高中数学分段函数问题教师版

分 段 函 数

1．求分段函数的定义域和值域

⎧2x +2x ∈[-1,0];⎪

x ∈(0,2); 的定义域、值域. 例1．求函数f (x ) =⎨-2x

⎪3x ∈[2,+∞); ⎩

【解析】作图, 利用“数形结合”易知f (x ) 的定义域为[-1, +∞) , 值域为(-1,3].

⎧⎪g (x )+x +4, x

f x =()⎨

g (x )=x 2-2(x ∈R )⎪⎩g (x )-x , x ≥g (x ), 则f (x )的值域是（ ）练习1. 设函数，．

⎡9⎤⎡9⎫⎡9⎤-,0U 1, +∞, +∞-,0⎥U (2, +∞)()⎪⎢⎥⎢⎢0, +∞)[44⎦⎭ Ｄ．⎣4⎦ Ａ．⎣ Ｂ．， Ｃ．⎣【答案】D

【解析】解

x

得x -x -2>0，则x 2．因此

2

x ≥g (x )=x 2-2

的解为：-1≤x ≤2．于

2

⎧x 2+x +2, x 2, 1⎛⎫9f (x )=⎨2x 2-x -2= x -⎪-

2⎭4，⎝⎩x -x -2, -1≤x ≤2, 当x 2时，f (x )>2．是当-1≤x ≤2时，

则

f (x )≥-

99

-≤f (x )≤0

4，又当x =-1和x =2时，x 2-x -2=0，所以4．

⎡9⎤9-,0⎥U (2, +∞)⎢f (x )>2-4≤f (x )≤0f (x )由以上，可得或，因此的值域是⎣4⎦．故选Ｄ．

2．求分段函数的函数值

|2, x (≤||1) ⎧|x -1-

⎪311

例．已知函数f (x ) =⎨1求f [f (1)]. 【解析】因为f () =|-1|-2=-, 所以

, (|x |>1) ⎪2

⎩1+x

3

f [f (12)]=f (-2) =

14

. =2

1+(-) 13⎧x 2+4x , (x ≤-2)

⎪

例 2求函数f (x ) ＝⎨x 的值域．

⎪, (x >-2) ⎩2

22

解：当x ≤－２时，y =x +4x =(x +2) -4， ∴ y ≥－４． 当x ＞－２时，y ＝

x -2， ∴y ＞＝22

－１．∴ 函数f (x ) 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝．

3．求分段函数的最值

⎧4x +3(x ≤0)

⎪

例1．求函数f (x ) =⎨x +3(0

⎪-x +5(x >1) ⎩

【解析】当x ≤0时, f max (x ) =f (0)=3, 当01时,

-x +5

⎧x +1, (x >0) ⎪

例2．已知f (x ) ＝⎨π, (x =0) 求f (f (f (-3))) 的值． 解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０， ∴

⎪0.(x

）＝f （０）＝π 又π＞０ ∴f (f (f (-3))) ＝f （π）＝π

＋１． f （f （－３）

⎧x

2(x

log x (x >1)

1

⎪⎩3

解 ∵a 1,∴f {f [f (a )]}

=

f =log 1

3

=－

1

, 2

(x ≥0) ⎧2，

例4．已知函数f (x ) ＝⎨2 求出这个函数的最值．

x ，(x

解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由 两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是

一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０， 没有最大值．

3求函数解

f (x ) =x 2+(2－6a ) x +3a 2(0≤x ≤1) 的最小值。

2

f (x ) =[x －(3a －1)]－6a 2+6a －1∵0≤x ≤1, 当3a －1

f (x ) 的最小值为f(3a －1)=－6a 2+6a －1；当3a －1>1时，f (x ) 的最小值为f(1)=3a 2－6a +3。

当0≤3a －1≤1时，

因此函数

1⎧2

3a (a

12⎪2

g (a ) =-6a +6a -1(≤a ≤) f (x ) 的最小值可表示成关系于a 的分段函数. ⎨

33⎪

2⎪2

3a -6a +3(a >⎪3⎩

例5

⎧2x +3(x ≤0)

