向量.行列式.算法
第7章 向量初步
考点归纳
本章内容是高考几何部分的基础,虽然平面向量难题不多,但在解析几何、函数、三角中经常用到向量的知识点。近几年的上海高考中经常出现在选择题或者填空题中,难度不大。在解答题中经常考到向量的应用,即向量与解析几何、函数等知识结合考查,要求考生对向量的基本概念和运算了解地比较清楚。考点主要集中在向量的数量积、数与向量的乘法、向量的坐标运算等。
7.1 向量的概念
复习目标
1.掌握平面向量的定义及有关基本概念 2.掌握两点间的距离公式和定比分点公式 3.了解平面向量的基本定理和性质
概念梳理
1.向量及有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量;
(2)向量的模:表示向量的长度,其中||2=; (3)单位向量:模为1的向量,n0=
a2
(4)相等向量、负向量、平行向量:模相等且方向相同的两向量称为相等的向量;模相等且方向相反的两个向量或为负向量;若两个向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行。
(5)零向量:模为零的向量叫做零向量,零向量的方向不定,注意和0的差别。既有大小又有方向,而0简单指的是数字,并没有方向的概念。 2. 向量的坐标
以A(x1,y1)为始点,B(x2,y2)为终点的向量AB的坐标为(x2-x1,y2-y1)||=(x2-x1)+(y2-y1)
2
2
基础训练
1.若//且||=||,=,则命题甲为命题乙的
(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件2.=-是||=||的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(
)
3.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()[2006年上海高考卷](A)AB=DC(B)AD+AB=AC(C)-=(D)+=
4.已知两点M、N的坐标分别为(5,2),(-1,3),则|MN|=__________。 5.若a=3i-6j,则a的单位向量为______________。
6.已知∆ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(-2,3),C(4,-1),D为BC中点,则=___________________。7.一下有四个命题:
(1)若||=||,则=,或=-(2)若⋅=0,则=或=(3)若a与b互为负向量,则a+b=0(4)若为非零向量,则(⋅)2=()2⋅()2上述命题中正确的命题的个数为______。
8.下列命题中正确的是:____________。(1)零向量没有方向;(2)若||=||,则=;(3)单位向量都相等;(4)向量就是有向线段;(6)若a=b,b=c,则a=c;(7)若//,//,则//
(5)两相等向量若起点相同,则终点也相同;
9.在∆ABC中,AB=5,AC=7,D是BC边的中点,则⋅_______。
10.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB⋅BC+⋅+⋅_____________。
11.已知点A(1,-2),若向量与={2,3}同向,=2,则点B的坐标为____________.[2004年上海高考卷]
12.已知点A的坐标(3,-2),点B在Oy轴上,且||=2,则_____。综合训练
13.已知点A(2,-3),B(-4,6),点P在直线AB上且|AP|=2|BP|,求点P的坐标。
14.求向量=(2,-1)关于直线3x-4y=0对称向量
15.已知OP=(cosθ,sinθ),OQ=(1+sinθ,1+cosθ)(0≤θ
16.已知函数f(x)=kx+b的图像与x,y轴分别交于A,B,=2+2(,分别是x,y轴正半轴同方向的单位向量),求k,b的值.
能力提高
17.已知为非零的共面向量,命==,则甲是乙的(A.充分非必要条件C.充要条件
B.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件
)。
18.已知向量x=(3+t)i+(1+2t)j依t的变化而变化,求|x|的最小值以及使|x|取最小值时的t的值。
19.在∆ABC中,已知顶点的坐标为A(3,1),AB的中点为D(2,4),∆ABC的重心为G(3,4),求顶点B、C的坐标;
20.在直角坐标系xOy中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2)和点Q(cosx,-1),其中,x∈[0,π]。若OP⊥OQ垂直,求x的值。
→
→
7.2 向量的运算
复习目标
1.掌握平面向量的加法、减法、数与向量的乘法的运算 2.掌握向量的数量积的运算
3.掌握两个非零向量平行、垂直的充要条件及其应用
概念梳理
1. 向量的加减法
(1)可以利用平行四边形法则和三角形法则
(2)向量的坐标表示:把对应的坐标相加减,若=(x1,y1),=(x2,y2),
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2); 2.实数与向量乘法
(1)实数λ与非零向量作λ,其中|λ|=|λ||| (2)坐标表示:若a=(x,y),则λa=(λx,λy)
(3)运算法则:(λ+μ)=λ+μ,λ(μ)=(λμ),λ(+)=λ+λ; (4)两个非零向量平行的充要条件是:如果=(x1,y1),=(x2,y2),则
//⇔x1y2=y1x2。
3. 向量的数量积
(1)把a⋅b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π)叫做向量a与向量b 的数量积,运算符号“⋅”
同时,把||cosθ叫做向量在向量 =(x1,y1),=(x2,y2),则⋅=x1x2+y1y2. (2)坐标表示:若
两个非零向量,θ,则cosθ=(3)
=
x1x2+y1y2x1+y1⋅x2+y2
2
2
2
2
(4)
两个非零向量平行⇔⋅=±||||,两个非零向量a、b垂直⇔a⋅b=0
基础训练
1.已知={-1,2}、={3,m}若⊥,则m=______________。
2.在直角坐标系xOy中,在直角三角形ABC中向量AB={2,1},AC={3,k},则k的可能值有________个。
3.已知向量a和b的夹角为1200,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)⋅a=_______。
4.若向两a,b的夹角为60o,|a|=|b|=1,求a(⋅a-b)=_______.
