辽宁省五校协作体2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
辽宁省五校协作体2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，b}，若A ∩B= A ． {﹣1，}
2．（5分）圆（x+2）+（y+1）=1关于直线y=x﹣1对称的圆的方程为（）
222222 A ． x +（y ﹣3）=1 B ． x +（y+3）=1 C ． （x ﹣3）+y=1 22+y=1
3．（5分）如果幂函数 A ． n =1或n=2
B ． n =1或n=0
2
2a
，则A ∪B=（）
D ． {1，，b}
B ． {1，} C ． {﹣1，，1}
D ． （x+3）
的图象不过原点，则取n 值为（） C ． n =1
D ． n =2
4．（5分）函数f （x ）=lnx+x 的零点所在的区间是（） A ． （1，+∞）
B ．
C ．
D ． （﹣1，0）
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（）
A ． 16π B ． 14π C ． 12π D ． 8π 6．（5分）若点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax+y+1=0的距离相等，则实数a 的值为（） A ．
B ．
C ． 或
D ． ﹣
或﹣
7．（5分）若g （x ）=1﹣2x ，f[g（x ）]= A ． ﹣27
B ．
，则f （4）=（） C ． 9
D ．
8．（5分）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A （，，），B （，，0），C （
，，），则（）
A ． O A ⊥AB B ． A B ⊥AC C ． A C ⊥BC D ． O B ⊥OC 9．（5分）α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β．若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
10．（5分）已知f （x ）=
实数a 的取值范围是（） A ． （0，3） B ． （1，3）
是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么
C ． （1，+∞） D ．
11．（5分）已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（） A ．
B ．
C ．
D ．
12．（5分）定义min[f（x ），g （x ）]=，若函数f （x ）=x+tx+s
2
的图象经过两点（x 1，0），（x 2，0），且存在整数m ，使得m ＜x 1＜x 2＜m+1成立，则（） A ． m in[f（m ），f （m+1）]＜ C ． m in[f（m ），f （m+1）]=
B ． m in[f（m ），f （m+1）]＞ D ．min[f（m ），f （m+1）]≥
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
2
13．（5分）设二次函数f （x ）=ax﹣2ax+c在区间[0，1]上单调递减，且f （n ）≤f （0），则实数n 的取值范围是．
14．（5分）过原点O 作圆x +y﹣6x ﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M ，N ，则线段MN 的长为．
2
2
15．（5分）已知正方形ABCD 的边长是4，若将△BCD 沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折过程中，四面体C ﹣ABD 的体积的最大值是．
16．（5分）已知偶函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+3）=﹣
，且当x ∈[﹣3，﹣2]时，
f （x ）=4x，则f=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x ）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3} （1）求A ∩∁U B
（2）已知C={x|2a＜x ＜a+1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P （2，0）作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y=x 上时，求直线AB 的方程．
19．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是棱A 1B 1、AA 1、B 1C 1的中点．
（1）求证：BF ⊥平面ADE ；
（2）是否存在过E 、M 两点且与平面BFD 1平行的平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
20．（12分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a
（1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的
函数关系式近似为y=a•f （x ），其中．
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，
当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．
21．（12分）已知圆⊙C ：x +y+2x﹣4y+1=0
（1）若圆⊙C 的切线在x 轴，轴上截距相等，求此切线方程；
（2）从圆⊙C 外一点P （x 0，y 0）向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM|=|PO|
，求使
取最小值时P 点的坐标．
22．（12分）对于定义域为A 的函数y=f（x ），若同时满足下列条件：①f （x ）在A 内具有单调性；②存在区间[a，b ]⊆A ，使f （x ）在[a，b ]上的值域为[a，b ]；则称f （x ）为闭函数． （Ⅰ）求闭函数y=﹣x 符合条件②的区间[a，b ]； （Ⅱ）判断函数f （x ）=（Ⅲ）若函数f （x ）=k+
