平面解析几何
解析几何单元易错题练习
一.考试内容:
椭圆及其标准方程. 椭圆的简单几何性质. 椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程. 双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程. 抛物线的简单几何性质. 二.考试要求:
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用.
【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的试题:①考查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三.基础知识:
(一) 椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点F 1、F 2的距离的和大于|F 1F 2|这个条件不可忽视. 若这个距离之和小于|F 1F 2|,则这样的点不存在;若距离之和等于|F 1F 2|,则动点的轨迹是线段F 1F 2.
x 2y 2y 2x 2
2. 椭圆的标准方程:2+2=1(a >b >0),2+2=1(a >b >0).
a b a b
3. 椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果x 2项的分母大于y 2项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.
4. 求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(二) 椭圆的简单几何性质
x 2y 2
1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为2+2=1(a >b >0).
a b
⑴ 范围: -a≤x ≤a ,-b ≤x ≤b ,所以椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里. ⑵ 对称性:分别关于x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点:有四个A 1(-a ,0)、A 2(a ,0)B 1(0,-b )、B 2(0,b ).
线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长分别等于2a 和2b ,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
c
⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比e =叫做椭圆的离心率. 它的值表示椭圆的
a
扁平程度.0<e <1.e 越接近于1时,椭圆越扁;反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义:平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数c
e =(e <1=时,这个动点的轨迹是椭圆.
a
x 2y 2
⑵ 准线:根据椭圆的对称性,2+2=1(a >b >0)的准线有两条,它们的方
a b
a 2y 2x 2
程为x =±. 对于椭圆2+2=1(a >b >0)的准线方程,只要把x 换成y 就可以
c a b a 2
了,即y =±.
c
3. 椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
x 2y 2
设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别为椭圆2+2=1(a >b >0)的左、右两焦点,
a b
M (x ,y )是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为MF 1=a +ex ,MF 2=a -ex .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
c
椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有a 2=b 2+c 2、e =两个关系,因此确定椭圆的标
a
准方程只需两个独立条件. 4. 椭圆的参数方程
⎧x =a cos θx 2y 2
椭圆2+2=1(a >b >0)的参数方程为⎨(θ为参数).
a b ⎩y =b sin θ
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角. 椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜
b
角α不同:tan α=tan θ;
a
x 2y 2
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程2+2=1与三角恒等式cos 2θ+sin 2θ=1相比较
a b
x 2y 2
而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数
a b
⎧x =a cos θ方程是⎨.
⎩y =b sin θ5. 椭圆的的内外部
22x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔2+2
a b a b
22x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔2+2>1.
a b a b
6. 椭圆的切线方程
x x y y x 2y 2
(1)椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02+02=1.
a b a b
x 2y 2
(2)过椭圆2+2=1(a >b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
+2=1. a 2b
x 2y 2
(3)椭圆2+2=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2
a b
(三) 双曲线及其标准方程
1. 双曲线的定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (小
于|F 1F 2|)的动点M 的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中,要注意条件2a <|F 1F 2|,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解. 若2a=|F 1F 2|,则动点的轨迹是两条射线;若2a >|F 1F 2|,则无轨迹.
若MF 1<MF 2时,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若MF 1>MF 2时,轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
x 2y 2y 2x 2
2. 2-2=1和2-2=1(a >0,b >0). 这里b 2=c 2-a 2,
a b a b
其中|F 1F 2|=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3. 双曲线的标准方程判别方法是:如果x 2项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果y 2项的系数是正数,则焦点在y 轴上. 对于双曲线,a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. (四) 双曲线的简单几何性质
c x 2y 2
1. 双曲线2-2=1的实轴长为2a ,虚轴长为2b ,离心率e =>1,离心率e 越大,
a a b
双曲线的开口越大.
b x 2y 2x 2y 2
2. 双曲线2-2=1的渐近线方程为y =±x 或表示为2-2=0. 若已知双曲线的
a a b a b
m
渐近线方程是y =±x ,即mx ±ny =0,那么双曲线的方程具有以下形式:
n
m 2x 2-n 2y 2=k ,其中k 是一个不为零的常数.
3. 双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于
x 2y 2
1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线. 对于双曲线2-2=1,它的焦点坐标是
a b
a 2a 2
(-c ,0)和(c ,0),与它们对应的准线方程分别是x =-和x =. 双曲线
c c
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式 2
a b
a 2a 2
PF 1=|e (x +) |,PF 2=|e (-x ) |.
c c
4. 双曲线的内外部
22x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>1.
a b a b
22x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2
a b a b
5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2y 2x 2y 2b
(1)若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程:2-2=0⇔y =±x .
a a b a b
x y x 2y 2b
(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
a b a a b
x 2y 2x 2y 2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线,可设为2-2=λ(λ>0,焦点在x 轴上,
a b a b
λ
x x y y x 2y 2
(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02-02=1.
a b a b
x 2y 2
(2)过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. 2a b
x 2y 2
(3)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2-B 2b 2=c 2.
