塑性变形理论

第2章 金属塑性变形的物性方程

物性方程又称本构方程，是σ-ε关系的数学表达形式。弹性变形阶段有广义Hooke 定律，而塑性变形则较为复杂。在单向受力状态下，可由实验测定σ-ε曲线来确定塑性本构关系。但在复杂受力情况下实验测定困难，因此只能在一定的实验结果基础上，通过假设、推理，建立塑性本构方程。为了建立塑性本构方程，首先需弄清楚塑性变形的开始条件——屈服，以及进入塑性变形后的加载路径等问题。

§2.1 金属塑性变形过程和力学特点

2.1.1 变形过程与特点

以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特

点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀

塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视σs 为

弹塑性变形的分界点。当σ

在统一的关系，即σ=E ε。

当σ≥σs 以后，变形视作塑性阶段。

σ-ε是非线性关系。当应力达到σb 之后，

变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。σb

点的力学条件为d σ=0或d P =0。经短暂的不

图2-1 应力应变曲线 稳定变形，试样以断裂告终。

若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一

部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段σ-ε呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的σ-ε关系是塑性变形的两个基本特征。

由于加载、卸载规律不同，导致σ-ε关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的σ-ε关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。

事实上，σ>σs 以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g 点为例，若卸载则σ-ε关系为弹性。卸载后再加载，只要σσs ，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。

在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩σs 与拉伸σs 基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger 效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger 效应。

Bridgman 等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：

静水压力只引起

物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。

2.1.2 基本假设

（1）材料为均匀连续，且各向同性。

（2）体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。

（3）静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化。

（4）不考虑时间因素，认为变形为准静态。

（5）不考虑Banschinger 效应。

§2.2 塑性条件方程

塑性条件是塑性变形的起始力学条件。

2.2.1 屈服准则

单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？一般说来，它可以用下列式表示：

f (σij , εij , t , T , S ）=0

其中σij 为应力张量，εij 为应变张量，t 为时间，T 为变形温度，S 为变形材料的组织（Structure ）特性。对于同一种材料，在不考虑时间效应及接近常温的情形下，t 与T 对塑性状态没多大影响。另外，当材料初始屈服以前是处于弹性状态，σij 与εij 有一一对应关系。因此屈服条件可以表示成为

f (σij ) =0或f (I 1, I 2, I 3) =0或f (σ1, σ2, σ3) =0

若以σij 空间来描述，则f (σij )=0表示一个包围原点的曲面，称作屈服曲面。当应力点σij 位于此曲面之内时，即f (σij )

f (I ' 2, I ' 3) =0

由于应力偏量满足I ' 1=σ' 1+σ' 2+σ' 3≡0，f (I ' 2, I ' 3) 总是处在应力π平面上。这样屈服条件就可以用π平面上的封闭曲线来表示。若σij 点落在该曲线上，表示σij 满足屈服准则。若在这个应力状态上再迭加一个静水压力，这时在三维主应力空间中，相当于沿着等倾线移动的π面平行面，而应力点仍满足屈服准则。因此，在三维主应力空间中，屈服曲面是一等截面柱体。它的母线与直线σ1=σ2=σ3平行。

f (σij ) =0曲面到底是什么形状？不同的推理过程和实验可以得到不同的曲面形状。其中最为常用的是Tresca 屈服准则和Von Mises屈服准则。

2. 2. 2 Tresca屈服准则

最早的屈服准则是1864年Tresca 根据库伦在土力学中的研究结果，并从他自己做的金属挤压试验中提出以下假设：当最大切应力达到某一极限k 时，材料发生屈服。即：

τmax =k （2. 1）

用主应力表示时，则有：

max 1-σ2, 2-σ3, 3-σ1]=2k （2. 2）

当有σ1≥σ2≥σ3约定时，则有：

σ1-σ3=2k （2. 3）

在主应力空间中，式（2. 2）是一个正六棱柱；在π平面上，Tresca 条件是一正六边形（见图2-2）。

（a ） 主应力空间的屈服表面 （b ）π平面上的屈服轨迹

图2-2 屈服准则的图示

k 值由实验确定。若做单向拉伸试验，σ1=σs , σ2=σ3=0，则由式（2. 3）有k =σs /2。若做纯剪试验，则有σ1=τs , σ2=0, σ3=-τs ，则可得k =τs 。比较后，若Tresca 屈服条件正确，则应有：