⎪

求函数y =⎨x +3(0

⎪-x +5(x >1) ⎩

y =f (x ) =2x +3,此时显然有y

maX

方法1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当x ≤0时, 当0

=

f (0)=3;

f (x ) =x +3,此时y

max =4.

max

=

f (1)=4当x >1时，y =f (x ) =－x +5，此时y

y 无最大值. 比较可得当x =1时, y

4．求分段函数的解析式

例1．在同一平面直角坐标系中, 函数y =f (x ) 和y =g (x ) 的图象关于直线y =

x

x

对称, 现将y =g (x ) 的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f (x ) 的表达式为（ ）

⎧2x +2(-1≤x ≤0) ⎧2x -2(-1≤x ≤0)

B . f (x ) =⎨x A . f (x ) =⎨x

+2(0

D . f (x ) =⎨x C . f (x ) =⎨x

⎩+1(2

【解析】

当x ∈[-2,0]时, y =1, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为x +1

1

, 所以f (x ) =2x +2(x ∈[-1,0]), 当x ∈[0,1]时, y =2x +1, 将其图象沿x 轴向y =1(x -2) +1-1=x -1

右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式y =2(x -2) +1, 所以-1=x 2-

⎧2x +2(-1≤x ≤0) 综上可得, 故选A . f (x ) =⎨f (x ) =x +2(x ∈[0, , 2])

+2(0

例2． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B ，C ，D 再回到A ，设x 表示P 点

1的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．

PA =x ；解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，当P 点在BC 上运动时，由Rt △PBA ，

求得PA =

当P 点在CD 上运动时，由Rt △

PDA 求出PA =

当P 点在DA 上运动时，PA =4-x ，

⎧x ， 0≤x ≤1， 1

所以y 关于x

的表达式是y =

2

在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的 各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正 同学们的错误认识．

例3 已知奇函数解 ∵

P

A

图３

B

f (x ) (x ∈R ) ，当x >0时，f (x ) =x (5－x )+1.求f (x ) 在R 上的表达式。

f (x ) 是定义域在R 上的奇函数，∴f (0)=0.又当x ＜0时，－x >0,

故有

f (-x ) =－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。再由f (x ) 是奇函数,

f (x ) =－f (x ) =x (5+x ) －1. ∴

⎧x (5-x ) +1(x >0)

⎪

f (x ) =⎨0(x =0)

⎪x (5+x ) -1(x

5．作分段函数的图像

例1．函数y =e |lnx |-|x -1|的图像大致是（ ）

A

-2) ⎧-2，x ∈(-∞，

⎪

2) ，画函数f (x ) 例２ 已知函数f (x ) =⎨x +3，x ∈[-2，

⎪3，x ∈[2，+∞) ⎩

解：函数图象如图１所示．

评注要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． 6．判断分段函数的奇偶性

2⎧⎪x (x -1) (x ≥0)

例1．判断函数f (x ) =⎨的奇偶性.

2⎪⎩-x (x +1) (x

x

图1

【解析】当x >0时, -x

f (-0) =f (0)=0, 当x 0, f (-x ) =(-x ) 2(-x -1) =-x 2(x +1) =f (x ) 因此, 对于任意x ∈R 都有f (-x ) =f (x ) , 所以f (x ) 为偶函数.

7．判断分段函数的单调性

3⎧⎪x +x (x ≥0)

例1．判断函数f (x ) =⎨的单调性.

2

(x

【解析】显然f (x ) 连续. 当x ≥0时, f ' (x ) =3x 2+1≥1恒成立, 所以f (x ) 是单调递增函数, 当x 0恒成立, f (x ) 也是单调递增函数, 所以

x

f (x ) 在R 上是单调递增函数; 或画图易知f (x ) 在R 上是单调递增函数.

