由于固溶体组分的禁带在X和L处极值之差造成的。例如Ge和Si的导带在X处的极小值能量相差不大，而在L处的极小值能量相差很大。随着Ge组分比的增加，Ge x Si l-x 固溶体的X极值下降不多，L极值下降却比较多，一直到x≈0.85左右才下降到与X极值齐平，所以会呈现不光滑的转折特性。
15、参照图1-25和表1-6，分别用窄禁带化合物和窄禁带固溶体设计两种超晶格
答：1)GaAs禁带宽度为Eg=1.424eV，晶格常数为0.56535nm，选择晶格常数接近的AlAs有较小的失配数，AlAs晶格常数为0.56614nm，固溶体Al x Ga 1-x As的禁带宽度为Eg=1.424+1.247x
2)同样的道理可选择:InAs和GaSb或Ga x In 1-x As和GaAs y Sb 1-y
16、参照图1-30，在超晶格的微带效应中，导带底电子的有效质量有无变化，如何变化？
答：微带效应引起的能带结构变化不仅是能带分裂，还有第一子能带带底的提升。如果被分裂的这个能带是势 阱层材料的导带，第一子能带带底的提升即意味着势阱层材料导带
2
底的提升，也即其禁带的展宽。由于带底电子有效质量m 2所以在超晶格的微带效
dEdk2
*n
应中，导带底电子的有效质量变大了。