是否为闭函数？并说明理由；
是闭函数，求实数k 的取值范围．
3
2
2
辽宁省五校协作体2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，b}，若A ∩B= A ． {﹣1，}
B ． {1，}
a
，则A ∪B=（）
D ．{1，，b}
C ． {﹣1，，1}
考点： 并集及其运算． 专题： 集合．
分析： 根据集合关系即可得到结论．
解答： 解：∵A ∩B=
a
，
∴2=，解得a=﹣1，则B={﹣1，b}， 则b=，即B={﹣1，}， 则A ∪B={﹣1，，1}，
故选：C
点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）圆（x+2）+（y+1）=1关于直线y=x﹣1对称的圆的方程为（）
22222222 A ． x +（y ﹣3）=1 B ． x +（y+3）=1 C ． （x ﹣3）+y=1 D ．（x+3）+y=1
考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆．
分析： 根据圆的对称的性质求出对称圆的圆心即可．
22
解答： 解：圆（x+2）+（y+1）=1的圆心为C （﹣2，﹣1），半径r=1， 设圆心C （﹣2，﹣1）关于直线y=x﹣1对称的点的坐标为（a ，b ），
22
则满足
2
，解得a=﹣3，b=0，即对称圆的圆心为（﹣3，0），
2
则对称圆的方程为x +（y+3）=1， 故选：B
点评： 本题主要考查圆的方程的求解，利用圆的对称性求出圆心坐标是解决本题的关键．
3．（5分）如果幂函数
A ． n =1或n=2 B ． n =1或n=0
考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
的图象不过原点，则取n 值为（）
C ． n =1
D ．n=2
分析： 幂函数＜0，解出即可． 解答： 解：∵幂函数
2
2
的图象不过原点，可得n ﹣3n+3=1，n ﹣n ﹣2
22
的图象不过原点，
∴n ﹣3n+3=1，n ﹣n ﹣2＜0，
解得n=1或2． 故选：A ．
点评： 本题考查了幂函数的图象与性质、一元二次不等式与方程的解法，属于基础题．
4．（5分）函数f （x ）=lnx+x 的零点所在的区间是（） A ． （1，+∞）
B ．
C ．
D ．（﹣1，0）
考点： 函数零点的判定定理．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意知函数f （x ）=lnx+x 是定义域上的增函数，且连续；从而由零点判定定理判断．
解答： 解：易知函数f （x ）=lnx+x 是定义域上的增函数，且连续； 而f （）=﹣1+
•＜0， f （1）=＞0；
故函数f （x ）=lnx+x 的零点所在的区间是
；
故选：B ．
点评： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（）
A ． 16π B ． 14π
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．
C ． 12π D ．8π
分析： 几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，代入球的表面积公式可得答案． 解答： 解：由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分， 球的半径为2，
∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×2+π×2=16π． 故选：A
2
2
点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 6．（5分）若点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax+y+1=0的距离相等，则实数a 的值为（） A ．
考点： 专题： 分析： 解答： ∴
B ．
C ．
或
D ．﹣或﹣
点到直线的距离公式． 直线与圆．
利用点到直线的距离公式即可得出． 解：∵两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax+y+1=0的距离相等，
=，化为|3a+3|=|6a+4|．
∴6a+4=±（3a+3）， 解得a=﹣，或a=﹣，
故选：D
点评： 本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
7．（5分）若g （x ）=1﹣2x ，f[g（x ）]= A ． ﹣27
B ．
，则f （4）=（） C ． 9
D ．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据解析式令g （x ）=1﹣2x=4求出x 的值，再代入解析式求值．
解答： 解：由题意得，g （x ）=1﹣2x ，f[g（x ）]=令g （x ）=1﹣2x=4，解得x=
，
，
所以f （4）=f（）====，
故选：D ．
点评： 本题考查复合函数的函数值，注意自变量的值，属于基础题．
8．（5分）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A （，，），B （，，0），C （
，，），则（） A ． O A ⊥AB
B ． A B ⊥AC
C ． A C ⊥BC
D ．OB ⊥OC
考点： 空间两点间的距离公式．
专题： 计算题；空间位置关系与距离．
分析： 利用空间两点间的距离公式，结合勾股定理，即可得到结论．
解答： 解：∵A （，，），B （，，0），C （，，）， ∴
|AB|=，|AC|=
2
2
2
，
|BC|=，
∴|AC|+|BC|=|AB|，∴AC ⊥BC ， 故选C ．
点评： 本题考查空间两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．（5分）α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β．若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．3