5.直角xOy坐标平面中,若点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP⋅OA=4,则点P的轨迹方程是__________。
6.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为60o,求|a+b|
7.在直角坐标系xOy中,已知P(2cosx+1,2cos2x+2)和点Q(cosx,-1),其中x∈[0,π],若向量OP与OQ垂直,则x=_________________。
8.已知=(-1,2),=(2,3),+k2-,则实数k=________。
9.,,为不共线的非零向量,则下列各式中成立的是_____________。①||⋅=()2
②(a⋅b)⋅c=(a)⋅(b⋅c)③a⋅(b⋅b)=a⋅(b)2④(a⋅b)2=(a)2⋅(b)2
10.若非零向量满足|+|=||,则_____________。①|2a|>|2a+b|②|2||+2|④|2|
11.y=
11
沿向量(b,0)平移后,得到的方程式y=,已知函数f(x)=ax-b,
xx-2
求f-1(x)恒过哪一定点?
12.M是三角形ABC内一点,且AB⋅AC=2,∠BAC=30o,定义f(M)=1
(m,n,p),其中m、n、p分别是∆MBC,∆MAC,∆MAB的面积,若f(M)=(,x,y)
2
14
则+的最小值是___________。xy
综合训练
1
13.设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn,已知向量=(1,an),=(an+1,)
2 满足⊥,则limS
=_________。nn-∞
14.在直角坐标平面中,已知P(,2),P(22),P(,23),⋯⋯,P(2n),1122,33nn,其中n是正整数。对平面上任一点A0,记A1为A0关于P1的对称点,A2为A1关于P2的对称点,⋯⋯,An为An-1关于Pn的对称点,求向量A0A2?
15.在以O为坐标原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为∆OAB的直角顶点,已知||=2||,且点B的纵坐标大于零,求向量
16.已知正六边形ABCDEF中,=,=,试用,分别表示向量、。 能力提高
17.已知O是原点,点A(-3,-4),B(5,-12)且O、A、B是一个平行四边形的三个顶点,求另外一个顶点D的坐标。
18.在∆ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,G为重心,
求证:++=.
19.已知向量=(sinθ,1),=(1,cosθ),-(1)若⊥,求θ;
(2)求|a+b|的最大值;
π
2
π
2
.
20.已知向量=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),且|k+|=3|-k|.(1)用k表示⋅;
(2⋅与所成角θ的大小(0≤θ≤π).
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第8章 行列式与矩阵
考点归纳
本章内容作为09年高考新出现的考点,要引起考生的重视。一方面,由于是新知识点,并且相对其它板块来说,内容相对独立,所以高考目前以小题为主,主要考察行列式、矩阵的概念和运算法则,算法部分则侧重于考查对于流程图的理解。但同时,以行列式、算法为载体,实际考查其它老知识点(如三角函数、数列)的题型开始在模考中出现,需注意平时的练习。
8.1 行列式与矩阵
复习目标
1. 理解二阶(三阶)行列式的概念,掌握其算法;
2. 能利用二阶(三阶)行列式来判别二元(三元)一次方程组解得情况; 3. 理解矩阵的相关定义,能进行矩阵间的简单运算; 4. 线性方程组能用矩阵求解.