σs =2τs =2k （2. 4）

对多数材料，此关系只能近似成立。

在材料力学中，Tresca 屈服准则对应第三强度理论。

在一般应力状态下，应用Tresca 准则较为繁琐。只有当主应力已知的前提下，使用Tresca 屈服准则较为方便。

2. 2. 3 Von Mises屈服准则

Tresca 屈服准则不考虑中间主应力的影响；另外当应力处在两个屈服面的交线上时，数学处理将遇到一些困难；在主应力未知时，Tresca 准则计算十分复杂。因此Von Mises 在1913年研究了实验结果后，提出了某一屈服准则，即当：

I ' 2=C （2. 5）

时材料就进入屈服，其中C 为常数。由于I ' 2与τg ，σe 以及材料的弹性形状改变能

1I ' 2有关，因此具有不同的物理意义。 2G

2常数C 由实验来定。单拉时，σ1=σs ，σ2=σ3=0代入式（2. 5）有C =σs /3；

2薄壁管纯扭时，σ1=-σ3=k , σ2=0，代入式（2. 5），有C =k ，所以Von Mists塑性e U D =

条件可表示成：

σe =σs =3k （2. 6）

对于多数材料，实验结果接近上式。

在主应力空间中，Von Mises屈服准则为一圆柱柱面。在π平面上，Von Mises屈服准则为一个圆。

若用单拉实验确定常数，两种屈服准则此时重合，则Tresca 六边形将内接接近于Mises 圆，并有：

σe =σs , 对Mises ⎫⎬ （2. 7） τmax =σs /2, 对T resca ⎭

若用纯剪实验确定常数，两种屈服准则此时也重合，则Tresca 六边形将外接于Mises 圆，并有：

σe =k 对Von Mises⎫⎪⎬ （2. 8） ⎪τmax =k 对T resca ⎭

在材料力学中，V on Mises屈服条件为第四强度理论。

2. 2. 4 两种屈服条件的实验验证

以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影响。以下介绍的两个实验结果均表明Von Mises条件比Tresca 条件更接近于实际。

Lode 在1925年分别对铁、铜和镍薄壁圆筒进行拉伸与内压力联合作用。用Lode 参数μσ来反映中间主应力的影响，即：

μσ=(σ2-σ3) -(σ1-σ2) （2. 9） σ1-σ3

其变化范围为-1≤μσ≤1结果见图2. 3。纵坐标为(σ1-σ2) /σs ，并规定在单拉时两个

屈服条件重合。这时采用式（2. 7）。对Tresca 有(σ1-σ3) /σs =1；而对Von Mists，有(σ1-σ3) /σs =2

3+μσ2，实验点接近Von Mises。

Taylor-Quinney 在1931年分别对铜、铝、软钢做成的薄壁圆筒施加拉扭组合应力。同样规 定单拉时两个屈服条件重合。有：

⎛σx σ⎝s

⎛σx σ⎝s ⎛τxy ⎫⎫⎪T resca ⎪+4 σ⎪⎪=1 ⎭⎝s ⎭⎫⎪⎪⎭222⎛τxy +3 σ⎝s ⎫⎪⎪⎭2⎫⎪⎪⎬ ⎪=1 Von Mises⎪⎭

比较理论曲线与实验结果（图2-4）也可看出实验点更接近Von Mises屈服条件。对金属材料而言，实验点多数落在这两个屈服条件所包围的范围之内。

图2-3 Lode 实验结果

图2-4 屈服条件验证—拉扭试验

从图2-3可以看到，在平面应变状态下，即μσ=0时，两种屈服条件相差最大，为15.5%。

2. 2. 5 硬化材料的屈服条件

从单向拉伸曲线可以看到，进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点，称作后继屈服点，而且其值总是大于初始屈服点σs 。对于三维应力空间，初始屈服条件为一曲面。对于硬化材料，是否也可类推出后继屈服面？该曲面形状如何？大小如何？实验表明，硬化材料确实存在后继屈服曲面，也称加载曲面。但其形状、大小不容易用实验方法完全确定，尤其是随着塑性变形的增长，材料变形的各向异性效应愈益显著，问题变得更为复杂。因此，为了便于应用，不得不对强化条件进行若干简化假设，其中最简单的模型为等向强

化模型。该模型要点为：后继屈服曲面或加载曲面在应力空间中作形状相似地扩大，且中心位置不变。在π平面上，加载曲面变为曲线，它与初始屈服曲线相似。等向强化模型忽略了由于塑性变形引起的各向异性。在变形不是很大，应力偏量之间相互比例改变不大时，结果比较符合实际。因此，Tresca 准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱面，Von Mises 准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面。