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 探究型；空间位置关系与距离．
分析： 分别利用线面垂直的性质及面面垂直的判定、面面垂直的性质及线面平行的判定，即可得到结论． 解答： 解：∵α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，①l ⊥α，②l ∥β，③α⊥β， ∴以①②作为条件，③作为结论，即若l ⊥α，l ∥β，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定，可得α⊥β，故是真命题；
以①③作为条件，②作为结论，即若l ⊥α，α⊥β，根据面面垂直的性质及线面平行的判定，可得l ∥β，故是真命题；
以②③作为条件，①作为结论，即若l ∥β，α⊥β，则l ⊥α，或l 与α相交，故是假命题． 故选C ．
点评： 本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查学生的推理能力，属于中档题．
10．（5分）已知f （x ）=实数a 的取值范围是（） A ． （0，3）
考点： 专题： 分析： 解答：
B ． （1，3）
是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么
C ． （1，+∞） D ．
函数单调性的性质．
函数的性质及应用．
根据一次函数以及指数函数的性质，结合函数的单调性得到不等式组，解出即可． 解：由题意得：
，解得：≤a ＜3，
故选：D ．
点评： 本题考查了一次函数，指数函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题． 11．（5分）已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）
A ． B ．
C ．
D ．
考点： 球的体积和表面积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，求出外接球半径，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的球体重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．
解答： 解：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，则该正四面体的外接球半径为，
若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的球体重合，
因为由小球与其它四球外切，所以球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，
所以所求小球的半径为﹣2． 故选A ．
点评： 本题考查棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为1的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．
12．（5分）定义min[f（x ），g （x ）]=
，若函数f （x ）=x+tx+s
2
的图象经过两点（x 1，0），（x 2，0），且存在整数m ，使得m ＜x 1＜x 2＜m+1成立，则（） A ． m in[f（m ），f （m+1）]＜ C ． m in[f（m ），f （m+1）]=
B ． m in[f（m ），f （m+1）]＞ D ． m in[f（m ），f （m+1）]≥
考点： 分段函数的应用．
专题： 综合题；函数的性质及应用．
22
分析： 由函数f （x ）=x+tx+s的图象经过两点（x 1，0），（x 2，0），可得f （x ）=x+tx+s=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）
进而由min{f（m ），f （m+1）}≤
2
和基本不等式可得答案．
解答： 解：∵函数f （x ）=x+tx+s的图象经过两点（x 1，0），（x 2，0），
∴f （x ）=x+tx+s=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2） ∴f （m ）=（m ﹣x 1）（m ﹣x 2），f （m+1）=（m+1﹣x 1）（m+1﹣x 2）， ∴min{f（m ），f （m+1）}≤
=
2
≤
又由两个等号不能同时成立 故min[f（m ），f （m+1）]＜
=
故选：A
点评： 本题考查的知识点为分段函数的应用，考查二次函数的性质，基本不等式，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
2
13．（5分）设二次函数f （x ）=ax﹣2ax+c在区间[0，1]上单调递减，且f （n ）≤f （0），则实数n 的取值范围是[0，2]．
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
2
分析： 二次函数f （x ）=ax﹣2ax+c图象的对称轴为x=1；故可判断a ＞0，从而化f （n ）≤f （0）为|n﹣1|≤|0﹣1|；从而解得．
2
解答： 解：二次函数f （x ）=ax﹣2ax+c图象的对称轴为x=1；
2
∵二次函数f （x ）=ax﹣2ax+c在区间[0，1]上单调递减， ∴a ＞0；
故由f （n ）≤f （0）知， |n﹣1|≤|0﹣1|；
故实数n 的取值范围是[0，2]， 故答案为：[0，2]．
点评： 本题考查了二次函数的性质与图象的判断与应用，属于基础题．
14．（5分）过原点O 作圆x +y﹣6x ﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M ，N ，则线段MN 的长为．
考点： 圆的切线方程． 专题： 计算题；直线与圆．
分析： 先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos ∠OCM ，二倍角公式求出cos ∠MCN ，三角形MCN 中，用余弦定理求出|MN|．
