有关圆的轨迹问题
平面曲线是指满足某种条件的点的轨迹。平面内与定点的距离等于定长(非零)的点的轨迹是一个圆,除此以外,满足一定条件的点的轨迹也可以是一个圆或是圆的一部分。
侧,一动点到正三角形三边的距离的平方和是常数m(m为非负常数),试求此动点的轨迹。
解:为求动点的轨迹,可先求此动点的轨迹方程,为此需建立适当的坐标系。利用正△ABC的对称性,可取AB边所在的直线为z轴,此边上的高所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图1)。
设正△ABC的边长为
2口,则正△ABC三边所在的
yq
一。毒一、謇蓦o,可得霹。孙裂
4
2
爱了12竺些简!了
直线方程为√3z—y+ ̄/3盘一
O,√3z+j,一√3口一0,y=0。
/分。
图1
萎嚣纛2舌嚣篡h
这就是点N的轨迹方程。
娄迹
用两
I。-
所以点N的轨迹是圆
题
设所求动点的坐标为P(z,y)。由题意可得:
f紫]2+[紫]2+
l师J【而j
2+(y一譬口)‘
{z,一笋:z叫?’点N(工,,y7)的坐标满足条件F(z,,
y
y
2一m(m为非负常数)。化简可得z
7)一o,将{z,一了}z∥?’代入F(z,,y7)一o,化简中
掌
生理
求此两条动直线交点的轨迹。解:由已知条件可得直线
数
丫匕
一÷(m一丑2),这就是动点的轨迹方程。
当m>n2时,所求动点的轨迹是圆心为
(o’每口)凇为√詈(研《)的圆;当优引吼
所求动点的轨迹是点(o,导以);当o≤m<口2时,所
求动点的轨迹不存在。
评析:求轨迹方程的一般步骤是:(1)建立适当的直角坐标系,设轨迹上的任意一点M的坐标为(z,y);(2)写出点M的运动条件p(M);(3)用坐标表示条件p(M),列出方程厂(z,y)一O;(4)化方程,(z,了)一0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在轨迹上(此步可以省略,但在特殊情况下必须加以说明)。
倒2在平面坐标系zOy中,M是直线Z:z一5上任意一点,反向延长0M至N,使fOMf・fN0一40。当点M在直线Z上运动时,求点N的轨迹。
解:设点N的坐标为(z,y),点M的坐标为(5,
yo)。
高
7<
~y
£,z
7的方程分别为:
三+;一1
乜
£
①,』’_+;一乜
f
一1
②。
由①②可解得两条动直线
f
盘(z一£7)
/
么,
D
≮
4\,
使
用
图2
交点的坐标为{2;广‘
p一再7’
且££7一口2。
这里£∥是两个变量,
由方程①②和££7一口2消去£,£7,可得两条动直线交点的轨迹方程为z2+y2一乜2(y≠O)。
所以两条动直线交点的轨迹是以(O,O)为圆心,I口I为半径的圆(除去两点(±n,0))。
评析:本题求轨迹方程采用的是参数法:动点M(z,y)的坐标与同一个变量£(参数)有函数关系
因为点N是反向延长0M得到的,所以点N的
坐标与点M的坐标满足挲一兰,即y。一型(z<o)。
由lO.MI・IN0I一40,可得 ̄/25+y:・
{亏三二:;;’ct∈。,,由此消去参数t,化简即得点M
的轨迹方程厂(z,y)一O。
(责任编辑郭正华)
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万方数据