a b
(五) 抛物线的标准方程和几何性质
1.抛物线的定义:平面内到一定点(F )和一条定直线(l )的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点,这条定直线l 叫抛物线的准线。
需强调的是,点F 不在直线l 上,否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型:
y 2=2px 、y 2=-2px 、x 2=2py 、x 2=-2py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
(1)范围:x ≥0;
(2)对称轴:对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O (0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心); (4)离心率:e=1,由于e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的;
p
(5)准线方程x =-;
2
(6)焦半径公式:抛物线上一点P (x1,y1),F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p >0):
p p
y 2=2px :PF =x 1+; y 2=-2px :PF =-x 1+
22
p p
x 2=2py :PF =y 1+; x 2=-2py :PF =-y 1+
22
(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p >O )的焦点F 的弦为AB ,A (x1,y1),B (x2,y2),AB 的倾斜角为α,则有①|AB|=x1+x2+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只
能用“弦长公式”来求。
(8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x 2+bx+c=0,当a ≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,
用判别式法即可;
但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
2y 2
4. 抛物线y =2px 上的动点可设为P (, y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ,其中
2p
y 2=2px .
b 24ac -b 2
5. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +(1)顶点坐标(a ≠0) 的图象是抛物线:
2a 4a
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
) ;) ;为(-, (2)焦点的坐标为(-, (3)准线方程是
2a 4a 2a 4a 4ac -b 2-1y =.
4a
6. 抛物线的内外部
(1)点P (x 0, y 0) 在抛物线y 2=2px (p >0) 的内部⇔y 20) .
2
点P (x 0, y 0) 在抛物线y 2=2px (p >0) 的外部⇔y 2>2px (p >0) . (2)点P (x 0, y 0) 在抛物线y 2=-2px (p >0) 的内部⇔y 20) . 点P (x 0, y 0) 在抛物线y 2=-2px (p >0) 的外部⇔y 2>-2px (p >0) . (3)点P (x 0, y 0) 在抛物线x 2=2py (p >0) 的内部⇔x 20) . 点P (x 0, y 0) 在抛物线x 2=2py (p >0) 的外部⇔x 2>2py (p >0) . (4) 点P (x 0, y 0) 在抛物线x 2=2py (p >0) 的内部⇔x 20) . 点P (x 0, y 0) 在抛物线x 2=-2py (p >0) 的外部⇔x 2>-2py (p >0) . 7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y 2=2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .
(2)过抛物线y 2=2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是y 0y =p (x +x 0) . (3)抛物线y 2=2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB 2=2AC . (六). 两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f 1(x , y ) =0, f 2(x , y ) =0的交点的曲线系方程是
f 1(x , y ) +λf 2(x , y ) =0(λ为参数).
x 2y 2
+2=1, 其中k
a -k b -k
k >min{a 2, b 2}时, 表示椭圆; 当min{a 2, b 2}
(七) 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|(弦端点
⎧y =kx +b
∆>0, α为直线AB A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,由方程⎨ 消去y 得到ax 2+bx +c =0,
⎩F (x , y ) =0
的倾斜角,k 为直线的斜率).
(八). 圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. (2)曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是
2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C )
, y -) =0.
A 2+B 2A 2+B 2
四.基本方法和数学思想 F (x -
22x y 1. 椭圆焦半径公式:设P (x 0,y 0)为椭圆2+2=(上任一点,焦点为F 1(-c,0),F2(c,0),1a>b>0)a b
则PF ; 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0(e 为离心率)
22
y x 2. 双曲线焦半径公式:设P (x 0,y 0)为双曲线2-2=1(a>0,b>0)上任一点,焦点为a b
F 1(-c,0),F2(c,0),则:
(1)当P 点在右支上时,PF 1=a +ex 0, PF 2=-a +ex 0;
(2)当P 点在左支上时,PF (e 为离心率); 1=-a -ex 0, PF 2=a -ex 0;
2222
