量子力学复习题
第一:章
、一波粒二性象: 、1缝衍射单双、缝涉证干明具光波有动,性 黑辐射、光电体效证明光应具粒子性。有 2、波数具函相位有不定性,即的 r( )与
pd y
2 dp z (p )dp x 。
x 2/2
3、设 粒子波函的为数 x () Ae
2
,求
归
一化
常 A数 。说明 并( x)dx 的物意 理义。【 注 : 利请用 高斯 积 公 分式 a
x ed x
2
ei(r ) 述描的同一是量子个态。
、3用电子的平使波面函解数双缝释涉干 实,验题见例第一章业作 4、结。合 ohBn的 计诠释,统解什么是波释 粒象性。二波粒二象 性指物质是时同具备的波性及 特粒子的特。在测量中性,微粒观体子现不 可出割分特性,的现体粒子性了,但子在空 粒上的分布却由波函数来描述间根据 ,oBnh 统计的释,诠 粒在子间某空点近附现出概的 正比于该率点的波数的模函的方。 波函平数 的化演波动由方(程薛谔定程方)决定来 ,体了现观微粒的子动性波 。、波二数的意函:义
】
a 2
解:归2化条一件
是
( ) xd Ax1
1
2
ex dx A
2
1
A
4 ( x)
2
14
1
1 ex 2 2
( x) d x的物 理意义在位置 (是x, x dx
)围范中找到粒的子率。概 这里A 只取数实相当,自于相由子取为因1 了。 4、设 粒在动子空量间的函波数为
(r ) r、设粒1子波函的数是 则,位置 在
的处体 积元 xy 中 z找 到粒 子 概的 率 是
2( r )xz y在。位置( x, x d x 之间找
到
)
(
p )Ae p 2 ,求归一/化常 A 。并数明 说 ( ) dp p的理物意。
解义:归化条件一
2
是
2
2
子
粒
的
概
是
率
dy
2 dz (r) x 。d
( )pdx
1
A
2
1
pe pd A
2
2
1
2设粒子在、动量空间的函数是波 ( p ) ,
则在动量p 处 的体元 积pxp y p 中找到z 粒的子率是 概 (p ) x ppy p z 则粒 子量 动 ( 在p x, px px )d 围范 内的 概 率
是
A
(4 p )2
1
2
4
1
e
1 p 22
(p ) d p的 物 意理 义 在 是动 量
(p, p dp) 范围找内粒子的到概。
这里 A率只 实取,数相当于自由因相取子为1
1
了。
三、 坐表标象动和表量 象、在1一空维中,动量为间 p 0动的本量征态用 irDa 符号表示为c 0p, 它 坐标表象 下的形在为 式x 0 p
p
( p
)pd
p
2 * ( p) p ( p)dp
1 (2 )/2 1 1 ( 2 )1/ 2
1ei 0px
/ ,在 它12/(2 )
1
( 2)12/ 1(2 )12/
ipx / p p )dp ( ( x) exd *ip x/ (pp )d p (x) ed x
*
* ( x) pei p / xdx (p )d
p *( )x i e ix p/ xd ( p) dp x eipx/ ( p d)p dx
动量表象下的形
式为p p0 ( p p 0 ) 。、2在一空维中间位,为 x0置 位置本的征态用 Drica符 表示为 号x 0 它在,标坐象下 的形表为 x式x 0 (x x ) 0它,动在表量 下象形式的 p为 x0
交
积换顺分,序先p
1 e 积 xi0 p/ 。 12/ 2()
1 *(x ) i x (2 1)/2 (*x ) i ( xd)x x * ( x ) p ( )dx
x
所 在 以坐标 象表下,动 量符算的形 式 是
3动、表量下的波象函数坐标和象下表波的函数的 系。关
p xi
四、定谔方薛 1、 程出写势场 V在(r 中的)子满粒足薛的定 谔方。
4、程证:明在一空间中维坐标,表象下动量算符的 式是 形i
。 x
2
、写出在 势场V (r )的中粒子满足能量本 的方程征
。
明证: 一维的函数波的标表坐象和动表象量的 关系
是
(x )
1
(2 )/1 12 ( p ) (2 1/2
)
(x)e i px /xd
五
、流密 1 度 在一 维 空 中 ,间概 率 密 度
( )ex px i/d
x ( x
, t ) * (x t, ) ( , tx ,利用薛)定谔方
程证明 率 流概 密 度 的 形 式
为根据波
数函在动空间的统计诠释, 动量平量均值是
j (x ,t )
i
* * 2m xx
2
证:一维明薛定的方谔是程
对
粒子测量 A该 个力学这量, 么那我们得
测i
2 2 ( , t ) x ( x )V ( x ,t ) 2 t m 2x
a 和1a2 概率的是各多?少(
)2果某如次测量子的粒A 这个 力学得 到量了结果a 2, 写出 测量后时刻该的子粒波的 数函。解 (: ) 1 测到A a 1的 概率
是,————————————(1)两 取边复共轭得
到 2 2 * *i ( x ,t ) V( x ) (x ,t ) 2t m2 x
———————————(—2
) ( 1 ) 2)( 到得
,
p*1
测
22
2 1 i到
2
2
2
,3
概 率的是
i
* t 2 * 2 * 2 2m x 2x2 2 * *
2m x x x 2 ( , x )t ( x, t ) tti * * m2x xx
Aa21 i
22
2p
2
1 i
2
1
, 3
2(): 2答 、六量态子演化 掌握:求的初态解化演题的常问解法规,分三步: (1 )能解量征本题,求问出系一的本列征能 量和本态; 征2()态在初本征态各分下解,用内 的方法求出积分解数系 (3;)项各配 动上力学因子即为相演化的解。 例题假:粒设的子量本征方程能
为于
是
根
据物 质 概 率 密 度 和流 的 关
系
( x t ), j x,(t )t x
以所 j( ,x t)
H n
E n ,nn 1 , ,3..2.