2222
解答： 解：圆x +y﹣6x ﹣8y+20=0 可化为 （x ﹣3）+（y ﹣4）=5，
22
圆心C （3，4）到原点的距离为5．故cos ∠OCM=∴cos ∠MCN=2cos∠OCM ﹣1=﹣，
2
，
∴|MN|=（
2
）+（
2
）+2×（
2
）×=16．∴|MN|=4．
2
故答案为：4
点评： 本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长． 15．（5分）已知正方形ABCD 的边长是4，若将△BCD 沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折过程中，四面体C ﹣ABD 的体积的最大值是
．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 当平面BCD ⊥平面ABD 时，三棱锥C ﹣ABD 的高最大为CO ，利用正方形的性质与三棱锥的体积计算公式即可得出． 解答： 解：如图所示，
当平面BCD ⊥平面ABD 时，三棱锥C ﹣ABD 的高最大为CO ，
∴V C ﹣ABD =
故答案为：
．
==．
点评： 本题主要考查了正方形的性质与三棱锥的体积计算公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．
16．（5分）已知偶函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+3）=﹣f （x ）=4x，则f=．
考点： 函数奇偶性的性质；函数的值． 专题： 函数的性质及应用．
，且当x ∈[﹣3，﹣2]时，
分析： 根据f （x+3）=﹣求出函数的周期，由偶函数的性质、函数的周期性将f 转
化为f （﹣5），利用恒等式和解析式求出f 的值． 解答： 解：因为偶函数f （x ）满足f （x+3）=﹣所以f （x+6）=﹣
=f（x ），
，
则函数f （x ）的周期是6，
因为当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）=4x，函数f （x ）是偶函数，
所以f=f（6×335+5）=f（5）=f（﹣5）=﹣故答案为：．
=，
点评： 本题考查利用函数的奇偶性、周期性求函数的值，考查了转化思想，解题的关键是求出函数的周期．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x ）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3} （1）求A ∩∁U B
（2）已知C={x|2a＜x ＜a+1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．
考点： 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题；集合．
分析： （1）首先化简集合A ，B ，再求A ∩C U B ； （2）注意讨论C 是否是空集，从而解得． 解答： 解（1）∵（x+3）（4﹣x ）≤0， ∴A=（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）， ∵0＜x+2＜8， ∴B=（﹣2，6），
∴A ∩C U B=（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）；
（2）①当2a ≥a+1，即a ≥1时，C=∅，成立；
②当2a ＜a+1，即a ＜1时，C=（2a ，a+1）⊆（﹣2，6）， ∴
得﹣1≤a ≤5，
∴﹣1≤a ＜1．
综上所述，a 的取值范围为[﹣1，+∞）．
点评： 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题． 18．（12分）如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P （2，0）作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y=x 上时，求直线AB 的方程．
考点： 待定系数法求直线方程． 专题： 直线与圆．
分析： 由题意分别求出直线OA 、OB 的方程，由方程设出A 、B 的坐标，由中点坐标公式求出点C 的坐标，利用C 在直线
上和三点共线：斜率相等，列出方程组求出方程的解，
即可求出A 的坐标，结合P （2，0）求出直线AB 的斜率，代入点斜式方程再化简即可得直线AB 的方程．
解答： 解：由题意可得k OA =1，
，
．
所以直线OA 的方程为y=x，直线OB 的方程为设A （m ，m ），B （﹣
n ，n ），
，
所以AB 的中点C 的坐标为因为点C 在
直线上，且A 、P 、B 三点共线，
所以，解得，…（8分）
所以
又P （2，0），所以
．
，
（x ﹣2），即
．…（12分）
所以直线AB 的方程为：y=
点评： 本题考查直线的有关知识：中点坐标公式、点斜式方程、三点共线：斜率相等，以及方程思想，考查计算能力．
19．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是棱A 1B 1、AA 1、B 1C 1的中点．
（1）求证：BF ⊥平面ADE ；
（2）是否存在过E 、M 两点且与平面BFD 1平行的平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
考点： 平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）通过证明△ABF ≌△A 1AE ，推出AE ⊥BF ．然后证明AD ⊥BF ，利用在与平面垂直的判定定理证明BF ⊥平面ADE ．
（2）设点N 在棱BB 1上，且B 1N=BB 1，连接ME 、NE 、MN ，则平面EMN ∥平面BFD 1．证明EN ∥A 1H ，EN ∥BF ．证明EN ∥平面BFD 1．MN ∥平面BFD 1．然后证明平面EMN ∥平面BFD 1．