P 中σT =σT (εij ) 为流动应力。也就是将初始屈服条件中的常数σs 用变数σT 来置换即可。

当塑性变形很大时，特别是应力有反复变化时，等向强化模型与实验结果不相符合。这时可采用随动强化模型。 若初始屈服曲面为f (σij , σs ) =0，则等向强化的加载曲面应为f (σij , σT ) =0，其

§2. 3 塑性变形的应力应变关系

2. 3. 1 加载与卸载准则

从单拉实验可以看到，进入塑性变形以后，

加载则有新的塑性变形产生；卸载的σ-ε关系

为弹性关系，那么复杂应力状态下的加载与卸载

怎样表示？可以从等效应力、加载曲面方面加以

阐述（图2-5）。

若σe d σe >0，应力点保持在加载曲面上

变动，称作加载。此时有新的塑性变形发生，

σ-ε关系为塑性的。对于理想塑性材料，这一

条不成立；若σe d σe

内侧变动，称作卸载，不会产生新的塑性变形，图2-5 π平面上的加载准则 σ-ε关系为弹性关系；若σe d σe =0，应力点在原有屈服曲面上变动，对于强化材料而言为中性变载，没有新的塑性变形，σ-ε关系为弹性关系。对于理想塑性材料仍为加载过程。如果以f (σij ) =0表示屈服曲面，则可以把上述加载与卸载准则因屈服曲面形式来表示。

f (σij )

⎫

⎪∂f f (σij ) =0, d f =d σij >0 ⎪∂σij ⎪⎪ 强化材料加载，理想材料不成立 ⎪⎪⎬ ∂f f (σij ) =0, d f =d σij =0 ⎪ （2. 10） ∂σij ⎪⎪ 强化材料变载，理想材料加载 ⎪⎪∂f ⎪⎭f (σij ) =0, d f =d σij

当应力点处在f l =0及f m =0二个屈服曲面“交线”处时，应有：

⎛∂f ⎫∂f f l =0, f m =0, max l d σij , m d σij ⎪>0 ∂σ⎪∂σij ⎝ij ⎭⎫

⎪⎪⎪强化材料加载，理想材料不成立 ⎪⎪⎪⎛∂f l ⎫∂f m f l =0, f m =0, max d σij , d σij ⎪=0 ⎬ （2.11） ∂σ⎪∂σ⎪ij ⎝ij ⎭⎪强化材料变载，理想材料加载 ⎪⎪⎛∂f l ⎫∂f ⎪f l =0, f m =0, max d σij , m d σij ⎪

2. 3. 2 加载路径与加载历史

从单拉实验可以看到，屈服后加载才有新的塑性变形发生。但是怎样加载？是一直加载还是加载、卸载、再加载？这里存在一个路径问题，也即应力点在应力空间或π平面变动的轨迹问题。不同的路径或者历史会产生不同

的塑性变形。以金属薄壁管拉扭复合作用为例。

设其屈服曲面为图2-6所示。路径1为OACE ，先

拉伸至C 点，然后扭矩逐步增大，拉力逐步减小，

使应力点沿CE 变载至E 点。这时总的塑性变形为

P 。路径2为OFE ，从原点加载路径F 点到达E εC P P 点，塑性变形为（εE , γE ) 。尽管路径1与路径2

都有相同的最终应力状态，但产生的塑性变形不图2-6 不同路径下的变形 相同。因此，欲求σ-ε关系，就必须弄清是哪条

路径下的σ-ε关系。

路径可分成简单加载和复杂加载二大类。简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件的为复杂加载。很明显，简单加载路径在应力空间中为一直线，如图2-6中的OFE 。

2. 3. 3 增量理论（流动理论）

Saint 与Venant 早在1870年就提出在一般加载条件下应力主轴和应变增量主轴相重合，而不是与全应变主轴相重合的见解，并发表了应力-应变速度（塑性流动）方程。M. Levy于1871年提出了应力-应变增量关系，1913年Mises 独立地提出了与Levy 相同的方程，称之为Levy-Mises 方程。它适用于服从Mises 塑性条件的理想刚塑性体。L. Prandtl于1924年提出了平面应变问题的理想弹塑性体的增量理论，并由A. Reuss推广至一般应力状态，称作Prandtl-Reuss 方程。现在二个增量理论已推广至强化材料。