1)(如 一果个粒子 t在 0 时刻处状态于
i * * m2 x x
(0) c nn ,对则于后其的意任
n
时、五理物量测的量,子态量坍缩的 理解 物理量的:可能测得的是值物该量算理符 本的征值,而 测该值的概得是量率态子 该在征态本上解分系的模的平数。方 得测值 某,后子态量刻立坍缩成该值对应本征态的
。刻
t ,波数 函( t)将 是怎的?样 (2 如)某果测次粒子的能量量到了结得
果
1 ,E出写测量后的瞬间粒该的子波数。
答:1、函 t ( ) 、 2 1
A 的本方征程 例题是 :假设个一力量学符算 a A 11 ,1( 1, 已2经一化归 ) A a 2 22
(1如)果 一个 子粒处 于 状 态, 2 1 1 (i ) 2 (波数函未归做一)
化c
enn
Enit /
n
二第:
章一一、势维场能本量征的一态性质:般
3
1势、是的实,能本量征波数函一定是函实 数吗 否,?为因由相因自子以可复是,数或又者 反射在透射问中题, 本征波函就可数取以为 函数。复 、2当势是实数,能函本量征波函总数可 以为取函数实证明见。书上 p72 3。、 势具空间有射反变不性本,征波函数一 定有确的定称宇?吗否, 如比有并的简候时就以可合组没有确 定宇称出的本波函数征, 比在如反射射透问 题,本征中函波数就有没确的定称。宇 4 势具有空、间射反变性,不果如级能 简并无,本征波则函一定数确有的宇定, 证称见明书 上p2。8 、 当势具5空有间反射变不性
、1在间各空会写出区量能本征方。程 2、在任何量区能间,何空任区间域写波出 数函的式形 (1能)量 E V , 处式是通 ( x) Ae ik xe Bkxi 但还,要会 根实据际情写况出最简的式,比形如 果如左是入侧区射, x( ) e ikx Re ixk如 果右侧出是射区, (x ) S iekx 如果是间区, ( 中x )Ae ki x B iek (x)2能量E V,
处通式是 (x) Ae Bxe x, 但要还根 据实会际情况写最出的简式,比如形在左侧 的经典禁, (区 x ) A e x 在右侧经禁典区, (x) e B x 如是中间区果, (x ) Ae x eB x还会要根据称选宇系数择,如比,宇偶态称
V( x V ()x) 时粒子,能量本的征函波数可
具有偶宇称能( x) ( ) ,x也能可 具奇有称宇( x )( x 。)6 、能量本 征波数函和函波的数导数总连是 续吗的? ,比如在否 中势,波数函导就数不续连 7。 在有、势场限,能中本量征函波数波和 函数导的数是连续总,的明证见书上 p9。28、 则规场中的势量本能征态可有 简以并比如在反射透,问题射中,左从入射 从和右入的本射征是解量能简的。 9、 并规则场中能势量本征如态是束果 态缚 则必定是,简非的, 证明并书见 上30。p 、二束缚问态题 1、对:于维一限无深阱势有限深势阱,谐 ,子势振,分 画别最低出的三能级的波函个数的 示意图和,应的概对率度密的示图意例。题见第二 章作业。三 束缚、态问题和射透射问题反 :握掌: 求解一维场势中的能本征量问的一题般解 法,分三步 (1):量能区分;(2 )在选定 能量区的,把空间分再,在区区给出形各式解(含待 参定)数 ;(3)根边据条件确界 解定面的里数参。 求会要
:
A B ,奇宇称 A 态 B (3)会写
指数上的出数和能量之间参的关 系
式
2
m(V E 2)m( E ) ,k V2
23
会、出边写的界接条连件波函数连:,续 波函导数数连续。 4、会据根流的定义在个各间空域区写出 的表达流式:
( j) x
( * )*, 区分会 2im xx
入
射 流i j反射流 jr、、 透流射j t。进而求 反出系射 数R
jj ,r透射数系 T t ji 。i
j例见题二章第作。 四业、 对 势和垒 势 阱,会解求量能本问征 ,题括 包势 中束阱缚态 势阱,或势垒
中4
反的射透问题。例题射见第章二作。业
式
。
第三章
:一算符的、运算性和质: 1、忆书记 上4 5页(9式)几个对的易系 关 式并 ,利 用 位置会和动 量 的 易关 对 式 4系如果、体具有两系互不个对易的守量恒, 系统能级不一的定是简并的