例2．写出函数f (x ) =|1+2x |+|2-x |的单调减区间.

⎧-3x +1(x ≤-1)

⎪

(-∞, -1【解析】f (x ) =⎨3+x (-]. 2

⎪3x -1(x ≥2) ⎩

log x , x >0⎧⎪2

f (x )=⎨log (-x ), x

1

f (a )>f (-a )⎪⎩23. （天津理8）设函数若，则实数a 的取值范围是（ ）．

Ａ．(

-1, 0)U (0, 1) Ｂ．(-∞, -1)U (1, +∞) Ｃ．(-1, 0)U (1, +∞) Ｄ．(-∞, -1)U (0, 1)

【答案】C

【解析】若a >0，则若a

2

log 2a >log 1a

2

，即

2log 2a >0，所以a >1，

，所以0log 1(-a )>log 2(-a )

，即

2log 2(-a )

a ∈(-1, 0)U (1, +∞)所以实数a 的取值范围是a >1或-1

4、已知f (x ) =⎨

⎧(3a -1) x +4a , x

是(-∞, +∞) 上的减函数，那么a 的取值范围是

log x , x >1a ⎩

（B ）(0,) （C ）[, )

（A ）(0,1)

1

31173

（D ）[,1)

17

8．解分段函数的方程

⎧2-x x ∈(-∞,1]1

例10．（01年上海）设函数f (x ) =⎨, 则满足方程f (x ) =的x 的值为4⎩log 81x x ∈(1,+∞)

【解析】若2

-x

, 则2=1-x

（舍去）, 若log 81x =1, 则x =, 解=2, 得x =2∉(-∞,1], 所以x =2-2

1

4

得x =3∈(1,+∞) , 所以x =3即为所求.

9．解分段函数的不等式

⎧2-x -1(x ≤0) ⎪

例11．设函数f (x ) =⎨1, 若f (x 0) >1, 则x 0得取值范围是（ ）

2⎪(x >0) ⎩x A . (-1,1) B . (-1, +∞) C . (-∞, -2) ⋃(0,+∞) D . (-∞, -1) ⋃(1,+∞)

【解析1】首先画出y =f (x ) 和y =1的大致图像, 易知f (x 0) >1时, 所对应的x 0的取值范围是(-∞, -1) ⋃(1,+∞) .

【解析2】因为f (x 0) >1, 当x 0≤0时, 2

1

2

-x 0

y

-1>1, 解得x 0

x

当x 0>0时, x 0>1, 解得x 0>1, 综上x 0的取值范围是

(-∞, -1) ⋃(1+, . ∞故选D.

2

⎧(x

例12

．设函数f (x ) =⎨, 则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围为（ ）

⎪⎩4(x ≥1)

A ．(-∞, -2]⋃[0,10] B. (-∞, -2]⋃[0,1] C. (-∞, -2]⋃[1,10] D. [-2,0]⋃[1,10]

2

【解析】当x

,

f (x ) ≥1⇔41≤3⇔x ≤10, 所以1≤x ≤10, 综上所述, x ≤-2或0≤x ≤10, 故选A

项.

【点评：】

以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.

分段函数练习题

一 图象分段类

1. 函数

A

y =e

ln x

-|x -1|的图象大致是 （ ）

D

2.在同一平面直角坐标系中，函数y =f (x ) 和y =g (x ) 的图象关于直线y =x 现将y =g (x ) 的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数f (x ) 的表达

⎧2x +2, -1≤x ≤0, ⎪

A ．f (x ) =⎨x

+2,0

C ．f (x ) =⎨x

+1, 2

⎧2x -2, -1≤x ≤0,

⎪

B ．f (x ) =⎨x

-2,0

D ．f (x ) =⎨x

-3, 2

二 迭代求值

⎧x -2-2(x ≤1),

1⎪

3. 设f (x ) =⎨1 则f [f ()]= （ ）

2(x >1). ⎪2

⎩1+x

A.

