武汉科技大学概率论期末考试10-11-1试题及答案

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概率论与数理统计A卷共12页第1页

20102010－

－2011学年第1学期概率论与数理统计A卷

考试方式：闭卷统考

考试时间：考试时间：2010.12.19

2010.12.19题

三

四

五

总分号一二

11

12

13

14

15

16

17

18

总分人得分签名

复核人

得分

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B__

|A)等于

（B）1/3；（C）2/3；（D）2/5.

答：（）

2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是

（A）f(x)连续；

（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（C）f(x)的值域为[0,1]；

（D）f(x)非负。

答：（

）

3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；（B）变大；

（C）不变；

（D）无法确定其变化趋势。

答：（）

4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数

f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]2；（B）2∫

z

−∞

f(u)duf(z)；

（C）1−[1−f(z)]2

；

（D）2(1−∫

z−∞

f(u)du)f(z).

答:（）

5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体

N(0,1)的容量为n的简单m

(n−m)2

i样本，则统计量

∑Xi=1n

服从的分布是

m∑X2

ii=m+1

（A）0；

（A）F(n−m,m)（C）F(m,n−m)

得分

（B）F(n−m−1,m−1)（D）F(m−1,n−m−1)

答:

（）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

2

6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的

3

概率为.

(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,

.A=⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0

8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，

0,其它⎩则概率P(Y≤1)=

9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差

Cov(X,Y)=0.6，则D(X−Y)=_______.

10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正

态分布N(µ,0.32)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,得分

0.1.顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）

_

.

得分12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为

⎧2x

⎪2(x+),0

，f(x)=⎨3

⎪0,其它⎩

（1）求概率P(0

1

.X

得分

0,x≤0⎧⎪

13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0

⎪1,x≥1⎩

（1）求常数A；

（2）求P(1/2≤X

得分

14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)=⎧⎨

e−y,

0

⎩0,

其它

，

（1）求概率P(X+Y≤1)；

（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y

是否独立。

-10100.020.060.121

0.08

0.24

0.48

得分

15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.

密

封

区

域

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班级：

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学号：

概率论与数理统计A卷共12页第5页

得分

16、已知总体X服从参数为p(0

P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，

若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。

四、应用题（本大题共1个小题，5分）。

得分

17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，

才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）

五、证明题（本大题共1个小题，5分）。得分

18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为

λke−λ

P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.

k!证明：这只母鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即

(λp)r−(λp)

P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.

r!

2010－2011学年第1学期2010－

概率论与数理统计A卷评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。1、事件A、B独立，且P(A∪B)=0.8,P(A)=0.4，则P(B|A)等于（A）0；

（B）1/3；

（C）2/3；

（D）2/5.

答：（B

2、设f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数,则下列选项正确的是（A）f(x)连续；

（C）f(x)的值域为[0,1]；

（B）P(X=a)=f(a),∀a∈R；（D）f(x)非负。

答：（

3、随机变量X~N(µ,σ2)，则概率P{X≤µ+1}随着σ的变大而（A）变小；

（B）变大；

（C）不变；

（D）无法确定其变化趋势。

答：（A）

D））

__

4、已知连续型随机变量X、Y相互独立,且具有相同的概率密度函数f(x)，设随机变量Z=min{X,Y}，则Z的概率密度函数为（A）[f(z)]；（B）2∫

2

z

−∞

f(u)duf(z)；（C）1−[1−f(z)]；（D）2(1−∫

2

z

−∞

f(u)du)f(z).答:（

D）

5、设X1,X2,⋯,Xm,Xm+1,⋯,Xn是来自正态总体N(0,1)的容量为n的简单样本，则统计

(n−m)∑Xi2

i=1m

量

m∑Xi2

i=m+1

n

服从的分布是

（A）F(n−m,m)（B）F(n−m−1,m−1)（C）F(m,n−m)

（D）F(m−1,n−m−1)

答:（C）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

2

6、某人投篮，每次命中的概率为，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.

3

(x−1)−⎧2⎪,x≥1，则常数A=2.7、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=⎨Ae⎪其它⎩0,

⎧(1−2−x)(1−3−y),x>0,y>0

8、二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=⎨，则概率

0,其它⎩

P(Y≤1)=3.

9、已知随机变量X、Y的方差分别为DX=2,DY=1，且协方差Cov(X,Y)=0.6，则

D(X−Y)10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X（单位：cm）服从正态分布

_

N(µ,0.3)，从某天生产的产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值x＝1.12，则µ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).

（已知z0.025=1.96，z0.05=1.65，t0.025(8)=2.3060，t0.05(8)=1.8595）

三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。

11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8,0.1,0.1.

顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字）解：设B表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；Ai表示取到的一箱中含有i个残品，

2

i=0,1,2，则所求概率为

P(B)=∑P(B|Ai)P(Ai)...............................................................................(5')

i=02

19×18×17×1618×17×16×15

+0.1×...........................(9')

20×19×18×1720×19×18×17

≈0.943...................................................................................................(10')=0.8×1+0.1×

12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为

⎧2x

⎪2(x+0

⎪0,其它⎩（1）求概率P(0

1

.X

2x

P(0

03

1

=....................................................................................................(5')6

（2）由随机变量函数的数学期望的性质

+∞1111=∫f(x)dx=∫2(x+)dx............................................(9')

−∞0Xx3

=5.........................................................(10')

E(

0,x≤0⎧

⎪

13、已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨Aarcsinx,0

⎪1,x≥1⎩（1）求常数A；

（2）求P(1/2≤X

F(1−)=F(1+)⇒Aarcsin1=1...........................................................(1')因此可得

A=2...........................................................................(3')

（2

）由分布函数的性质

P(1/2≤X

22

=2)−arcsin(1/2)=

3............................................(7')ππ0

dx0,其它⎩14、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

⎧e−y,

f(x,y)=⎨

⎩0,

（1）求概率P(X+Y≤1)；

（2）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数fX(x)、fY(y),并判断X,Y是否独立。解：（1）由题意

0

，

其它

P(X+Y≤1)=)dxdy...............................................(2')

{x+∫∫

f(x,yy≤1}

=∫2

1−x

y2

0dx∫

x

e−dy=∫0

(e−x−e−(1−x))dy.....................................(4')

=(1−e−)2................................................................................(5')

（2）由边缘密度函数的定义

f(x)=⎧⎪⎨∫+∞

e−ydy,x>0=⎧e−xx,x>0

X⎪0,其它 ⎨..............................(7')

⎩⎩

0,其它f(y)=⎧⎪⎨∫y

−ydx,y>0−y0e=⎧ye,y>0

Y⎪其它 ⎨⎩0,⎩0,其它.............................(9')

因为当x>0,y>0时，f(x,y)≠fX(x)fY(y)，故X、Y不独立。.........(10')15、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

（1）分别求出(X,Y)关于X、Y的边缘分布律；（2）分别求出EX,EY,DX,DY,ρXY.解：（1）

(X,Y)关于X的边缘密度函数为

X-101⎛00.020.060.12⎜0

1⎞⎝0.20.8⎟⎠

............................(2')1

0.08

0.24

0.48

(X,Y)关于Y的边缘密度函数

为⎛⎜−10

1⎞⎝0.10.30.6⎟⎠

..........................(5')（2）由（1）可得EX=0.8,DX=0.16;EY=0.5,DY=0.45..................(7')

又E(XY)=(−1)×1×0.08+1×1×0.48=0.40.......................................(8')则

ρXY=

===0.................(10')

16、已知总体X服从参数为p(0

P(X=x)=p(1−p)x−1，x=1,2,⋯，若X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个容量为n的简单样本，求参数p的最大似然估计量。

概率论与数理统计A卷

n共12页第11页

解：似然函数为L(p)=∏p(1−p)xi−1............................................................(3')

i=1

对数似然函数ln[L(p)]=nlnp+(∑xi−n)ln(1−p)..............................(5')

i=1n

n−∑xidln[L(p)]ni=1令 =0⇒+=0.....................................................(8')dpp1−p

p的最大似然估计量p=n^n...................(10')∑X........................................i

i=1n

四、应用题（本大题共1个小题，5分）。

17、一系统由n个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有

80%的部件正常工作，系统才能运行。问n至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知Φ(1.65)=0.95）

解：设X表示n个部件中正常工作的部件数，则X∼b(n,0.9).................(1')

由中心极限定理X∼N(0.9n,0.09n)......................................................(2')

由题意，要求满足P(近似X≥80%)≥0.95的最小的n

，而n

≥≥0.95P(X≥0.8n)≥0.95⇒P⇒Φ≥0.95=Φ(1.65)⇒≥1.65⇒n≥24.5.......................(4')

即n至少为25............................................................................................(5')

五、证明题（本大题共1个小题，5分）。

18、已知一母鸡所下蛋的个数X服从参数为λ的泊松分布，即X的分布律为

λke−λ

P(X=k)=,k=0,1,2,⋯，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p.证明：这只母k!

鸡后代（小鸡）的个数Y服从参数为λp的泊松分布，即

(λp)r

−(λp)P(Y=r)=e,r=0,1,2⋯.r!

证明：由题意，对任r=0,1,2⋯

概率论与数理统计A卷共12页第12页P(Y=r)=∑P(Y=r|X=k)P(X=k)............................................(2')

k=r+∞

⎛k⎞re−λλrpr+∞λk−rk!k−rk−rp(1−p)=(1−p)........(3')∑⎜r⎟r!k=rk!(k−r)!⎝⎠

e−λ(λp)r+∞λk−re−λ(λp)rλ(1−p)k−r=(1−p)=e∑r!r!k=r(k−r)!λke−λ=∑k!k=r+∞

e−(λp)(λp)r

=.....................................................................................(5')r!