y y x x 另:双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐进线方程为2-2=0; a b a b
3. 抛物线焦半径公式:设P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点,F 为焦点,则
p p
PF =x 0+;y 2=2px(p<0) 上任意一点,F 为焦点,PF =-x 0+;
22
4. 涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;
22
b y x 5. 共渐进线y =±x 的双曲线标准方程为2-2=λ(λ为参数,λ≠0); a a b
6. 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
一般地,若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB , A 、B 两点分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) ,则弦长 AB =+k 2⋅x 2-x 1=(1+k 2)[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2]
=+
11⋅y -y =(1+) ⋅[(y 1+y 2) 2-4y 1y 2], 这里体现了解析几何“设而不求”的2122k k
2
解题思想;
7. 椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2b ,焦准距为p=b ,抛物线的通径为2p ,焦准
a
2
c
距为p; 双曲线x 2-y 2=1(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为b;
a
b
22
8. 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax 2+Bx2=1;
9. 抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB ,A (x 1,y 1)、B(x2,y 2), 则有如下结论:
2
p (1)AB =x 1+x2+p;(2)y 1y 2=-p ,x 1x 2=; 4
2
22x y 10. 过椭圆2+2=1(a>b>0)左焦点的焦点弦为AB ,则AB =2a +e (x 1+x 2) ,过右焦a b
点的弦AB =2a -e (x 1+x 2) ;
2
y 0
11. 对于y =2px(p≠0) 抛物线上的点的坐标可设为(,y 0), 以简化计算;
2p
2
12. 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 为
22
b 2x y 椭圆2+2=1(a>b>0)上不同的两点,M(x0,y 0) 是AB 的中点,则K AB K OM =-2;对于a a b
222
b y x 双曲线2-2=1(a>0,b>0),类似可得:K AB .K OM =2;对于y 2=2px(p≠0) 抛物线有K AB a a b
=2p y 1+y 2
13. 求轨迹的常用方法:
(1)直接法:直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法;
(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y 1) 的变化而变化,并且Q(x1,y 1) 又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1,再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程;
(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;
(5)参数法:当动点P (x,y )坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。
例题1 求过点(2,1)且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
x y
错解:设所求直线方程为+=1。
a b
21
∵(2,1)在直线上,∴+=1, ①
a b
1
又ab =4,即ab = 8 , ② 2
由①、②得a = 4,b = 2。故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中,由
于对截距概念模糊不清,误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
11
事实上,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为a b ,而不是ab 。
22
故所求直线方程应为:
x + 2 y = 4,或(+1)x - 2(2-1)y – 4 = 0,或(2- 1)x - 2(2+1)y +4 = 0。 例题2 求过点A (-4,2)且与x 轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程。
2
错解:设直线斜率为k ,其方程为y – 2 = k(x + 4),则与x 轴的交点为(-4-,0),
k
∴-4-
12
-=5,解得k = -。故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
5k
剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过A 且垂直于x
轴的直线,落入“陷阱”。其实x = - 4也符合题意。 例题3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程。
x y
+=1,将(1,1)代入得a = 2, a a
从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。
x y
剖析:上述错解所设方程为+=1,其中不含横、纵截距为0的特殊情形,事实上,
a a
横、纵截距为0且过点(1,1)的直线y = x 也符合条件。
例题4 已知圆的方程为x 2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ,一定点为A (1,2),要使过A 点作
圆的切线有两条,求a 的取值范围。
错解:设所求方程为
a 2 4-3a 22
错解:将圆的方程配方得: ( x + ) + ( y + 1 )= 。
24
a 4-3a 2
∵其圆心坐标为C (-,-1),半径r =。
24
当点A 在圆外时,过点A 可作圆的两条切线,则AC > r 。
a 24-3a 22
即(1+) +(2+1) >。即a 2 + a + 9 > 0,解得a ∈R 。
24
剖析:本题的“陷阱”是方程x 2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件,上述解法仅由