14925 B. C.- D. 213541

4. 已知f (x ) =⎨

⎧sin πx (x

则f (-) +f (的值为66⎩f (x -1) -1(x >0).

⎧lg x -, x ≠1, ⎪2

则关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0

x =0. ⎪⎩0,

三 分段函数与方程的根

5. 设定义为R 的函数f (x ) =⎨

有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. b 0 B. b >0且c

f (x ) 在(-∞, +∞) 上满足f (2-x ) =f (2+x ) ，f (7-x ) =f (7+x ) ，

f (1)=f (3)=0.

且在闭区间[0,7]上，只有 （Ⅰ）试判断函数y

=f (x ) 的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程

f (x ) =0在闭区间[-2005, 2005]上的根的个数，并证明你的结论.

四分段函数与导数

7. 一给定函数y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n +1=

f (a n ) 得到的数列{a n }满足a n -1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是 （ ）

⎧ax +b , x ∈(-1,0],⎪

8. 已知函数f (x ) =⎨x -b 其中a >0, b >0，若lim f (x ) 存在，且

x →0

, x ∈(0,1).⎪⎩x -a f (x ) 在(-1,1) 上有最大值，则b 的取值范围是 （ ）

A.b >1 B.

1

五 开放性自义分段函数

9. 对定义域分别是Df , Dg 的函数y =f (x ), y =g (x ) . 规定：

⎧f (x ) g (x ), 当x ∈Df 且x ∈Dg , ⎪

当x ∈Df 且x ∉Dg , 函数h (x ) =⎨f (x ),

⎪g (x ), 当x ∈Dg 且x ∉Df . ⎩

（I ）若函数f (x ) =

1

, g (x ) =x 2，写出函数h (x ) 的解析式； x -1

（II ）求问题（I ）中函数h (x ) 的值域；

（III ）若g (x ) =f (x +a ) ，其中α是常数，且α∈[0,π]，请设计一个定义域为R 的函数

y =f (x ) ，及一个α的值，使得h (x ) =cos 4x ，并予以证明.

10. 定义在R 的任意函数f (x ) ，都可以表示成一个奇函数g (x ) 和一个偶函数h (x ) 之和，如果f (x ) =lg(10x +1) ，那么 （ ） A. g (x ) =x ，h (x ) =lg(10+10B. g (x ) =

x

-x

+2)

11

[lg(10x +10+x ]，h (x ) =[lg(10x +1) -x ] 22x x x

C. g (x ) =, h (x ) =lg(10+1) -

22x x x

D. g (x ) =-, h (x ) =lg(10+1) +.

22

参考答案：

(x ≥1), ⎧1

⎪

1. 可得y =⎨1 故选D.

+x -1(0

⎧x ⎧x

+1(-2≤x ≤0), ⎪⎪-1(0≤x ≤2),

g (x +2) +1=g (x ) =2. 可得则故选A. ⎨2⎨2

⎪⎪⎩2x +1(0

11111

-1，则f [f ()]=，故选A. 22222

[1**********]111

4. ∵>0, -

5. f (x ) 的图象可粗略地画出如右：若方程有

7个根，则必有f (x ) =0或f (x ) ≠0两情况. 若f (x ) =0，则c =0；根f (x ) =-b >0. 于是选C.

6. （I ）由f (2-x ) =f (2+x ), f (7-x ) =f (7+x ) ⇒f (x ) =f (4-x ) =f (14-x )

⇒f (-x ) =f (4+x ) =f (x +14) =f (10+4+x ) ⇒f (x ) =f (x +10) 。

∴f (x ) 的周期为10，又f (3)=f (1)=0，而f (7)≠0，∴y =f (x ) 为非奇非偶函数. （II ）在闭区间[0,7]上，只有f (3)=f (1)=0，则在[0,10]内只有两根，而且集中在

[0,5]内。则[-2005,2005]内根的个数为：2[

7. 由

2000

⨯2+2]=804. 10

f (a n +1) -f (a n ) a n +2-a n +1f (a n +1) -f (a n )

