一元二次方程根与系数关系中考难题突破
年级 导学案
教学目标：
1，由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。 2，中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
教学重点：：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、
及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用
教学难点：掌握一元二次方程根与系数的关系，
并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
本章知识网络：
重点例题：
一、巧妙运用韦达定理
例1 先阅读下列第（1）题的解答过程
（1）已知αβ是方程x 2＋2x －7＝0的两个实数根。求α2＋3β＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x 2＋2x －7＝0的两实数根 ∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2 ∴α2＝7－2α β2＝7－2β
∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2³（－2）＝32
解法2 由求根公式得α＝－1＋2∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22
2
2
2
2
β＝－1－2
2
2
）2＋3(－1－2) 2＋4(－1－
) ＝9－4
2
＋3(9＋4
2
－4－8
2
) ＝32
解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7
∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B
∴A ＋B ＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4³18＋4³（－2）＝64 ①
A －B ＝2(β2－α2) ＋4(β－α) ＝2(β＋α) (β－α) ＋4(β－α) ＝0 ②
①＋② 得：2A ＝64 ∴A ＝32
请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题
（2）已知x 1、x 2是方程x 2－x －9＝0的两个实数根，求代数式。x 13＋7x 22＋3x 2－66的值。
解 ∵x 1、x 2是方程x 2－x －9＝0的两根 ∴x 1＋x 2＝1 且x 12－x 1－9＝0 x22－x 2－9＝0 即 x12＝x 1＋9 x22＝x 2＋9
∴x 13＋7x 22＋3x 2－66＝x 1(x1＋9) ＋7(x2＋9) ＋3x 2－66
＝x 12＋9x 1＋10x 2－3＝x 1＋9＋9x 1＋10x 2－3＝10(x1＋x 2) ＋6＝16
例2 已知a ＋a 2－1＝0，b ＋b 2－1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值． 分析：显然已知二式具有共同的形式：x 2＋x －1＝0．于是a 和b 可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x 2＋x －1=0，其二根为a 、b ． 由韦达定理，得a ＋b ＝－1，a ²b ＝－1． 故ab ＋a ＋b ＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a ＋b 、a ²b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3 若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z 2＝xy －9．求证：x ＝y ． 证明：将已知二式变形为x ＋y ＝6，xy ＝z 2＋9．
由韦达定理知x 、y
是方程u
2－6u ＋(z2＋9) ＝0的两个根． ∵ x、y
是实数，∴△＝
36－4z 2－36≥0． 则z 2≤0，又∵z 为实数， ∴z 2＝0，即△＝0．
于是，方程u 2－6u ＋(z2＋9) ＝0有等根，故x ＝y ．
由已知二式，易知x 、y 是t 2＋3t －8＝0的两个根，由韦达定理
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系) 求系数关系(或求两根的关系) ，可考虑用韦达定理
例5 已知方程x 2＋px ＋q ＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q 之值，解此方程．
解：设x 2＋px ＋q ＝
0的两根为
a 、2a ，则由韦达定理，有 a ＋2a ＝－P ， ① a ²2a ＝q ， ② P 2－4q ＝1． ③
把①、②代入③，得(－3a) 2－4³2a 2＝1，即9a 2－8a 2＝1，于是a=±1．
∴ 方程为x 2－3x ＋2＝0或x 2＋3x ＋2＝0． 解得x 1＝1，x 2＝2，或x 1＝－1，x 2＝－2．
例6 设方程x 2＋px ＋q ＝0的两根之差等于方程x 2＋qx ＋p ＝0的两根之差，求证：p ＝q 或p ＋q ＝－4．
证明：设方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为α、β，x 2＋qx ＋P ＝0的两根为α
＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β) 2－4αβ＝(α＇＋β＇) 2－4α＇β＇．①
