集合的定义及其表示教案

第一节 集合的定义及其表示教案

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

（3）掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征； 教学重点：（1）集合的基本概念与表示方法；

（一）集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到

这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），

也简称集。

3. 关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4. 元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（或a  A）

5. 常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，„；

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 （2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，„； 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（3） 图示法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈）， 用它的内部表示一个集合。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系，其被称之为韦恩图。

二、典型例题

例1、观察下列实例： ①小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；

2

yx1图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ③抛物线

⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学；

回答下列问题：

⑴哪些对象能组成一个集合；

⑵用适当的方法表示它；

⑶指出以上集合哪些集合是有限集；

例2、用适当的方法表示以下集合： ⑴平方后与原数相等的数的集合；

a

⑵设a,b为非零实数，a



b

b 可能表示的数的取值集合；

⑶不等式2x6的解集；

⑷坐标轴上的点组成的集合；

xy5

xy1⑸第二象限内的点组成的集合； ⑹方程组

的解集。

例3、已知集合A

x|ax2

2x10

⑴若A中只有一个元素，求a及A；⑵若A,求a的取值范围。

例4、用符号与填空：

4

⑴0 N* ； Z；0 N；(1)0

N*；2 Q； 3 ⑵3

2,3；32,3；2,3 2,3； 3,2 2,3

例5、（1）已知Ax2x5，a，b

判断a、b是否属于A？，

（2）已知

Aa,a2



,B1,b.AB,求a,b

一、知识巩固

1． 集合与元素

（1）一般地，研究对象统称为 ，一些元素组成的总体叫 ，也简称 。 （2）集合元素的三个特征：

（3）元素与集合的关系是或 或 表示。

Q。

（4）集合的表示法：。

（5）常见数集的记法

二、拓展提高

（1）下列集合中表示同一集合的是

A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}

C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}

b

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ab，则b－a等于





( )

( )

A．1 B．－1 C．2 D．－2

（3）用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数 （4）集合A＝{x|

4

∈Z，x∈N}，则它的元素是 。 x3

2

（5）已知集合A＝{x|-3

（6）已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x－6x＋5=0}

，用∈或填空： 4 A，4 B，5 A，5 B

（7）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n

2

1．用符号“”或“”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A； （2）若A{x|xx}，则1_______A； （3）若B{x|xx60}，则3_______B；

（4）若C{xN|1x10}，则8_______C，9.1_______C．

22

2．用符号“”或“”填空： （1）3

22

_______Q； （2）3______N； （3）_______Q； 7

（4

R； （5

Z； （6

）2_______N． 3．已知A{x|x3k1,kZ}，用 “”或“” 符号填空： （1）5_______A； （2）7_______A； （3）10_______A．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x90的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合； （4）不等式4x53的解集．

5．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；

（2）A{x|(x1)(x2)0}； （3）B{xZ|32x13}．

6．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数yx4的函数值组成的集合；

2

2

2

的自变量的值组成的集合； x

（3）不等式3x42x的解集．

（2）反比例函数y