1．Levy-Mises 增量理论

Levy-Mises 增量理论包括以下假设：

（1）材料是刚塑性体。

（2）材料符合Mises 塑性条件σe =σT 。

（3）塑性变形时体积不变。

（4）应变增量主轴与偏应力主轴相重合。

（5）d εij =σ' ij d λ （2. 12） 式中d λ为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。经数学推导和整理，可得：

d λ=3d εe （2. 13） 2σe

结合2.12式，可得出类似广义Hooke 定律式

11⎫(σx -(σy +σz )) ⎪E ' 2⎪11d εy =(σy -(σz +σx )) ⎪⎪E ' 2⎪11d εz =(σz -(σx +σy )) ⎪⎪E ' 2⎬ （2. 14） 1⎪d εxy =τxy ⎪2G ' ⎪1⎪d εyz =τyz 2G ' ⎪⎪1d εzx =τzx ⎪2G ' ⎭d εx =

式中E ' =σe 1σe ，类似于弹性模量与剪切模量。 , G ' =d εe 3d εe

应当指出的是，Levy-Mises 增量理论对于理想材料而言，若已知σij 只能求出d εij 之间的比值，而无法求出它们的值。若已知d εij ，只能求出σ' ij ，而无法求出σij 。对于强化材料而言，若已知σij ，要求出d εij ，则必须给出d σij 。若已知d εij ，在给出了εij 的条件下，也只能求出σ' ij 。

2．应力应变速率关系方程（Saint-Venant 塑性流动理论）

假设条件几乎同前，有：

σ' （2. 15） ij =λεij

e 3ε其中λ=。同样也可写广义Hooke 定律形式。由于式（2. 15）和粘性流体的牛顿公2σe ⋅

式相似，故称为塑性流动方程。Levy-Mises 方程实际上是塑性流动方程的增量形式。若不考虑应变速度对材料性能的影响，二者是一致的。

3．Prandtl-Reuss 增量理论

在Levy-Mises 增量理论基础上考虑了弹性变形的影响，得出了Prandtl-Reuss 增量理论，其中弹性部分同弹性广义Hooke 定律。

P e P e ' e d εij =d εij +d εij =d εij +d εij +d εm δij

=d λσ' ij +11-2μd σ' ij +d σm δij （2. 16） 2G E

式中G 、E 分别为弹性剪切模量和弹性模量。

分析上式可知，若已知d εij 和εij ，不论材料是理想还是强化的，σij 均可以确定。反过来，若已知σij ，对理想材料而言，仍不能求出d εij 。对硬化材料而言，则可给出d εij 。

2. 3. 4 增量理论的实验验证

增量理论的实验验证目的，在于证明Levy-Mises 方程与Prandtl-Reuss 方程关于应变增量与应力偏量成比例假设的正确性。W. Lode引入了塑性应变Lode 参数μd εP

μd εP P P (d ε1P -d ε2) -(d ε2-d ε3P ) （2. 17） =P P d ε1-d ε3

若增量理论是正确的，则应有μσ=μd εP 。为此做了薄壁圆管受轴向拉伸与内压同时作用

的实验。实验结果表明μσ=μd εP 大致成立。理论与实验的差异可能是材料各向异性所致，

也可能是与理论值有误差。1931年G. I. Taylor 与H. Quinney 对铝、铜及软钢的簿壁管施加拉伸与扭转组给载荷实验，证明了σ' ij 与d εij 的主轴方向的误差不超过2°, 但P

μσ>μd εP 。实验指出了与理论的偏差很小。

L. 于1953年提出薄壁管不具备各向同性。R. Hill建议采用带缺口的条状试样来验证。因此此法能很好地控制各向异性的程度。B. B. Hundy与A. P. Green于1954年用这种方法验证，结果与理论相符。

1976年Ohashi 又重新做了薄壁圆管拉扭实验，设法考虑了管中的各向异性影响。实验结果肯定了μσ=μd εP 的结论。

2. 3. 5 全量理论（形变理论）

若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下，把增量理论中的增量符号“d ”取消即可。

在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解题的方便性，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题，探讨应力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量理论计算结果比增量理论好，目前仍未很好解决，还在继续研究之中。

