初中数学竞赛教程及练习之 乘法公式附答案

乘法公式

．一、内容提要乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b) 2=a2±2ab+b2,

平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b 2

立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b 3

3. 公式的推广：

多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

二项式定理：(a±b) 3=a3±3a 2b+3ab2±b 3

(a±b) 4=a4±4a 3b+6a2b 2±4ab 3+b4）

（a ±b ）5=a5±5a 4b+10a3b 2 ±10a 2b 3＋5ab 4±b 5）

„„„„

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a 2b+ab2－b 3)=a4－b 4

(a+b)(a4－a 3b+a2b 2－ab 3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a 4b+a3b 2－a 2b 3+ab4－b 5)=a6－b 6

„„„„

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数

－－－－－(a+b)(a2n 1－a 2n 2b+a2n 3b 2－„＋ab 2n 2－b 2n 1)=a2n －b 2n

－－－(a+b)(a2n －a 2n 1b+a2n 2b 2－„－ab 2n 1+b2n )=a2n+1+b2n+1

类似地：

－－－－－（a －b ）(an 1+an 2b+an 3b 2+„＋ab n 2+bn 1)=an －b n

公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a 2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a 3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)．①②③4.

由公式的推广③可知：当n 为正整数时

a n －b n 能被a －b 整除,

a 2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a 2n －b 2n 能被a+b及a －b 整除。

二、例题

例1. 己知x+y=a xy=b

求 ①x 2+y2 ②x 3+y3 ③x 4+y4 ④x 5+y5

解： ①x 2+y2＝(x+y)2－2xy ＝a 2－2b

②x 3+y3＝(x+y)3－3xy （x+y）＝a 3－3ab

③x 4+y4＝(x+y)4－4xy （x 2+y2）－6x 2y 2＝a 4－4a 2b ＋2b 2

④x 5+y5＝（x+y）(x4－x 3y+x2y 2－xy 3+y4)

=(x+y)［x 4+y4－xy(x2+y2)+x2y 2］

=a［a 4－4a 2b+2b2－b(a2－2b)+b2］

＝a 5－5a 3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。

证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2

∵a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数

∴a 2+3a+1是整数 证毕

例3. 求证：2222＋3111能被7整除

证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111

根据 a 2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）

∴4111＋3111能被 4＋3整除

∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2) ， 252=625 (6=2×3) ，

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

„„

三、练习15

1． 填空：

①a 2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b) 2+___

③a 3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b4=(a2+b2) 2－____

, ⑤a 5+b5=(a+b)(a4+b4) －_____ ⑥a 5+b5=(a2+b2)(a3+b3) －____

2． 填空：

①(x+y)(___________)=x4－y 4 ②(x－y)(__________)=x4－y 4

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x －y ）(__________)=x5－y 5

3. 计算：

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=

4. 计算下列各题 ，你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=

5.. 已知x+1111=3, 求①x 2+2 ②x 3+3 ③x 4+4的值 x x x x