条件得出AC > r ,即a 2 + a + 9 > 0,却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a2 > 0。
事实上,由a 2 + a + 9 > 0及4 – 3 a2 > 0可得a 的取值范围是(-
22
3, 3)。 33
例题5 已知直线L :y = x + b与曲线C :y =-x 2有两个公共点,求实线b 的取值范围。
⎧y =x +b ,
⎪
错解:由⎨消去x 得:2y 2 - 2by + b2 – 1 = 0。 ( * )
⎪y =-x 2⎩
∵ L 与曲线C 有两个公共点, ∴ ∆= 4b2 – 8 ( b2 -1 ) > 0,解得-2<b <2 剖析:上述解法忽视了方程y =-x 2中y ≥ 0 ,- 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件,得
出了错误的结论。
事实上,曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。 ⎧
⎪ ∆= 4b 2-8(b2-1) >0⎪-2b ⎪
>0 解得1≤ b ≤2。 ⎨y 1+y 2=-2⎪2
⎪y y =b -1≥0
12⎪2⎩
例题6 等腰三角形顶点是A (4,2),底边的一个端点是B (3,5),求另一个端点C
的轨迹方程。
错解:设另一个端点的坐标为( x ,y ),依题意有:
AC =,即:(x -4) 2+(y -2) 2=(4-3) 2+(2-5) 2
∴ (x - 4)2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。
这是以A (4,2)为圆心、以为半径的圆。
剖析:因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点,所以A 、B 、C 三点不共线,即B 、C 不能
重合,且不能为圆A 一直径的两个端点,这正是解题后没有对轨迹进行检验,出现增解,造成的解题错误。
⎧x +3⎪2≠4⎧x ≠3
事实上,C 点的坐标须满足⎨,且⎨,
y +5y ≠5⎩⎪≠2⎩2
故端点C 的轨迹方程应为(x - 4)2 + ( y-2 )2 = 10 ( x≠3,y ≠5;x ≠5,y ≠-1) 。
它表示以(4,2)为圆心,以为半径的圆,除去(3,5)(5,-1)两点。
⎧ 5x +3y ≤15
⎪
例题7 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值,使式中的x ,y 满足约束条件: ⎨y ≤x +1
⎪x -5y ≤3⎩
错解:作出可行域如图1所示,过原点作直线L 0:3 x + 5 y = 0 。
由于经过B 点且与L 0平行的直线与原点的距离最近,
⎧x -5y =3⎪
故z = 3 x + 5 y在B 点取得最小值。解方程组⎨,得B 点坐标为(3,0),
⎪5x +3y =15⎩
∴ z 最小=3⨯3+5⨯0=9。
由于经过A 点且与L 0平行的直线与原点的距离最大, 故z = 3x + 5y在A 点取得最大值。
⎧y =x +135
解方程组⎨,得A 点坐标为(,)。
225x +3y =15⎩
35
+5⨯= 17 。 22
剖析:上述解法中,受课本例题的影响,误认为在对过原点的直线L 0的平行移动中,与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点,即为目标函数Z 取得最大值的点。反之,即为Z 取得最小值的点,并把这一认识移到不同情况中加以应用,由此造成了解题失误。
事实上,过原点作直线L 0:3x + 5y =
∴ z 最大=3⨯
0,由于使z = 3x + 5y > 0的区域为直线L 0的
右上方,而使z = 3x + 5y < 0的区域为L 0的
左下方。由图知:z = 3x + 5y应在A 点取得最大值,在C 点取得最小值。
⎧y =x +1
解方程组⎨,得C (-2,-1)。
x -5y =3⎩∴ z 最小=3⨯(-2)+5⨯(-1)= -11。
例题8 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为y =x .抛物线f (x ) =x 2+bx +c 过B ,D 两点
(1)若正方形中心M 为(2,2)时,求点N (b,c)的轨迹方程。 (2)求证方程f (x ) =x 的两实根x 1,x 2满足|x 1-x 2|>2 解答:(1)设B (2+s ,2-s ), D (2-s ,2+s ), s ≠0
⎧2+s =(2-S ) 2+b (2-S ) +c 因为 B,D在抛物线上 所以⎨两式相减得 2
⎩2-S =(2+S ) +b (2+S ) +c 2s =-8s -2sb 则b =-5代入(1)
得2+s =s 2-4s +4-10+5s +c ∴c =8-s 2
⎧t +s =(t -s ) 2+b (t -s ) +c (1)
同上⎨ 2
⎩t -s =(t +s ) +b (t +s ) +c (2) (1)-(2)得t =-
b +1
(3) 2
(1)+(2)得s 2+(b -1) t +t 2+c =0 (4)
b 2-1(b +1) 2
--c >0 (3)代入(4)消去t 得s =24
2
得(b -1) 2-4c >4 又f (x ) =x 即x 2+(b -1) x +c =0的两根x 1, x 2满足
x 1+x 2=1-b x 1∙x 2=c
∴|x 1-x 2|2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(b -1) 2-4c >4 故|x 1-x 2|>2。
易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。
1
例题9 已知双曲线两焦点F 1, F 2,其中F 1为y =-(x +1) 2+1的焦点,两点A (-3,2) B
4
(1,2)都在双曲线上,(1)求点F 1的坐标;(2)求点F 2的轨迹方程,并画出轨迹的草图;(3)若直线y =x +t 与F 2的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t 的取值范围。
1 解答:(1)由y =-(x +1) 2+1得:(x +1) 2=-4(y -1) ,故F 1(-1,0)
4
(2)设点F 2(x , y ) ,则又双曲线的定义得||AF 1|-|AF 2||=||BF 1|-|BF 2||≠0
又 |AF 2|=|AF 1|=
∴|AF 2|=
|BF 2|或|F 2A |+|F 2B |=|AF 1|+|BF 1|= ∴ 点F 2的轨迹是以A , B 为焦点的椭圆
(x +1) 2(y -2) 2
+=1除去点 ∴x +1=0 除去点(-1,0),(-1,4) 或84(-1,0),(-1,4) 图略。
y =x +t ⎧
⎪
(3)联列:⎨(x +1) 2(y -2) 消去y 得
+=1⎪