2. 3. 6 塑性势与流动法则

以上关于塑性状态本构关系的论述都与Mises 屈服准则相关。其他屈服准则是否也有相应的本构关系？借助塑性势的概念可以回答这个问题。

Mises 在1928年类比了弹性应变增量可用弹性势函数对应力求偏导的表达式，指出了“塑性势”的概念。其数学表达式为：

P d εij =d λ∂G （2. 18） ∂σij

此处G 为“塑性势”，d λ为一种非负系数。G 应是一个怎样的函数？它与屈服表面有何关系？这里先考察一下Drucker 强化公设。表述如下：

设在外力作用下处于平衡状态的材料单元体

上，施加某种附加外力，使单元体的应力加载，然

后移去附加外力，使单元体的应力卸载到原来的应

力状态（图2-7）。于是，在施加应力增量（加载）

过程中，以及在施加和卸去应力增量的循环过程中，

附加外力所作的功不为负。

0设在t =0时，原来的平衡应力状态为σij ，它可

位于加载曲面之内，或者之上；t = t 1时，应力点正

好开始到达加载曲面上，此后即为加载过程直到图2-7

0，直到应力状态又回复到σij ，设相应的时刻t =t 2(t 2>t 1) 。然后卸去附加应力（卸载）

为t =t 3。由于弹性变形可逆，所以在上述循环过程中，弹性应变能的变化为零。塑性应变只在加载过程（t 1≤t 2≤t 3）才产生，于是在应力增量的施加和卸去循环过程中，附加外力所做的此功A 应大于等于零。即：

0P A =⎰(σij -σij ) d εij dt ≥0 （2. 19） t 1t z

上式为Drucker 公设的数学表达式，又是最大塑性功耗原理。Drucker 又证明了若式（2.

19）成立则材料为稳定的。

若式（2. 19）成立，则可以证明加载曲面必须是外凸的（包括平的），而且应变增量d εij 方向与加载曲面的外法线方向相重合，这样有：

P d εij =d λP ∂f （2. 20） ∂σij

d λ为一正比例系数，f 为屈服函数。比较式（2. 18）与式（2. 20）必然得出G =f 。一般通过G =f 的可建立任意屈服准则下的塑性本构关系，称为与加载曲面相关连的流动法则。将Mises 屈服条件代入式（ 2. 18），就可得出Levy-Mises 增量理论。

§2. 4 变形抗力曲线与加工硬化

在σ-ε关系中含有系数d λ，要确定d λ，必须知道σe ~

εe 关系曲线，即等效应力

应变曲线。

变形抗力是指材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵抗塑性变形的能力。它是一个与应力状态有关的量。不同的应力状态，有不同的变形抗力，如单拉、单压下的变形抗力的σT （也称流动应力），平面应变压缩下的变形抗力为K f ，纯剪状态下的剪切变形抗力的k 等，其中K f =2k =2

σT 。实际变形抗力还与接触条件有关。

2. 4. 1 变形抗力曲线与等效应力应变曲线

不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线。单拉曲线已在前面叙述过，在此对单压、平面应变压缩、双向等拉与扭转试验曲线加以介绍。

1．单向压缩

单向拉伸试验的塑性应变总是有限，不能满足需要。为此采用单向压缩试验测定抗力曲线。单压时应尽量减少接触界面上的摩擦。

测定单压σ-ε曲线时，试样的直径/高度一般为1。在压缩试样二端面开凹槽以存贮润滑剂，使试验过程接近均匀压缩。每次压缩量为试样高度的10%。记录载荷和测量高度，然后加润滑剂再压。若出现明显鼓形，将试样进行车削，消除侧鼓，并使直径/高度仍为1。这样一直压缩至要求的变形程度为止。利用数据可绘制σ-ε曲线，如图2-8(a)所示。显然外摩擦影响了σ-ε曲线。D/H愈大，σ-ε曲线愈高，从而可以推知当D/H→0时，认为外摩擦影响消除。

图2-8 压缩σ-ε曲线与摩擦影响

用外推法可以得到消除摩擦影响的σ-ε曲线。用不同D/H试样进行压缩试验，记录P~△H 曲线，可得到不同D/H的σ-ε曲线，如图2- 8(b)所示。然后根据图2.-8(a)可得到一定变形程度下的σ~D/H曲线（图2- 8(b)）。将图中各曲线延伸到与σ轴相交，就可得到一定变形程度下D/H→0时的应力，从而得到消除摩擦影响的σ-ε曲线。

2．平面应变压缩

平面应变压缩实验示意见图2.9所示。实验所用的工具是一对狭长的窄平锤。板条宽W 应是锤头宽b 的6~10倍。压缩时2轴方向上的宽展很小，可认为板条受压部分处于平面应变状态（ε3=0）。板厚可取b b ~。实验42