和a n -1>a n ，知=>0。由导数定义知其函数图象为上凸形，故

a n +1-a n a n +1-a n a n +1-a n

b

，则a =1。又f (x ) 在(-1,1) 上有最大值. 且此时a

选A.

f (x ) =lim f (x ) =b =8. 因lim f (x ) =lim -+

x →0

x →0

x →0

(x ∈-(1, 0]) , ⎧x +b

b -1⎪

则x +b 是递增函数，最大值为b . 而1-是递减函数. 则0

x -11-(x ∈(0,1).⎪⎩x -1⎧x 2

(x ∈(-∞,1) (1,+∞)), ⎪

9. （I ）由定义知，h (x ) =⎨x -1

⎪1(x =1). ⎩

（II ）由（I ）知，当x ≠1时，h (x ) =x -1+

1

+2；则当x >1时，有h (x ) ≥4， x -1

（x =2时，取“=”）；当x

III

）

可

取

f (x ) =sin 2x +cos 2x , α=

x

π

4

；则

g (x =) f α(+x =) s i -x n . 于x 是

h (x =) f (x α) +f (=x . )

法（二）取f (x ) =12x , α=

π

2

，则g (x ) =f (x +α) =12x .

于是h (x ) =f (x ) f (x +α) =cos 4x . 10. 直接按题给的条件去试，发现选C.

分段函数练习题2

x -1⎧2e , x

1、设f (x ) =⎨，则f (f (2))的值为（ ） 2

⎪⎩log 3(x -1), x ≥2

A. 0 B.1 C.2 D.3

x ≤0⎧log 2(4-x ),

2、定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) =⎨，则f (3) 的值为（ ）

⎩f (x -1) -f (x -2), x >0

A ．-1 B. -2 C. 1 D. 2

⎧1x ⎪() (x ≥4) ，则f (log3) =（ ）

3、给出函数f (x ) =⎨22

⎪⎩f (x +1) (x

12311

A. - B. C. D.

1181924

2

⎧⎪sin(πx ), -1

4、函数f (x ) =⎨, 若f (1)+f (a )=2, 则a 的所有可能值为（ ）

x -1⎪⎩e , x ≥0.

A. 1

B. C.1

，1

⎧x 2-4x +6, x ≥0

5、设函数f (x ) =⎨，则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）

⎩x +6, x

A. (-3, 1) ⋃(3, +∞) B. (-3, 1) ⋃(2, +∞) C. (-1, 1) ⋃(3, +∞) D. (-∞, -3) ⋃(1, 3)

⎧2-x -1, x ≤0, ⎪

若f (x 0) >1，则x 0的取值范围是（ ） 6、设函数f (x ) =⎨1

2⎪x >0⎩x ,

A ．(-1, 1) B ．(-1, +∞) C ．(-∞, -2) U (0, +∞) D ．(-∞, -1) U (1, +∞)

(x >0) ⎧log 2x

⎪

7、（2010天津卷）设函数f (x ) =⎨log (-x ) (x f (-a ) ，则实数a 的取值范围是（ ）

1

⎪⎩2

A ．(-1, 0) U (0, 1) B ．(-∞, -1) U (1, +∞) C ．(-1, 0) U (1, +∞) D ．(-∞, -1) U (0, 1)

2

8、（2010天津卷）设函数g (x ) =x -2(x ∈R ) ，f (x ) =⎨

⎧g (x ) +x +4, x

，则f (x ) 的值域是（ ）

x ≥g (x ) ⎩g (x ) -x ,

999

, 0]U (1, +∞) B ．[0, +∞) C ．[-, +∞) D ．[-, 0]U (2, +∞) 444

⎧4x -4， x ≤1，

9、函数f (x ) =⎨2的图象和函数g (x ) =log 2x 的图象的交点个数是（ ）

⎩x -4x +3，x >1

A ．[-

A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

10、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式，并画出函数的图象.