微积分作业(应用题6题)

应用题：

1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本;

(2)当生量x为多少时,平均成本最小?

解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

100 +0.25X+6,,C (X)=0.5X+6 X

100所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c(10)= +0.25×10+6=18.5C(10)=0.5×10+6=11 10C（X）=100+0.25X2+6X c(X)=

100(2)令C'=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去) X2

因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.

2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q为需求量,p为价格).试求:

(1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大?

解：（1）成本函数C（q）=60q+2000

1112q所以收入函数R（q）=p×q=(100－q)q=100q－ q 101010

11（2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q－ q2－(60q+2000) =40q－ q2－2000 1010

12且L'(q)=(40q－ q－2000)’=40－0.2q 10

令L'(q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 因为q=1000－10p,即p=100－

所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。

3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的

试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少?

1、 解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)

=250000－400p

R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2

利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令

L'(p)=2400－8p=0

得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。

（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)

4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q2 (元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:

2、 解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)

=250000－400p

R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2

利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令

L'(p)=2400－8p=0

得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。

（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)

(1)产量为多少时可使利润达到最大? (2)最大利润是多少?

5.某厂每天生产某产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2 +36q+9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?

6.已知某厂生产q件产品的成本为C(q)=250+20q+ q2 (万元).要使平均成本最 10

少,应生产多少件产品?

答案：

3、 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C（X）=100+0.25X2+6X

c(X)=100 +0.25X+6,,C (X)=0.5X+6 X

100+0.25×10+6=18.5 10所以,C(10)=100+0.25×102+6×10=185 c(10)=

C(10)=0.5×10+6=11

100(2)令C'=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去) X2

因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小.

4、 解：（1）成本函数C（q）=60q+2000

因为q=1000－10p,即p=100－1q 10

11q)q=100q－ q2

1010

1（2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q－ q2－(60q+2000) 10

1 =40q－ q2－2000 10

12且L'(q)=(40q－ q－2000)’=40－0.2q 10所以收入函数R（q）=p×q=(100－

令L'(q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L（q）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。

5、 解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)

=250000－400p

R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2

利润函数L（p）=R(p) －C(p)=2400P－4p2－250000,且令

L'(p)=2400－8p=0

得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。

（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)

4、解：（1）由已知R=qp=q(14－0.04q)=14q－0.01q2

利润函数L=R－C=14q－0.01q2－20－40q－0.01 q2=10q－20－0.02q2

则L'=100－0.04q,令L'=10－0.04q=0，解出唯一驻点q=250

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大。

（2）最大利润为

L（250）=100×250－20－0.02×2502=2500－20－1250=1230（元）

5、解：因为C(q)= C(q)9800=0.5q+36+(q>0) qq

98009800)’=0.5- qq2 C'(q)=(0.5q+36+

令C'(q)=0 ，即0.5－9800=0，q1=140,q2=－140得 （舍去）。 q2

q1=140是C'(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。 所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量成为140件，此时的平均成本为

C(140)=0.5×140+36+

9800=176(元/件) 140

6、解：（1）因为C(q)= C(q)250q=+20+ qq0q

q2502501+20+）’=－+ 10qq210C'(q)=（

令C'(q)=0， 即－2501+=0，得q1=50，q2=－50（舍去）。 q210

q1=50是C(q)其定义域内的唯一驻点。 所以，q1=50是C(q)最小值点，即要使平均成最小，应生产50件产品。