步骤：润滑砧面与板条，压缩时每压缩高度的

2~5%记录一次压力并测量板厚t ；重新润滑，直

到压缩至所需变形量为止；最后绘制σ-ε曲

线。

因为锤头窄，又有良好的润滑，可以认为1

轴方向的主应力σ1≈0，并设锤头下压的压应

力σ3=-K f ，压下率则为ε3=-ln(H 0/H ) ，

由此可得K f ~ε3曲线。

3．扭转实验

将簿壁管材扭转时的转角与载荷的关系转换成切应力~切应变之关系，可以在大应变范围内获得k ~r 曲线。

4．双向等拉实验

将一块圆形板四周固定，然后在内部充液压进行胀形，如图2-10 所示。根据图2-11所示单元体的力平衡条件，可得： 图2-9 平面应变压缩

p ρd θd ϕ-2σθρd ϕt sin d θd ϕ-2σϕρd θt sin =0 （2. 21）

22

图2-10 双向等拉 图2-11 球面微体受力

式中p 为内压，σθ, σϕ为“径线”、“纬线”上的正就力；t 为板厚。

由于对称性，σθ=σϕ，d θ=d ϕ，因此上式变成：

σθ=σϕ=pR （2. 22） 2t

由于球对称，有εθ=εϕ，根据体积不变，有：

εt =-2εθ=-2εϕ=ln(t /t 0) （2. 23）

胀形时，应力状态为σθ=σϕ，σt =0双向等拉。由于球张量对塑性变形没有影响，因此在实际应力状态上叠加一个应力值为σ0的球应力，对胀形无影响。叠加后的结果为σθ=σϕ=0, σt =σ0这种应力状态相当于单向压缩试验，即无颈缩又无摩擦。因此其应变量远超过单向的。

5．等效应力σe 与等效应变εe 曲线与数学模型

每一种应力状态，都会有其特有的抗力曲线。如何更准确地反映材料的σ-ε曲线？或者说如何使不同应力状态下的抗力曲线具备可比性？等效应力应变曲线便能达到此目的。把各种应力状态下的抗力曲线折算成σe ~εe 曲线后，使材料具有统一的应力应变曲线。理论上各种抗力曲线折算的σe ~εe 曲线应当重合，但实际上是有偏差的。须综合各方面的大量实验数据，才能获得较准确的σe ~εe 曲线。

根据不同的σe ~εe 曲线，可以划分为以下若干种类型：

（1）幂函数强化模型（见图2-12）

该模型特点为弹塑性区域均用统一方程表示，即：

σe =A εe n

常应用于室温下的冷加工。

图2-12 幂函数强化模型 2-13 线性强化模型

（2）线性强化模型（见图2-13）

该模型的弹塑区域分开表示，即：

ε≤σs /E ⎧σe =E εe ⎨σ=σ+D (ε-σ/E ) ε>σ/E s s s ⎩e

σe ~εe 呈线性关系，只是弹性塑性之斜率有所差异，适合于考虑弹性问题的冷加工，如弯曲。

（3）线性刚塑性强化模型（图2-14）

与模型（2）相似，只是没有考虑弹性变形，即：

σe =D e

适合于忽略弹性的冷加工。

（4）理想塑性模型（图2-15）

该模型的特点在于屈服后σe 与εe 无关，即：

σe =σs (ε≥σs /E )

软化与硬化相等。适合于热加工分析。

图2-14 线性强化刚塑性模型 图2-15理想弹塑性模型

（5）理想刚塑性模型（图 2- 16）

特点与（4）相似，只是忽略了弹性，即：

σe =σs

适合于不考虑弹性的热加工问题。

作为一般的σe ~εe 关系的数学模型：

m e -bT σe =A εn ε

式中， n ——加工与硬化指数

m ——应变速率敏感性系数

A ——材料常数

T ——绝对温度

b ——温度影响系数

图2-16 理想刚塑性模型

2. 4. 2 等效应力σe 的确定

在塑性加工力学的分析中，简单起见，总是假设材料为理想塑性体，但实际材料总是有加工硬化。适当地考虑加工硬化，可以近似地应用理想塑性体的分析结果。

1． 稳态变形时等效应力的求法

稳态变形特点是变形区大小、形状、应力与应变分布不随时间而变，如板带轧制、管棒挤压与拉拔等，但变形区内各点的应力与应变不一样，则σe 的取法有以下二种：

（1）σe =(σe λ+σe 出) /2

（2）e =⎰εεe 出e 入σe d εe /⎰εe 出

εe 入d εe

经处理后，可以应用理想塑性体的分析结果。

2．非稳态变形时等效应力的求法

视变形为均匀变形，得到平均等效应e 的值，然后查材料的σe ~εe 曲线，找到与e 相对应的σe 作为平均等效应力e 。这样就可以把问题当作理想塑性问题来处理。 §2. 5 影响变形抗力的因素

