基于有限元法的岩土工程可靠度分析

第24卷第3期2007年9月　华　中　科　技　大　学　学　报(城市科学版)

J. of HU ST. (U rban Science Editi on ) V o l . 24N o. 3

Sep. 2007

基于有限元法的岩土工程可靠度分析

龚文惠1, 2, 　雷红军1, 2, 　陈玉国1, 2

(1. 华中科技大学　土木工程与力学学院, 湖北　武汉　430074; 2. 华中科技大学　控制结构湖北省重点实验室, 湖北　武汉　430074)

摘　要:将有限元法和蒙特卡罗法相结合, 探讨了基于有限元法的岩土工程可靠度分析方法。首先对影响岩土工程结构行为的随机变量进行抽样, 然后利用有限元法分析求解具体岩土结构的指定指标值, 再运用蒙特卡罗法对多次抽样计算结果进行分析, 从而求解岩土工程结构的可靠度。通过对实际筏板基础工程进行可靠度分析, 表明该方法可方便地分析最大位移、最大剪应力等指标的变异性及其灵敏度问题, 靠度分析的效率与精度。

关键词:岩土工程; 　可靠度; 　蒙特卡罗法; 　有限元法; 　失效概率; 中图分类号:TU 473　　文献标识码:A 　　文章编号:16722() 00172　　在岩土工程问题的研究中, 1, 2矩法和JC 级数展开, 状态曲面[3]。而大多情况下, 极限状态曲面形状比较复杂或呈高度非线性, 或由于结构功能函数不连续等, 直接应用上述方法比较困难。蒙特卡罗法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠度, 它回避了结构可靠度分析中的数学困难, 无需考虑功能函数或极限状态曲面的复杂性[4]。但蒙特卡罗法的实现依赖于大量的统计数据, 对实际工程采用常规方法获取足够的统计数据是不现实的, 这是该法在岩土工程可靠度分析中面临的主要问题。为此, 将蒙特卡罗法与有限元法结合, 通过岩土工程结构的有限元分析获得大量相关数据, 以所得数据为基础在有限元分析软件中实现蒙特卡罗法的可靠度分析, 并针对具体筏板基础工程实例进行了可靠度分析和讨论。

Z =g (X 1, X 2, …, X n ) , , X i 为具有任意分布的随机变量。利用随机抽样以获得每一个变量的样本值X 1, X 2, …, X n , 用抽样值计算功能函数的值Z 为

Z =g (X 1, X 2, …, X n ) 。

・

・

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・

・

(1)

设进行了N 次上述抽样试验, 则失效概率可由P f ≈[n (Z ≤0) ] N 近似给出, 式中, n (Z ≤0) 表示Z ≤0的试验次数。若规定岩土结构中某一指标Z 的实际值大于其容许值[Z ]时即为失效, 则又可表示为P ≈[n (Z ≤[Z ]] f N 。

上述方法中, Z 值可通过对岩土结构的有限元分析获得。有限元法是将实际的结构物用一种由多个彼此相联系的单元体所组成的近似等价物理模型代替, 通过对结构的力学分析求取基本未知量, 并由此求取各单元的应力、应变等[5]。基于有限元法的岩土工程可靠度分析的原理:对影响岩土工程结构行为的随机变量进行抽样, 通过对岩土结构进行有限元分析以求解指定指标Z 值, 再用蒙特卡罗法对多次抽样计算结果进行分析, 从而求解岩土工程结构的可靠度。1. 2　分析方法

1　岩土工程可靠度分析

1. 1　基本原理

蒙特卡罗法的模拟次数越多, 计算精度越高[4], 为提高分析的精度与有限元分析的效率, 可在有限元分析软件中实现岩土工程可靠度分析的模拟。

蒙特卡罗法常用于可靠度的各种近似计算方

法计算精度的检验和计算结果的校核, 也是目前可靠度分析结果正确性验证的唯一手段[4]。

收稿日期:2006210231。

作者简介:龚文惠(19662) , 女, 湖北英山人, 副教授, 博士, 从事岩土力学、地基处理和边坡稳定方面的研究, gw h 8780@sina . com 。基金项目:湖北省自然科学基金资助项目(2005ABA 303) 。