概念梳理
1. 行列式基本概念及性质: (1) 对角线法则
a11a12
a21a22
=a11a22-a12a21
(2) 余子式及代数余子式
余子式:对于三阶或更高阶的行列式,把其中某一元素所在的行与列划去后,剩下的元素按原行列式顺序排列所组成的行列式,叫做原行列式中对应于这个元素的余子式.
代数余子式:设行列式中某一元素位于第i行第j列,把对应于该元素的余子式乘上(-1)i+j后所得到的式子叫做原行列式中对应于该元素的代数余子式. 2. 行列式运算法则:
定理1:行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和.
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a11a21a31
a12a22a32
a13a23a33
a22
=a11
a32
a23a21
-a12a33a31
a23a21
+a13a33a31
a22
. a32
定理2:行列式的某一行(或一列)的各元素与另一行(或一列)对应元素的代
数余子式的乘积之和为零. 3. 三角形面积公式:
1x22x3
x1
y11y21.y31
∆ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则:S∆ABC=
4.行列式与方程组:
⎧a1x+b1y=c1
对于二元线性方程组:⎨,其中x,y为未知数,a1,a2,b1,b2是未知数
ax+by=c⎩222
的系数且不全为零,c1,c2是常数项. 定义系数行列式:D=
a1b1
a2b2
,Dx=
c1b1
c2b2
,Dy=
a1a2
c1c2
.
(1)当D≠0时,方程组有唯一解:x=(2)当D=0时,分两种情况:
DDx
,y=y;DD
1* Dx,Dy至少有一个不为零时,方程组无解;2* Dx=Dy=0时,方程组有无穷多解.
三元一次方程组拥有类似的结论. 5.矩阵初步:
⎛x1⎫ x2⎪
(1)行向量a=(x1,x2,x3,...,xn),列向量a= ⎪.
...⎪ ⎪⎝xn⎭
⎛a11 a1n⎫ ⎪
(2)由m⨯n个数aij∈R(i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)排成 ⎪叫做m⨯n阶
a⎪⎝m1 amn⎭
矩阵;m=n时把它叫做n阶方阵;矩阵A和矩阵B的行数列数分别相等,则 A和B叫做同阶矩阵;同阶矩阵所有对应元素都相等,则A和B叫做相等矩阵.
6.矩阵运算:
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(1)n维向量的运算:设向量a=(x1,x2,x3,...,xn),b=(y1,y2,y3,...,yn),规定:
a±b=(x1±y1,x2±y2,...,xn±yn); λa=(λx1,λx2,...,λxn)
a⋅b=x1y1+x2y2+...+xnyn.
(2)矩阵的加减法:两个同阶矩阵的对应元素相加(减). (3)矩阵与实数的乘积:实数与矩阵中的每个元素相乘.
(4)矩阵的乘法:对于m⨯k阶的矩阵A=(aij)m⨯k和k⨯n阶的矩阵B=(bij)k⨯n,若一个m⨯n阶的矩阵C=(cij)m⨯n中的元素cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aikbkj,则C=AB. 矩阵乘法满足分配律,结合律(不满足交换律).
7.线性方程组的矩阵解法:
⎧a1x+b1y+c1z=d1三元一次方程组⎪
⎨a⎪2x+b2y+c2z=d2,可用矩阵表示为:
⎩a3
x+b3y+c3z=d
3⎛ a1b1c1⎫⎛ abc⎪x⎫⎛d1⎫⎛a1b1c1⎫⎛x⎫⎛d1⎫
y⎪= d⎪,其中A= abc⎪,X= y⎪ ⎪ 222⎝a⎪⎪ 2⎪ 222⎪ ⎪,D= d2⎪.3b3c3⎪⎭⎝z⎪⎭ ⎝d3⎪⎭ ⎝a3b3c3⎪⎭ ⎝z⎪⎭ ⎝d3⎪⎭方程组可简记为AX=D.X=A-1D叫做方程组的解向量.