变形抗力的大小与材料、变形程度、变形温度、变形速度、应力状态有关、而实际变形抗力还与接触界面条件有关。

2. 5. 1 化学成份的影响

化学成份对变形抗力的影响非常复杂。一般情况下，对于各种纯金属，因原子间相互作用不同，变形抗力也不同。同一种金属，纯度愈高，变形抗力愈小。组织状态不同，抗力值也有差异，如退火态与加工态，抗力明显不同。

合金元素对变形抗力的影响，主要取决于合金元素的原子与基体原子间相互作用特性、原子体积的大小以及合金原子在基体中的分布情况。合金元素引起基体点阵畸变程度愈大，变形抗力也越大。

例如，二元合金的化学成分与抗力

指标之间的关系同二元相图的型式有某

些规律。图2-17a 是形成无限固溶的二

元合金之硬度（抗力的一种表示）随成

分而变化的图示，它表明固溶体的硬度

比纯金属的高。变形抗力的最大值对应

于固溶体的最大饱和度，从而对应于点

阵的最大畸变。图2-17b 指出了形成共

晶体二元合金的硬度随成分变化的情

况。共晶体混合物可由纯金属构成，也图2-17 化学成分对抗力的影响 可由其他化合物或固溶体构成。该图为

由固溶体构成共晶混合物的情况。现分析由直线a " a ' 与b " b ' 限定的中间部分。图中a

点

是极限溶解度时α固溶体的硬度值，而b 点是极限溶解时β固溶体的硬度值，那么硬度随共晶混合物成分的变化大致可接连接ab 二点的线性规律来描述。应当指出，这一线性规律是指平衡状态而言，也有例外。图2-14c 是形成化合物的二元合金的硬度随成分变化的图示。化合物具有与其组元完全不同的独特性质，并具有独特的结晶点阵，在合金内可以视为一个独立的组元，这种具有化合物的复杂相图，可以把它当作化合物与每一金属所形成的二个单独相图来研究。

杂质含量也对变形抗力有影响，含量增大，抗力显著增大。但也有些杂质也会使抗力下降，如青铜中的含砷量为0. 05%时，σb =190MPa ，而当砷含量提高到0.145%时，σb =140MPa 。

杂质的性质与分布对变形抗力构成影响。杂质原子与基体组元组成固溶体时，会引起基本组元点阵畸变，从而提高变形抗力。杂质元素在周期表中离基体愈远，则杂质的硬化作用愈强烈，因而变形抗力提高愈显著。若杂质以单独夹杂物的形式弥散分布在晶粒内或晶粒之间，则对变形抗力的影响较小。若杂质元素形成脆性的网状夹杂物，则使变形抗力下降。

2. 5. 2 组织结构的影响

1．结构变化

金属与合金的性质取决于结构，即取决于原子间的结合方式和原子在空间排布情况。当原子的排列方式发生变化时，即发生了相变，则抗力也会发生一定的变化。

2．单组织和多组织

当合金的单相组织时，单相固溶体中合金元素的含愈高，变形抗力则愈高，这是晶格畸变的后果。当合金为多相组织时第二相的性质、大小、形状、数量与分布状况，对变形抗力都有影响。一般而言，硬而脆的第二相在基体相晶粒内呈颗粒状弥散分布，合金的抗力就高。第二相越细，分布越均匀，数量越多，则变形抗力越高。

3．晶粒大小

金属和合金的晶粒愈细，同一体积内的晶界愈多。在室温下由于晶界强度高于晶内，所以金属和合金的变形抗力就高。

2. 5. 3 变形温度的影响

由于温度升高，降低了金属原子间的结合力，金属滑移的临界切应力降低，几乎所有金属与合金的变形抗力都随温度升高而降低。对于那些随着温度变化产生物理-化学变化和相变的金属与合金，则存在差例外。

2. 5. 4 变形速度的影响

变形速度的提高，单位时间内的发热率增加，有利于软化的产生，使变形抗力降低。另一方面，提高变形速度缩短了变形时间，塑性变形时位错运动的发生与发展不足，使变形抗力增加。一般情况下，随着变形速度的增大，金属与合金的抗力提高，但提高的程度与变形温度密切相关。冷变形时，变形速度的提高，使抗力有所增加，或者说抗力对速度不是非常敏感。而在热变形时，变形速度的提高，会引起抗力明显增大。