。
l, 比如 H 守有恒 量 l, l yx, l 互相z对易,
不有但个能一级 0Y,0
2
[ x
, ]p i , 证明角动量位与置动
量、角、动量之的对间易关系式例。见第三题章作业。 、2算的符米共厄轭
:
1
4
简非,并他其
能级简
。 并记角动忆算量的本符能征级构,结 乎几可以 任做何判断题。
l
z 的共同征本,态满 足 l和 球函数谐 Yl m
是3、
厄米算: 本符方征
程 2 llYm l l (1) 2lY ,m l0,, 12.. . l zYl mm Yl ,mm l ,即m l , 1l..l 1.,
l2
、三会算计关于球谐数函的测、量化演等 问。题例题第见三章业,要作会灵运活用。4、证 明厄米符的算均平值必为数,证明 实作业见 5。、实验的可上测量观相应的算,符必厄 米算符。 5为、证明米算厄符本征值必的为数,实明证见作业 。6、证 明厄算米符属不于同本征值的征态本 此正彼交,证见作业明 。二、学量力完全集一的性些质 :1若、个两算对符易,则它可们有以同共的本 征,证态明见书 6上5 。 2、两个互页对不的易算符可以有同的本征共 态比。 如 x,ll y ,lz 不对易互但它们有共,同本征 态Y00 ,例:假如设一粒个子于处态
状 cmYlml 已(归化一)l
m
(1,对该)粒子量测其道轨动量的 角 z分量
l
z ,可能 得的值测是多少 m, m ? 0,1, 2...
测.各得的值率概多是?少
cl
2
m
ll z
的平均 是多少? 值 2 2 l z c lm m c ml mm lm l
(2)对该粒子量测总角其动 l量 ,可能 测得值的是少多
2?
1 4
。
] 常数 0 ,、 若两3算符的个易对 式 [ ,AB 则 A B和一 定没共有的本同征态。为因它
的们确不定要度足满不等式 书,上 65p页 ( )7
l(l 1) , l2 0 ,,12 ....测得
值的各概率是少?多
5
c
m
lm2
四第章
一:力、学量时间的演随化1、记忆 理解并力量学随间时的演公化式。 、对2定于,是态否一切学量力均平都不 随值间变时? 否化,如果力量学符算显含间时则,其平值均可 随以时间变。着3 、对非定于,是否一切力态量学均值都 平时随间变?化 ,守恒否的平量值可以均不变。明证见上书p 8. 74、果系如统有个守恒量,一则系统能量的本 态一征定该为守恒量本的征态吗?否 如果,级有简并能则,量能本征可能态不2
p 是该恒量守本的态征 比。如 H有守 2m恒
l
2 的平均值是多少
2? 2 l cml l(l )1 2 l m
lmc l( l1 ) 22
m l2 lz( 3如)系统的哈果密顿量是 H 其,2 I
中 I转动惯是量假设,0 时 刻子处粒于上述 态,求以后的状意 任 时刻t子粒的态状。 该系统 的 量能 征本 方程 是
2 z m 2 l2 HlY Ylmm Yml El mYlm, 以所 I 2I2
lmY 应的对征能本量是El m任意
t 时粒刻子状的态
, 所m以 I
22
2
2( t) clmYlm e iE
,ml
l
tm /
cmYlle im t
ml,m
量 量动 ,但p本征 sin(k态 x )是不 的p征本 态。5 设、系体于定处态,不则时含力量的学 量值测的平均
值和概分布率都随不间时化。变证明 书上 见21。p6、自由 子粒处于定,态量动一不取定定 确。值自由粒子能简级并不,方向同动量的 征态本能可具相同的能量,有 态是定能量本 的态,征不是动量必本征态,所的以不一具 有定确的定动量 。7、系的体守量的测量恒总是确值定 值?吗 否要看粒子在什么状,,态果如不守在量 的本恒态上,那么征测值量不确定。就8、 在定 下, 所态的物有量都理是守恒量吗 否?守恒量的,定跟义粒子状态无的关只跟 ,哈密量有关 。顿
2l (4如)系果的统密哈顿量是 H 其, I
2中
I 是转动惯量,设假 0 刻时子处粒于述 上态状,求后的以任 t意 刻时子粒状的态 。 该 系统的 量 能本 方 征 程是2
ll (l )1 2 Ylm HY ml Ym lElm lm ,Y所2I 2