解答： （1）证明：在正方形ABB 1A 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点， ∴△ABF ≌△A 1AE ，∴∠ABF=∠A 1AE ．∴∠A 1AE+∠AFB=∠ABF+∠AFB=90°，∴AE ⊥BF ．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，BF ⊂平面ABB 1A 1， ∴AD ⊥BF ．∵AE ∩AD=A，∴BF ⊥平面ADE ．
（2）解：如答图，设点N 在棱BB 1上，且B 1N=BB 1，连接ME 、NE 、MN ，则平面EMN ∥平面BFD 1．证明如下：取BB 1的中点H ，连接A 1H 、C 1H ．
∵E 、N 分别是A 1B 1、B 1H 的中点，∴EN ∥A 1H ．∵A 1F ∥HB ，且A 1F=HB， ∴四边形A 1FBH 是平行四边形．∴A 1H ∥BF ．∴EN ∥BF ． ∵EN ⊄平面BFD 1，BF ⊂平面BFD 1，∴EN ∥平面BFD 1．
同理MN ∥平面BFD 1．又MN ∩EN=N，∴平面EMN ∥平面BFD 1．
点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理，平面与平面平行的判定定理的证明，考查空间想象能力逻辑推理能力． 20．（12分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a
（1≤a ≤4，且a ∈R ）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的
函数关系式近似为y=a•f （x ），其中．
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，
当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题．
分析： （Ⅰ）由a=4，得y=a•f （x ），即
值范围．
（Ⅱ）要使接下来的4天中能够持续有效治污，即当6≤x ≤10
时，
；令y ≥4，解得x 的取
≥4恒成立，求y 的最小值，令其≥4，解出a 的
最小值．
解答： 解：（Ⅰ）因为a=4，所以则当0≤x ≤4时，由
，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4，
；
当4＜x ≤10时，由20﹣2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8；
综合，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． （Ⅱ）当6≤x ≤10
时，
=
，
因为，14﹣x ∈[4，8]，而1≤a ≤4，
所以，，由基本不等式得，当且仅当时，y 有最小值为； 令，解得，所以a 的最小值为． 点评： 本题考查了分段函数模型的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应分区间考虑函数的解析式，是易错题．
21．（12分）已知圆⊙C ：x +y+2x﹣4y+1=0
（1）若圆⊙C 的切线在x 轴，轴上截距相等，求此切线方程；
（2）从圆⊙C 外一点P （x 0，y 0）向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM|=|PO|
，求使
取最小值时P 点的坐标．
2
2
=
考点： 直线和圆的方程的应用；圆的切线方程． 专题： 直线与圆．
分析： （1）先设圆的切线方程，根据相切和截距相等解即可；
（2）先求出点P 满足的关系，再根据解答： 解：⊙C ：x +y+2x﹣4y+1=0． 圆心C （﹣1，2），半径r=2．
（1）若切线过原点设为y=kx（k ≠0）， 则
，∴
．
2
2
的几何意义求解即可．
若切线不过原点，设为x+y=a， 则
∴切线方程为：（2）由|PM|=|PO|得
，∴
，
，
…（6分） ，
∴2x 0﹣4y 0+1=0，由
几何意义知最小值为
此时设l ：y ﹣0=﹣2（x ﹣2）即y=﹣2x+4，将其与2x ﹣4y+1=0联立求出此时…
（12分）
点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 22．（12分）对于定义域为A 的函数y=f（x ），若同时满足下列条件：①f （x ）在A 内具有单调性；②存在区间[a，b ]⊆A ，使f （x ）在[a，b ]上的值域为[a，b ]；则称f （x ）为闭函数．
3
（Ⅰ）求闭函数y=﹣x 符合条件②的区间[a，b ]； （Ⅱ）判断函数f （x ）=
是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x ）=k+是闭函数，求实数k 的取值范围．
考点： 函数单调性的性质；进行简单的合情推理． 专题： 计算题；新定义；函数的性质及应用．
3
分析： （Ⅰ）由题意，y=﹣x 在[a，b ]上递减，由新定义，得到方程，解得a ，b 即可得到所求区间；
（Ⅱ）函数不是闭函数．可通过取特殊值检验即可判断；
2
2
（Ⅲ）由新定义即有a ，b 为方程的两个实根，即方程x ﹣（2k+1）x+k﹣3=0（x ≥﹣3，x ≥k ）有两个不等的实根．对k 讨论，当k ≤﹣3时，当k ＞﹣3时，运用二次函数的图象和性质得到不等式组解得即可．
3
解答： 解：（Ⅰ）由题意，y=﹣x 在[a，b ]上递减，
则解得，
所以，所求的区间为[﹣1，1]； （Ⅱ）函数
理由如下：取x 1=2，x 2=4，则
即f （x ）不是（0，+∞）上的减函数． 取
，则
，
不是闭函数．
，
f （x ）不是（0，+∞）上的增函数，
所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数； （Ⅲ）若
是闭函数，则存在区间[a，b ]，在区间[a，b ]上，
，
函数y 的值域也为[a，b ]，即
即有a ，b 为方程的两个实根，
22
即方程x ﹣（2k+1）x+k﹣3=0（x ≥﹣3，x ≥k ）有两个不等的实根．
22
设g （x ）=x﹣（2k+1）x+k﹣3
当k ≤﹣3时，有，解得．
当k ＞﹣3时，有，无解
综上所述，．
点评： 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．