2. 5. 5 变形程度的影响

无论在室温或高温条件下，只要回复和再结晶过程来不及进行，则随着变形程度的增

加必然产生加工硬化，使变形抗力增大。通常变形程度在30%以下时，变形抗力增加显著。当变形程度较大时，变形抗力增加变缓，这是因为变形程度的进一步增加，使晶格畸变能增加，促进了回复与再结晶过程的发生与发展，也使变形热效应增加。

2. 5. 6 应力状态的影响

变形抗力是一个与应力状态有关的量。例如，假设棒材挤压与拉拔的变形量一样，但变形力肯定不一样。从主应力图与主应变图上可知，挤压抗力为σ1，拉拔抗力也为J 1，由Tresca 屈服准则，σ1-σe =σs 或σ1=σs +σ3，不难看出：挤压变形抗力σ1在叠加一同号压应力σ3之后，变得更负，即绝对值增加；而拉拔变形抗力在叠加一异号压应力σ3之后，有所减小，即绝对值减小。再如，平面应变压缩的抗力为K f ，而单向压缩的抗力为

σs ，而纯剪的变形抗力为k ，它们均不相同。因此，不同的应力状态，变形抗力必不相同。

2. 5. 7 接触摩擦的影响

实际变形抗力还受接触摩擦影响，一般摩擦力愈大，实际变形抗力愈大。

思 考 题

1．金属塑性变形有哪些基本特点？

2．何谓屈服准则？常用屈服准则有哪两种？试比较它们的同异点？

3．何谓加载准则、加载路径？它们对于塑性变形的应力应变关系有何影响？

4．塑性变形的应力应变关系为何要用增量理论？

5．塑性变形的增量理论的主要论点有哪些？常用塑性变形增量理论有哪两类？试比较它们的同异点？

6．何谓塑性势？

7．平面应变和轴对称问题的应变和应力特点有哪些？

8．何谓变形抗力和变形抗力曲线？

9．影响金属材料变形抗力的主要因素有哪些？

习 题

1．已知材料的真应力真应变曲线为σ=A ε，A 为材料常数，n 为硬化指数，试问简单拉伸时该材料出现颈缩时的应变量为多少？此时的真实应力与强度σb 的关系怎样？

2．若变形体屈服时的应力状态为： n

⋅⎫⎛-30⋅ ⎪σij = 023⋅⎪⨯10MPa

0-315⎪⎝⎭

试分别按Mises 和Tresca 塑性条件计算该材料的屈服应力σs 及β值，并分析差异大小。

2． 两端封闭的矩形薄壁管内充入压力为p 的高压液体。若材料的屈服应力 σs =100MPa ，试按Mises 塑性条件确定该管壁整个屈服时最小的p 值为多少？（不考虑角上的影响）。（管材尺寸L ×B ×H ，壁厚t ）。

4．已知一外径为φ30mm ，壁厚为 1. 5mm，长为250mm 二端封闭的金属薄壁管，受到轴向拉伸载荷Q 和内压力p 的复合作用，加载过程保持σϕ/σz =1。若该材料的所需加的Q 与p 值大小。

5．若薄壁管的σe =A +B εe ，按OBE 、

OCE 和OAE 三种路径进行拉、扭加载（见图

2-18），试求三种路径到达E 点的塑性应变量

p 为多少？ εx p , γxy （1）等效应变εe ；（2）管材尺寸；（3）σe =1000(εe ) 1/3MPa 。试求当σz =600MPa时，

6．试证明单位体积的塑性应变能增量

d A p =σij d εij p =σe d εe p

7．一薄壁圆管，平均半径为R ，壁厚为t ，

承受内压力作用，讨论下列三种情形：（1）管的

二端是自由的；（2）管的二端为固定的；（3）管

的二端是封闭的。试问p 多大时管子开始屈服？

屈服条件为Mises 准则。

8．变形抗力的大小对加工生产有何种意义？

对制品性能有何意义？

9．引入塑性势的意义为何？

10．如图所示，一薄板液压胀形，液压为p ，

球顶处的坐标网络由变形前的φ2.5mm 变至图2-18 题5图

φ3.0mm 材料的应力应变曲线为

σe =1000εe MPa ，变形前板厚为1mm 。变形后

曲率半径为100mm ，求此时的胀形压力。（提示：

13图2-19 题10图 p σθσϕ）

=+t R θR ϕ