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a . 生成分析文件。分析文件表示完整的分析

表1　基础板上柱子反力kN

过程, 包括建立有限元分析模型、单元划分、施加

荷载、求解并提取分析结果。

b . 可靠度分析阶段。包括定义输出变量与输入变量, 确定各随机变量的分布类型、分布函数及其数字特征, 并进行分析文件的循环执行。其中, 输出变量为指定的结果指标Z , 输入变量即为影响Z 的随机变量X i (i =1, 2, …, n ) 。

统计前两个阶段的分析结果, c . 结果后处理。

用蒙特卡罗法基本原理求取结构可靠度, 同时获取结果指标对随机变量的灵敏度等相关信息。

岩土工程设计必须满足强度、刚度、变形及耐久性等方面的要求, 设计过程中不确定性的来源主要有荷载的不确定性、岩土结构的物理力学及几何性质不确定性等[1]。因此在岩土工程的可靠度分析过程中, 可将工程设计中的主要控制因素如最大应力或最大应变等作为输出结果Z , 影响Z 1. 3方法等。拉丁超立方法运用了数理统计中的正交试验设计法原理, 避免了重复抽样, 比直接抽样法效率要高[3, 4]。产生相同的结果, 拉丁超立方法的模拟次数通常比直接法少20%～40%。蒙特卡罗法中所需模拟次数与输入变量个数无关, 只取决于所求输出结果的类型及其分散程度[6]。用拉丁超立方法对随机变量抽样时, 循环次数为50～200之间即可达到一般工程的精度要求。

柱号自重反力人群活载柱号自重反力人群活载

[***********][1**********]600

　　C 30混凝土的弹性模量为30GPa , 泊松比为

3

0. 17, 容重为25kN 据地质勘查报告显示, 影m 。响基础应力应变性状的上层地基土为砂土, 其基

3

床系数为25M N m 。2. 2　分析模型

有限元建模时, 筏板基础采用八节点六面体单元, 地基采用W ink ler 地基模型。地基弹簧的应力与其应变成正比

, 与弹簧深度没有直接关系, 确定弹簧深度为2m 。自由度完全固定, , 使2图2　筏板基础有限元模型

蒙特卡罗法中, 选择基础容重、基础厚度、钢筋混凝土的弹性模量、基床系数、4种人群活载共8个参数作为输入变量, 选择基础的最大位移及最大剪应力作输出变量。经过对调查资料的统计分析, 各输入变量的分布形式及其数字特征如表2。用拉丁超立方抽样法进行可靠度分析, 为提高

2　筏板基础的可靠度分析

2. 1　工程概况

蒙特卡罗模拟的精度, 进行400次模拟循环。

表2　输入变量的分布形式及其数字特征

随机变量分布形式与数字特征基础容重正态, N (2500, 48) 基础厚度均匀, (1×0. 9, 1×1. 1) 混凝土弹性模量正态, N (30×106, 15. 5×105) 地基土弹性系数对数正态, (25000, 2455)

正态, N (200, 10. 8) , N (480, 24. 8) ,

人群活载

() ()

一框架结构下的筏板基础采用C 30钢筋混凝土, 板厚1m , 筏板基础上所受荷载为上部结构自重恒载和人群活载, 图1中各柱反力如表1

。

2. 3　结果分析

由a . 筏板基础最大沉降量的概率分析结果。图3和4看出, 循环过程中节点位移最大值也是

一个随机变量。由图3可知, 位移最大值126. 84mm , 最小值70. 88mm , 平均值94. 042mm , 方差为0. 0096mm 2, 可能产生的最大沉降126. 84mm 。最大位移值处于[85mm , 100mm ]

图1　筏板基础的平面布置 m

第3期龚文惠等:基于有限元法的岩土工程可靠度分析　　・19　　・

图3

　最大节点位移的抽样显示

图5

　最大节点剪应力的抽样显示

图6

　最大节点剪应力的概率分布函数

图4　最大节点位移的概率分布函数

时, 概率分布函数曲线斜率最大, 说明最大位移以

较大的概率落入此区间。经计算, 最大位移值介于上述区间的概率约为60%。筏板基础沉降量分布在均值94. 042mm 两侧, 两侧距平均值距离越远, 其函数曲线斜率越小, 分布于此的概率越小。由分析程序可得最大位移大于100mm 的精确概率为23. 1676%, 大于120mm 的精确概率为1. 2819%。结合蒙特卡罗法原理, 若以基础的沉降为设计中的控制因素, 当规定基础最大沉降量超过100mm 为失效时, 则此基础的失效概率为23. 1676%; 当最大沉降量容许值取为120mm 时, 则对应的失效概率1. 2819%。

