双曲线练习题集
x 2y 2x 2y 2
+=1(m n 0)与双曲线-【例1】若椭圆=1(a b 0) 有相同的焦点F ，F ，P 是两条曲线的一个m n a b
1
2
则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）
A. m -a B.
1
(m -a ) C. m 2-a 2 D. m -a 2
22x y 【例2】已知双曲线，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM +1PF 最小，则
P 点的-=1与点M （5，3）9272
′
N （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点（1，3）且渐近线为.
（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围. 由于处理
1
y =±x 的双曲线方程是
2
x 2y 2x 2y 2
将双曲线2-2=1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：2-2=1. 这两个双曲线就是互相共轭的双曲线. 它们有相
a b b a
距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为e 1, e 2，证明：.
（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. ● 通法 特法 妙法
（1）方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
11
+2e 12e 2
=1.
x 2y 2
【例6】如图，F 1和F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以O F 1
a b
该
双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
为半径