以IYlm 对 应的本能征是 量Eml
l( l 1 ) 2 , 2I
所 以
意任t 时刻 粒 的 状 子态
(t ) lmYclem iE
l ,
mmlt /
clYmlem li( l)1
lt m,
9、两个相无作互用费米子可的处以于相同的单粒子 态吗? 否,因为米子要满足费交换反称性对导致,泡利 相不容原理, 以不能所处于相的单粒 同态子。而 个两相互无作用玻色的子可处于以
6
同的相单粒子态,因为 它们波函数的足交满 对换性称
。
L ' L kk L jk j j j kk L j
七章第
一:矩阵、式 形1、 有套正一归一交完基 k , k备 1 , 23,.. .。求量子态 这在套下基列的量形向式
k
k S Lkj S k j L 'LSS
、力3量在学何任象下表矩阵的形都是式 厄米矩。阵4 力学、在量任表象何下矩阵都的具有相同 的征本,值因表象变为换不影响征本值
。 1 a a A 2 a 3 ... a j j
1 2 , 3 . ..
第八章
: 、 自一 算 符 的 旋 矩 阵 表示
这在基套下矩阵的式 求算形符 L L11 LL 2 1 L1 3 .. .L12 L22 L2 ..3. 13L 2L L33 .3. ... .... ,... . .
.
0 1 0 i10 x ,s ys ,sz 2 012 i 0 2 0 1
二如、已果两个知,求会要利用角动对易 关系量式[ is, s j] ik ji k s出另求个一, 如比 已 s知 解x
is: z s[ ,x s ]y, 1s x y ss syx i 1 2 0 01 i 20 i 0 1 i 4 1 0 i 04 0 i 1 0 sz i 0 i0 4 i 0 i 0 i 1
0 2 0 1
jLi j i L2、有
套两正归交一完基 备 k, ,从求
0 1 0 i , sy , 求zs 。 2 1 0 2 0i
A k k 变换 B到 的方 。法 B kk k kk S kk S k A
k k kk
B
SA 求从
k 象表下的算矩阵元符L kj 换到 变 表象 下的符矩阵元 算 'L的方法
2、会解每求个旋自符的本征算值本征和 (并做好归一化) 态。解 :( 1)
7
1 sx 0 2 ,1 0 dt(es x ) 2 2 0 2
2
2
(2
)
s y
0 i ,2 i 0 i 2 02
2 2
ed( t sy )
到得本值 征 1, 2 22 对于 第一本征个值 ,设1本向征为 量 2 1 a b ,解方程 2a b ,所以
本 征量 为 向 1 ,归 化一条
件i
2
2a 0 ,到 得b 1 a a
,2 22 于对第个一征值 本1 设本,征量向 2
为得本征到值 1
1 i a 2 a 0,得 到 b, 解程方 b 1 i 2 ai ,b
以本所向量征 为1
a
2 2 1 1 a * a * 2 a ,1 a 2
a 所 , 以第一 个 本 征 值 和 本征
态 a ,归 一化条 ai 件
a 2 2 1 1 *a i* a 2 a1 a , 2 ia 所
以 一 个 本第 征 值和本 征态
2 1 1 , x ; 2 2 1 对
第于个二征本值1
, 本征向设为量 2
2 1 1 , y ; 2 i2
于第对个二本值征 1
2a b,解方 程 2
2 a 0 ,到 b得2
, 本设向征为 2量
a
a b ,以本所向量为 征2 , 归 a
一 化条件
2a b , 解方程 i
2 i 2a ,0得 b到 2
aa ib ,所以本向征为 2量 , 归 ai
一 化件
条a 22 2 2 a * a* a 2 1,a 2a
所以第个本二征和本值征态
a
2 2 2 2 a *i* a 2 a ,1a 2 ia
以 第 二所 个 征 值 本和本 征
态
2 12 , ,x
; 22 1
8
2
1 2 , y ; 2 2 i
3(
E) 1
1 ,1 2 0 0 , 2 2 1 1 1 11 1 2 2 1 2
sz2
1 0 , 已经是角矩对阵,征值本 2 01
E2
用
性组合法解线化问演题:
1 , 2 22
对第一个于本征 值1 量为 z ;