4⎩8
(x +1) 2+2(x +t -2) 2=8 整理得:3x 2+(4t -6) x +2t 2-8t +1=0 当 =0时
得t =3±
从图可知:t ∈(-∞,3-⋃(3++∞) , 又因为轨迹除去点(-1,0),(-1,4) 所以当直线过点(-1,0),(-1,4) 时也只有一个交点,即t =1或5
∴t ∈(-∞, 33) ⋃(23+, ∞⋃) {1, 5}
易错原因:(1)非标准方程求焦点坐标时计算易错;(2)求点F 2的轨迹时易少一种情况;(3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
例题10 已知圆O 1:x 2+y 2=1,圆O 2:x 2+y 2-10x +9=0都内切于动圆,试求动圆
圆心的轨迹方程。
错解:圆O 2:x 2+y 2-10x +9=0,即为(x -5) 2+y 2=16 所以圆O 2的圆心为O 2(5, 0) , 半径r 2=4,
而圆O 1:x 2+y 2=1的圆心为O 1(0, 0) , 半径r 1=1, 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r
则r =|O 1M |+1且r =|O 2M |+4,所以|O 1M |-|O 2M |=3 即x 2+y 2-(x -5) 2+y 2=3,化简得16x 2-80x -9y 2+64=0
5(x -) 2
y 2即-=1为所求动圆圆心的轨迹方程。
944
剖析:上述解法将|O 1M |-|O 2M |=3看成||O 1M |-|O 2M ||=3, 误认为动圆圆心的轨迹为
双曲线,这是双曲线的概念不清所致。
● 事实上,|O 1M |-|O 2M |=3表示动点M 到定点O 1及O 2的距离差为一常数3。
5
(x -) 2
y 2 且|O 1O 2|=5>3, 点M 的轨迹为双曲线右支,方程为-=1(x ≥4)
944
例题11 点P 与定点F (2,0)的距离和它到直线x=8的距离比是1:3, 求动点P 与定
5
点P 1(, 3) 距离的最值。
4
|PF |1
=, 错解:设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ,则d 3
(x -2) 2+y 21
= 即
|x -8|3
5
(x -) 2
y 2 两边平方、整理得=1 (1) +
929() 42529
由此式可得:(x -) 2=(1-y 2) ⨯() 2
494
5222922
因为|PP |=(x -) +(y -3) =(1-y ) ⨯() +(y -3) 2 1
49411377
=-(y +24) 2+
816● 所以|PP 1|
max =
3
= 164
● 剖析 由上述解题过程知, 动点P(x,y)在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵
坐标都是有限制的,上述错解在于忽视了-
332≤y ≤这一取值范围,由以22
上解题过程知,|P 1P |的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 即:当y =-
33
2时,|PP 1|max =3+2 22
2x 2y 2
, 过点A (0, -b )和● 例题12 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的离心率e=3a b
B(a,0)的直线与原点的距离为
3
, 直线y=kx+m(k ≠0, m ≠0) 与该双曲线交于不同2
两点C 、D ,且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围。
2
⎧24⎛b ⎫⎪e =1+ ⎪=
3⎝a ⎭⎪
● 错解
由已知,有⎨ 解之得:a 2=3, b 2=1
⎪=⎪2⎩
x 2
-y 2=1 ● 所以双曲线方程为3
● 把直线 y=kx+m代入双曲线方程,并整理得:(1-3k 2) x 2-6kmx -3m 2-3=0 ● 所以∆=m 2+1-3k 2>0(1)
● 设CD 中点为P (x 0, y 0) ,则AP ⊥CD ,且易知:x 0=
3km m
, y = 0
1-3k 21-3k 2
● 所以k AP
m
+121==- ⇒3k 2=4m +1 (2) 3km k 1-3k 2
● 将(2)式代入(1)式得m 2-4m >0 解得m>4或m
● 剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系,
4m +1
● 将k 2=代入(1) 式时,m 受k 的制约。
3
11
● 因为k 2>0 所以m >-故所求m 的范围应为m>4或-
44● 例题13 椭圆中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率e =
椭圆上的点最远距离是,求这个椭圆的方程。
33
, 已知点P (0, )到
22
x 2y 2
● 错解 设所求椭圆方程为2+2=1(a >b >0)
a b
b
● 因为=
a
1a 2-c 22
=-e =所以a=2b 2
2,a
x 2y 2
● 于是椭圆方程为2+2=1
4b b
3
● 设椭圆上点M (x,y )到点P (0, ) 的距离为d,
2
321y 292
● 则:d =x +(y -) =4b (1-2) +y 2-3y +=-3(y +) 2+4b 2+3
224b
2
2
● 所以当y =-
1
时,有d 2max =4b 2+3=7, b =1 2
x 2
+y 2=1 ● 所以所求椭圆方程为4
x 2y 2
● 剖析 由椭圆方程2+2=1(a >b >0) 得-b ≤y ≤b
a b
● 由(1)式知d 2是y 的二次函数,其对称轴为y =-
1
2
● 上述错解在于没有就对称轴在区间[-b , b ]内或外进行分类,
1
● 其正解应对f(y)=-3(y +) 2+4b 2+3的最值情况进行讨论:
2
11
● (1)当-b ≤-,即b ≥时
221x 22
+y 2=1 ● d m a x =f (-) =4b +3=7⇒b =1, 方程为
24
2
11
311
● d 2m a x =f (-b ) =7⇒b =7->,与b
222
● (2)当-
x 2
+y 2=1 综上所述,所求椭圆方程为4
y 2
=1, 问过点A ● 例题15 已知双曲线x -(1,1)能否作直线l , 使l 与双曲线交于P 、2
2
Q 两点,并且A 为线段PQ 的中点?若存在,求出直线l 的方程,若不存在,
说明理由。
● 错解 设符合题意的直线l 存在,并设P (x 1, x 2) 、Q (x 2, y 2)
⎧2y 12
=1(1) ⎪x 1-
⎪2● 则⎨ 2
⎪x 2-y 2=1(2) 2⎪2⎩
● (1)-(2) 得(x 1-x 2)(x 1+x 2) =
1
(y 1-y 2)(y 1+y 2) (3) 2
⎧x +x 2=2(4)
● 因为A (1,1)为线段PQ 的中点,所以⎨1