把②代入①，有p 2－4q ＝q 2－4p ，即p 2－q 2＋4p －4q ＝0，即(p＋q)(p－q) ＋4(p－q) ＝0，即(p－q)(p＋q ＋4) ＝0． 故p －q ＝0或p ＋q ＋4＝0， 即p ＝q 或p ＋q ＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理 例7 m 为问值时，方程x 2＋mx －3＝0与方程x 2－4x －(m－1) ＝0有一个公共根？并求出这个公共根．
解：设公共根为α，易知，原方程x 2+mx－3＝0的两根为α、－m －α；x 2－4x －(m－1) ＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α) ＝3， ①
α(4－α) ＝－(m－1) ． ② 由②得m ＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1) ＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m ＝－2．
故当m ＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．
课堂练习：
1. 已知关于x 的方程4x 2＋4bx ＋7b ＝0有两个相等的实数根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2＋(2－b)y ＋4＝0的两个根。求以根的一元二次方程。
y 1
、
y 2
为
2. 已知关于x 的方程x 2－
2k +4
x＋k ＝0有两个不相等的实数
k -4k +4
2
根。（1）求k 的取值范围（2）化简|－k －2|＋
3. 已知关于x 的方程（a 2－1）x 2＋2(a＋2)x ＋1＝0有实数根。求a 的取值范围。（提示：分a 2－1＝0，a 2－1≠0讨论）
4. 已知关于x 的方程x 2－2(k＋1)x ＋k 2＋2k －1＝0 ① （1）求证，对任意实数k 的方程①总有两个不相等的实数根。
（2）如果a 是关于y 的方程y 2－(x1＋x 2－2k)y ＋(x1－k)(x2－k)
1
a
＝0 ②的根。其中x 1、x 2是方程①的两根 求代数式（a －a +1）
4
a -1a
2
÷a +1² 课后巩固
的值。
（一） 基础练习
1
1. 已知方程2x 2－2ax ＋2(a＋4)a ＝0的两实根分别为x 1、x 2且满足(x1
109
－1)(x2－1) ＝100，求a 的值。
2. 关于x 的方程x 2－(5k＋1)x ＋k 2－2＝0是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k 的值，若不存在，请说明理由。
α
β
3. 设α、β是方程x 2＋的值。
x ＋2＝0的两根，不解方程，求
β
＋
α
4. 已知关于x 的方程k 2x 2＋(2k－1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2。
（1）求k 的取值范围。
（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k 的值。如果不存在，请说明理由。
1
解：（1）根据题意，得Δ＝(2k－1) 2－4k 2>0的解得k
1
∴当k
（2）存在 如果方程的两实数根x 1、x 2互为相反数，则x 1＋x 2
2k 1
＝－
k
2
＝0 ①
1
1
解得k ＝2, 经检验k ＝2是方程①的解。
1
∴当k ＝2时，方程的两实数根
x 1、x 2互为相反数。
读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。
5. 如图已知△ABC 中，∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD 、BD 的长是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，且tgA －tgB ＝2，CD ＝1，求p 、q 的值，并解此二次方程。
（二） 能力提升题
1. 关于x 的方程x 2－(2a－1)x ＋(a－3) ＝0.
（1）求证：无论a 为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。
（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三
35
角形斜边上的中线长为
2
，求实数a 的值。
a
2. 已知方程5a 2＋2002a ＋9＝0及9b 2＋2002b ＋5＝0且ab ≠1，求b 的值。
3. 已在△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k＋3)x ＋k 2＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5。
（1）k 为何值时，△ABC 是以BD 为斜边的直角三角形。 （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。
（三） 思维拓展题
已知x 1、x 2是一元二次方程4kx 2（1）是否存在实数k ，使(2x
1
-4kx +k +1=0
的两个实数根。
32
-x 2)(x 1-2x 2) =-
成立？若存在，
求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使
信息反馈：
x 1x 2
+
x 2x 1
-2
的值为整数的实数k 的整数值。
学生今日表现：
老师寄语：
家长意见： 家长签字：