(0)
, 归一的本化征 2
接下向的来化演是就上配动力学因子相
1
0 (t
)
, 归一 的本化征
对于第2一本征个值 1
2 2 e 1iEt1 / 2 eiE 2t / 2 2 21 i t /2 2 0 i t/ 2 e e2 0 2 1 2 e i t2/ 2 e
i t/2
0 向量 为, z 。
1三对于一、个一的自旋量般态子
旋自分三平量值分均是
别x st( ) ( )ts x t( ) 2 it / 2 e 2i /t2 e 4 01 2 i e t/2 21 02 iet /2 e i t2 / e i t / 2 ei t/2 ie t2 /
a ,会计算自旋算符的 均值平,比 b
,如 s 求y的平 均。
值 0 i a sy a * , b * 2 i0 b ib ** a* ,* b aib ia b 2 ia 2 四、会计算
态演的化问题 例题见第八章:业。 作比如:假又粒子设的密顿哈是 量H sz 假设 粒 在 零子 时 的刻状 态是
i / t i /t e e4 c o s t / 2 s y ( t ) (t ) ys (t ) 2 i t /2 e2 i t2 / e4
i t / 2 0 i 2 e e it / 2 it / 2 2 i 20 e
iei t 2/ e i t2/ i ei t /2
(0 )
1 1 ,求以后解任的 一t时刻粒 2
1
子的态状 ( )t 及以自旋分三量平的均。值解 能:的本征量问题解求如 s同 z本的征题问的 解求,解出本征的和本征态值下如
:
ii t / e ie i / t 4 in( st/ )2s z(t ) (t ) zs ( )t 2it 2 /e 2 i t 2/ e4
t i2/ 1 0 2 e e i t / 2 it / 2 2 01 2e
即
e i /2 et it /2 ei /t 2
0
即自旋向量平均9绕值 z 轴转。 旋、理解五直积态的念,概比粒如子 1
处于
又
例如 :度为 a 的一维无限宽深势阱的中粒 子 的 征 本能量
是
sz1
的本 征态,粒 子 处2 s于x 1的本 2 2
2E n征
态征,则 两电其子的旋量自态子就是直积态
2 n22 , n1 ,,3.2..对 的能量应本2m a 2
函波数
是 z 1 x
z1
2 z2 z
22
2z 1 z2 z1 z 22 2 22 S, z 的共 同 、六记忆两电 自子旋统的系 S
2n x sni , 当 0x an ( x) a a 0 当, x0或x a
若。加外一弱的线性势个V ( x) 。x请 用应非简并扰微,每论个本征能的一级量修正 (;注 : 利请 用 sn i函数 的 性 质
2当 m 4 n , x s inmx si nx nd x m n 0 2m(n()1 1) , 当 m n 2 22 m( n
)
本
态,征
) :解 上加线 势性后 的 哈 密 量 顿了解们它满足本征方程,的
H H 0 H' ,其 中 H 0一维是无限势深
阱 哈 密 的 顿 量 , 量能 征本态
是
2 (ll ) 12 S l lmm z S m l mlm
n( ) 0 ()x
2 nx sin 。 H ' V x) 是( a a
第十章
:
、一非并简扰论微,会: 能背的量阶修正一
微扰部。 能分的量级一正
修
En (1) (0n H)' n( 0) n (0) x n( ) 0 n ( 0 () ) x x n 0) ( x()dx
a
kE
()1
k
(
)0
H ' k
(
0
)波函
数一阶的正
修 (k)
1
nk
H' (0 ) n k0() (0n) En n k Ek
令y
0
2 2
nx nx si ns ni x d a a a x a
n ()0 n()0 H' k(0
)kE 0() E n0( H) 'kn
2
量的二能修正阶
k
(2)
E
nk
2
2a a2 2a 2 2 4a
2
ax
0
y
ins ny2 dy
E (0)k En 0(
例题,见第十)章作。
二、简并微扰业论:握对角化掌阵矩方。法例 :见题讲最义一节后。
10