y +y =2(5) 2⎩1● 将(4)、(5)代入(3)得x 1-x 2=● 若x 1≠x 2,则直线l 的斜率k =
1
(y 1-y 2) 2
y 1-y 2
=2
x 1-x 2
● 所以符合题设条件的直线l 存在。其方程为2x -y -1=0
● 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能
推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。
⎧y =2x -1⎪
● 应在上述解题的基础上,再由⎨2y 2 得2x 2-4x +3=0
=1⎪x -2⎩ 根据∆=-8
(x -1) 2y 2
+=1,F 为它的右焦点,直线l 过原点交椭圆C 于● 例题15 已知椭圆C :
43
A 、B 两点。求|FA |⋅|FB |是否存在最大值或最小值?若不存在,说明理由。
● 错解 设A 、B 两点坐标分别为(x A , y A ) 、(x B , y B )
c 1a 2
=4 ● 因为a =4, b =3, 所以c =a -b =1,e ==,
a 2c
2
2
22
● 又椭圆中心为(1,0), 右准线方程为x=5, 所以
11
(5-x A ) 同理|FB |=(5-x B ) 22,
|FA |1
= 5-x A 2
● 即|FA |=
1
● 所以|FA |⋅|FB |=[25-5(x A +x B ) +x A x B ](1)
4
● 设直线l 的方程为y=kx,代入椭圆方程得(3+4k 2) x 2-6x -9=0
6-9
, x x = A B 22
3+4k 3+4k
139
) ● 代入(1)式得|FA |⋅|FB |=(25-
43+4k 2
25
● 所以3≤|FA |⋅|FB |
4
● 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当l 的斜率不存在时,
5525
● 有|FA |⋅|FB |=⨯=
224
● 所以x A +x B =
所以|FA |⋅FB 有最小值为 3,最大值为25/4
课后练习题
1、圆x 2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离等于2的点共有( ) A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个
分析:这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为2,导致错选( D )。 事实上,已知圆的方程为: 2 2
(x +1)+ (y+2) = 8,这是一个以(-1,-2)为圆心,以22为 半径的圆,圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0的距离 为d=
-1-2+1
2
=2,
这样只需画出(x +1)2 + (y+2) 2 和直线x + y + 1 = 0以及和如图2所示,图中三个点A 、B 、C 为所求,故应选(C )。
2、过定点(1,2)作两直线与圆x 2+y 2+kx +2y +k 2-15=0相切,则k 的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答:D
易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑D 2+E 2-4F >0
x 2y 2
3、设双曲线2-2=1(a >b >0) 的半焦距为C ,直线L 过(a ,0),(0,b ) 两点,已知原点到
a b
直线L
的距离为
,则双曲线的离心率为 4 C
3
A 2 B 2
或
D
解 答:D
易错原因:忽略条件a >b >0对离心率范围的限制。
4、已知二面角α-l -β的平面角为θ,PA ⊥α,PB ⊥β,A ,B 为垂足,且PA=4,PB=5,设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为x , y ,当θ变化时,点(x , y ) 的轨迹是下列图形中的
A B C D 解 答: D
易错原因:只注意寻找x , y 的关系式,而未考虑实际问题中x , y 的范围。
5
、若曲线y =y =k (x -2) +3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范
围是
A 0≤k ≤1 B 0≤k ≤解 答:C
易错原因:将曲线y =x 2-y 2=4时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y =x 平行的直线与双曲线的位置关系。
6、已知圆(x -3)2+y2=4 和 直线y=mx的交点分别为P 、Q 两点,O 为坐标原点, 则︱O P ︱·︱OQ ︱=( )
5
A 1+m2 B C 5 D 10
1+m 2
正确答案: C 错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱O P ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。
33
C -1
x 2y 2
7、双曲线-=1中,被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是( )
94
A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在
正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
1
8、已知α是三角形的一个内角,且sin α+cosα=则方程x 2sin α-y 2cos α=1表示
5
( )
A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆
1
正确答案:D 错因:学生不能由sin α+cosα=判断角α为钝角。
5
9、过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于P 、Q 两点,又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点, 则M ﹑N ﹑F 三点
A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数x ,y 满足3x 2+2y2=6x,则x 2+y2的最大值是( )
9
A 、 B 、4 C 、5 D 、2
2
正确答案:B
错误原因:忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。
11、过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案:C
⎧y 2=4x 2
错解:设直线的方程为y =kx +1,联立⎨,得(kx +1)=4x ,
⎩y =kx +1
即:k 2x 2+(2k -4) x +1=0,再由Δ=0, 得k=1,得答案A.
剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k=0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。
12、已知动点P (x , y )
满足=|3x +4y -11|,则P 点的轨迹是 ( ) A 、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案:A
错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线3x+4y-11=0上。 13、在直角坐标系中,方程(x +y -1)3+2x -x 2-y =0所表示的曲线为( ) A .一条直线和一个圆 B .一条线段和一个圆 C .一条直线和半个圆 D .一条线段和半个圆 正确答案:D 错因:忽视定义取值。
x 2
-y 2=1的两个焦点,点在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90 ,则 14、设F 1和F 2为双曲线4
)
。 ∆F 1PF 2的面积是( )A.1 B.
C. 2 D. 2
x 2
-y 2=1 a =2, C = ∴正解:A ||PF 1|-|PF 2||=4 4
⇒|PF 1|2-2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=16 ①
222
又 ∠F 1PF 2=90 ∴|PF 1|+|PF 2|=(2) ②
联立①②解得∴|PF 1||PF 2|=2 ∴S ∆F 1PF 2=1
误解:未将∴||PF 1|-|PF 2||=4两边平方,再与②联立,直接求出|PF 1||PF 2|。 15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y =±
b
x , (a >0, b >0) ,若双曲线上a
有一点M (x 0, y 0),使a |y 0|>b |x 0|,那双曲线的交点( )。 A. 在x 轴上 B. 在y 轴上 C. 当a >b 时在x 轴上 D. 当a b x 0得
y 0b
>,可设x 0>0, y 0>0,此时OM 的斜率大于渐近线的x 0a
斜率,由图像的性质,可知焦点在y 轴上。所以选B 。
x 2y 2
误解:设双曲线方程为2-2=λ,化简得:b 2x 2-a 2y 2=λa 2b 2,
a b
222
代入(x 0, y 0) ,b 2x 0,∴λ>0,∴焦点在x 轴上。这个方法-λa 2b 2=a 2y 0>b 2x 0
没错,但λ确定有误,应λ
误解:选B ,没有分组。
16、与圆x 2+(y +5) 2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( ) A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、6条
答案:C 错解:A
错因:忽略过原点的圆C 的两条切线
17、若双曲线x 2-y 2=1的右支上一点P (a,b )直线y=x的距离为2,则a+b 的值是( )
111
B 、 C 、± D 、±2
222
答案:B 错解:C
A 、-
错因:没有挖掘出隐含条件a >b
x 2y 2
-=1中,被点P (2,1)平分的弦所在的直线方程为( ) 18、双曲线94
A 、8x -9y =7 B 、8x +9y =25 C 、4x -9y =6 D 、不存在 答案:D
错解:A
错因:没有检验出8x -9y =7与双曲线无交点。
4x -9
的图象的对称中心,且和抛物线y 2=8x有且只有一个公共点的直x -2
线的条数共有( )
A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、不存在 正确答案:(B )
错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有1条,又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。
19、过函数y=-
x 2y 2
-=1上的点P 到点(5,0)的距离为8.5,则点P 到点(-5, 0) 的距离20、双曲线
169
_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为F 1(-5, 0) , F 2(5, 0) , 由双曲线定义知||PF 1|-|PF 2||=8 所以|PF 1|=16. 5或|PF 1|=0. 5
剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,
所以PF 1=0.5不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分析出点P 的存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为9>8.5,故点P 只能在右支上,所求PF 1=16.5
x 2y 2
+=1有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为4,则这21、一双曲线与椭圆
2736
个双曲线的方程为_____。
x 2y 2x 2y 2
+=4,设双曲线的方程为-+=1 (27
x 24215422
+=1∴x =15 ∴-+=1 ∴k =32 又由题意知
2736k -2736-k
x 2y 2
+=1 故所求双曲线方程为-54
误解:不注意焦点在y 轴上,出现错误。
y 2
=1的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点,且AB =4,则这样的22、过双曲线x -2
2
直线有___________条。错解:2
错因:设y =k (x -3) 代入椭圆的方程算出有两条,当k 不存在,即直线AB ⊥x 轴时,|AB |=4,忽视此种情况。正解:3
23、一动点到定直线x=3的距离是它到定点F (4,0)的距离的比是
1
,则动点轨道2
方程为 。
8(x -) 2
y 2 答案:-=1
4493
错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又F (4,0),所以c=4,又准线x=3,
a 2x 2y 222
=3, a =12, b =4,故双曲线方程为-=1 所以c 124
错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。
y 2
=1的右焦点F 2作倾斜角为30︒的弦AB ,则∆F 1AB 的周长24、经过双曲线x -3
2
为 。