基础训练
1.系数行列式D≠0是二元一次方程组⎧⎨a1x+b1y=c1
⎩a ()
2x+b2y=c有唯一解的
2
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
ab
c
2.行列式de
f中元素f的代数余子式是 (
)
ghi
A.ab
abgh
B.-
gh C.acgi D.ab
de
101
3.以下向量中,能成为以行列式形式表示的直线方程x21=0的一个法向量是 ( )
y11A.(1,-2) B.(-2,1) C.(-1,-2) D.(2,1)
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⎧x+y+4z=0⎪
4.线性方程组⎨3x+y+5z=1的增广矩阵是 ( )
⎪x+6y+8z=7⎩
⎛1140⎫⎛1140⎫⎛114⎫⎛131⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪A. 3151⎪ B. 315-1⎪ C. 315⎪ D. 116⎪ 1687⎪ 168-7⎪ 168⎪ 458⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧a1x+a2y+a3z=a4⎪
5.已知数列{an}是首项为a1,公差d≠0的等差数列,则方程组⎨a5x+a6y+a7z=a8
⎪ax+ay+az=a
101112⎩9
解的情况为 ( )
A.唯一解 B.无解 C.无穷多解 D.以上均有可能
⎛a11a12a13⎫ ⎪
6.由9个正数组成的矩阵 a21a22a23⎪中,每行的三个数组成等差数列,
a⎪⎝31a32a33⎭
且a11+a12+a13、a21+a22+a23、a31+a32+a33成等比数列,下列四个判断正
确的有( )
(3)a12+a32≥a21+a23; (4)若9个数之和等于9,则a22≥1A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
(1)第2列a12、a22、a32必成等比数列;(2)第1列a11、a21、a31不一定成等比数列;
7.不等式
1-2
>2的解集为______.3x
45
x
3中,元素4的代数余子式大于0,则x满足的条件是______.9
8.行列式1x
78
⎧mx+4y=m+2
9.若关于x,y的二元一次方程组
⎨有无穷多组解,则m=_______.
x+my=m⎩
sinx
10.将函数f(x)=的图像向左平移a(a>0)个单位,所得图像对应
cosx
的函数为偶函数,则a最小值为____。
⎛1⎫
⎪
11.若矩阵A=(2,3,-1),B= -1⎪,则(1)AB=_____,(2)BA=_______.
1⎪⎝⎭
12.某个由A,B,C,D四个队参加的足球比赛,在单循环赛打完后的结果如下:A平B:1:1,A胜C:2:0,C负B:1:4,D平A:2:2,C负D:0:1,B平D:5:5.试用一个四阶矩阵表示四个队之间的赢球数_________.
综合训练
13.求函数y=
1cosx
2
sin2x1
的最小正周期和值域.
lg2x
14.解关于x的不等式lgx
31
21
-11≤0.
x14
15.若f(x)=m1m的最小值是非负数,求符合条件的整数m值的集合.
21x
⎧xcosA-ysinA=cosB
16.利用行列式解关于x,y的线性方程组⎨.
xsinA+ycosA=sinB⎩
17:在平面直角坐标系中,∆OAB的三个顶点坐标依次为:O(0,0),A(7,9), B(4,15),求∆OAB的面积.
⎛30⎫⎛-21⎫
18.已知矩阵A= ,矩阵B=⎪ ⎪.求矩阵X,使其满足2A-3X=B. ⎝-21⎭⎝22⎭
能力提高
⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫19.(1)计算:,;(2)观察(1)的计算结果,猜想 ⎪ ⎪ ⎪的值并加以证明.
⎝01⎭⎝01⎭⎝01⎭
(n≥2且n∈N*)
2
3
n
1sinxsinx0
x
.已知函数f(x)=020
2m
sinx的定义域为[0],最大值为4。
2
π
试求函数g(x)=msinx+2cosx(x∈R)的最小正周期和最值。
8.2 算法初步
复习目标
1. 明确算法的含义,熟悉算法的三种基本结构:顺序、条件和循环,以及基本的算法语句;
2. 能看懂简单的流程图,并解决一些算法问题
概念梳理
1.
输入输出框 判断框
2.顺序结构,条件结构,循环结构
基础训练
1.如图给出了一个算法流程图,该流程图的功能是 ( )A.求三个树中最大的数 B.求三个数中最小的数 C.按从小到大排列 D.按从大到小排列
2.如果执行下面的程序框图,那么输出的S= ( )
A. 2558 B. -2550 C. 2548 D.-2552
第2题图
3.根据右面的框图,该程序运行后输出的结果是_________。
1111
4.右图给出的是计算+++...+的一个框图,其中菱形判断框中
24620
第3题图 第4题图
5.对任意函数
f(x),x∈D。可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下:1.输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);
2.若x1∉D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈到输入端,再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去,现定义f(x)=(1)若输入x0=
4x-2
.x+1
49
,则由数列发生器产生数列{xn},请写出其所有项;65
(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列,试求输入的初始数据x0的值;(3)若输入x0时,产生无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有xn
上
海
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