b . 筏板基础的节点最大剪应力的概率分析结果。由图5和6看出, 模拟过程中节点最大剪应力可能出现的最大值为18. 347M Pa , 最小值为7. 8262M Pa , 平均值为12. 367M Pa 。最大剪应力值处于[11M Pa , 15M Pa ]时, 曲线斜率最大, 抽样值落入此区间的概率约为75%。若以基础刚度为设计中的控制因素, 若混凝土基础板内的剪应力超过16M Pa 即为结构发生失效, 则结构的失效概率为2. 3586%。

c . 最大沉降与最大剪应力的灵敏度分析。

灵

图7　最大节点位移对各随机变量的灵敏度

敏度表示结果指标受其影响因素的程度[9]。由图7看出, 对筏板基础最大位移影响的最大因素是地基土的基床系数, 其次为板上人群活荷载, 基础的容重和厚度等对最大位移的影响相对不大, 混凝土的弹性模量的影响则很小。由图8可见, 对筏板基础最大剪应力影响的最大因素为筏板厚度和板内人群活荷载, 混凝土弹性模量、基础容重、地基土的弹性系数等对最大剪应力的影响相对较小。

按上述各影响因素的作用大小, 在工程上可进行筏板基础的优化设计。设计时若以最大沉降为控制因素, 则应严格控制地基土的弹性系数及

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控制, 使其具有较小的变异性以保证结构的安全可靠度; 反之, 当某因素的影响程度较小时, 则可定值处理, 减少随机变量的数目以提高分析效率。

参

考

文

献

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图8　最大节点剪应力对各随机变量的灵敏度

(6) :45248.

[4]　贡金鑫. 工程结构可靠度计算方法[M ]. 大连:大

活荷载的变异性, 而将基础容重、基础厚度和混凝土弹性模量作为定值。若以基础刚度为控制因素, 则应严格控制基础厚度和活荷载的变异性, 而将混凝土的弹性模量、基础容重等作为定值处理。

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3　结　论

a . 法相结合, 进行抽样和对结构进行有限元分析求解指定指标, 再用蒙特卡罗法对抽样结果进行可靠度分析, 避免了复杂的功能函数的求取与计算, 可显著提高岩土工程结构可靠度分析的效率与精度。

b . 该方法可方便地求取筏板基础的最大位移和最大剪应力的变异性, 可为以强度或变形等作为控制条件的筏板基础的工程设计提供参考, 相关指标的灵敏度分析可用于指导岩土工程的优化设计。当某因素的影响显著时, 则设计中予以严格

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Probab il ity Ana lysis of Geotechn ica l Eng i neer i ng Ba sed on F i n ite Elem en tM ethod

GON G W en 2hu i

1, 2

, 　L E I H ong 2jun 1, 2　CH EN Y u 2g uo 1, 2

(1. Schoo l of C ivil Eng . &Mechan ics , HU ST , W uhan 430074, Ch ina ; 2. H ubei Key L ab . of Con tro l Structu re , HU ST , W uhan 430074, Ch ina )

Abstract :T he p robab ility analysis m ethod of geo techn ical engineering based on fin ite elem en t m ethod w as exp lo red by com b in ing the fin ite elem en t m ethod and M on te Carlo m ethod . W ith the m ethod , the random variab les w h ich affect geo techn ical structu re acti on w ere sam p led . T he appo in ted indexes of the structu re w ere analyzed and so lved th rough the fin ite elem en t m ethod . A t last , M on te Carlo m ethod w as u sed to analyze the sam p ling resu lts and the p robab ility of the structu re w as ob tained . T h rough the p robab ility analyzing of a raft foundati on , it is show n that th is m ethod can conven ien tly analyze the variab ility and sen sitivity of the m ax i m um disp lacem en t and m ax i m um shear stress , and the efficiency and p recisi on of the p robab ility analysis of geo techn ical engineering can be enhanced p rom inen tly .

Key words :geo techn ical engineering ; p robab ility ; M on te Carlo m ethod ; fin ite elem en t m ethod ;

failu re p robab ility ; sen sitivity