答案:设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 其中
x 1>0, x 2
3
(x -2) 代入双曲线方程, 3
113
整理得8x 2+4x -13=0, 所以x 1+x 2=-, x 1x 2=-, 则AB =3,
28
可求得x 1-x 2=
3,故答案为3+ 2
错解:10
错因:作图错误,没有考虑倾斜角为30︒的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支有两交点。
25、如果不论实数b 取何值,直线y =kx +b 与双曲线x 2-2y 2=1总有公共点,那么k
的取值范围为 。 答案:(-
22, ) 2222, ] 22
错解:[-
错因:没考虑b=0时,直线不能与渐近线平行。
x 2y 216
26、双曲线9 - 16 =1上有一点P 到左准线的距离为5, 则P 到右焦点的距离为 。
x 2y 2
错解:设F 1、F 2分别为由双曲线的左、右焦点,则由双曲线的方程为9- 16 =1,
5
易求得a=3,c=5,从而离心率e =3 , 再由第二定义,易求
51616
|PF1|=ed1=⨯=,于是又由第一定义353
16
PF 2-PF 1=2a =6,得|PF2|=6±。
3剖析:以上出现两解的原因是考虑到P 可能在不同的两支上。 而事实上P 若在右支上,则其到F 1的最短距离应为右
16
顶点A 2到F 1的距离| A2 F1|=a+c=8,而
3
1634
=P 只能在左支,于是|PF2|=6+。 33
小结:一般地,若|PF1| ≥ a+c,则P 可能在两支上,
若|PF1|
3
27、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0),离心率为2,求双曲线的方程。
a 2
=2, c =8, 得:a 2=16, ∴b 2=48, 于是可求得双曲线的方程为 错解:由c
x 2y 2
-=1。 1648
点评:看起来问题已经解决,然而离心率这个条件似乎多余,而根据求得的方程又得不
3
到离心率为2 。错误是显然的,那么问题在哪里呢?其实问题就在于此方程并不是标准方程,而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程(下略)。由此看来,判断准方程的类型是个关键。 28、过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有
A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条
⎧y 2=4x 2
错解:设直线的方程为y =kx +1,联立⎨,得(kx +1)=4x ,
⎩y =kx +1
即:k 2x 2+(2k -4) x +1=0,再由Δ=0, 得k=1,得答案A.
剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k=0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。
小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,当直线与抛物线的对称轴平行时,也
只有一解。 29、已知曲线C :y =
20-x 2
与直线L :y =-x +m 仅有一个公共点,求m 的范围。 2
⎧y =-x +m 20-x 222
可化为x +4y =20(1),联立⎨2,得: 2
x +4y =202⎩
错解:曲线C :y =
5x 2-8mx +4m 2-20=0,由Δ=0, 得m =±5。
分析:方程(1)与原方程并不等价,应加上
y ∈[0, +∞)。
故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。(如
图),结合图形易求得m 的范围为
m =5或-2
解题回顾:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错。
3
30、设双曲线的渐近线为:y =±x ,求其离心率。
2
3b 3c b 2错解:由双曲线的渐近线为:y =±x ,可得:=,从而e ==+2=
2a 2a 2a
3
剖析:由双曲线的渐近线为y =±x 是不能确定焦点的位置在x 轴上的,当焦点的
2b 2c b 2位置在y 轴上时,=,故本题应有两解,即:e ==1+2=或。
a 33a 2a
y 2
=1,过P(1,1)能否作一条直线L 与双曲线交于A 、B 两点,且P 31、已知双曲线x -2
2
为AB 中点。 错解:(1)过点P 且与x 轴垂直的直线显然不符合要求。
y 2
=1并整理得:
(2)设过P 的直线方程为y -1=k (x -1) ,代入x -2
2
(2-k 2) x 2-2k (1-k ) x -(1-k ) 2-2=0
2k (1-k ) 2k (1-k )
=2 ,又∵ ∴x +x =21222
2-k 2-k
解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的。 剖析:本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”,当k=2时代入方程可知Δ
解题反思:使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式∆≥0是否成立。
∴x 1+x 2=
32、直线L :y =k (x -5) 与圆O :x 2+y 2=16相交于A 、B 两点,当k 变动时,弦AB 的中点M 的轨迹方程。
错解:易知直线恒过定点P (5,0),再由OM ⊥AP ,得:
OP
2
=OM
2
+MP
2
∴x 2+y 2+(x -5) 2+y 2=25,整理得:
5⎫25⎛2
x -⎪+y =
2⎭4⎝
剖析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M 应在圆内,故易
16
求得轨迹为圆内的部分,此时0≤x
533、设点P(x,y)在椭圆4x 2+y 2=4上,求x +y 的最大、最小值。
错解:因4x 2+y 2=4 ∴4x 2≤4,得:-1≤x ≤1,同理得:-2≤y ≤2,
故-3≤x +y ≤3 ∴最大、最小值分别为3, -3.
剖析:本题中x 、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件4x 2+y 2=4的约束。当x=1
时,y 此时取不到最大值2, 故x+y的最大值不为3。其实本题只需令
x =cos θ, y =2sin θ,则x +y =cos θ+2sin θ=sin(θ+ψ) ,故其最大值为5,
2
最小值为-5。