高中数学之三角函数类型题
1.已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值. 解:因为tan x =
sin x
=2,又sin 2x +cos 2x =1, cos x
⎧sin x =2cos x
联立得⎨2 ,2
sin x +cos x =1⎩
⎧2⎧2⎪sin x =⎪sin x =-⎪5⎪5 解这个方程组得⎨, ⎨.
⎪⎪
cos x =cos x =-⎪5⎪5⎩⎩2.求
tan(-120 ) cos(210 ) sin(-480 ) tan(-690) sin(-150) cos(330)
的值.
解:原式
tan(-120 +180 ) cos(180 +30 ) sin(-360 -120 )
= o
tan(-720+30) sin(-150) cos(360-30)
tan 60 (-cos 30 )(-sin 120 ) ==-33.
tan 30(-sin 150) cos 30
3.若
sin x -cos x
=2, ,求sin x cos x 的值.
sin x +cos x
sin x -cos x
=2,
sin x +cos x
解:法一:因为
所以sin x -cos x =2(sinx +cos x ) ,
得到sin x =-3cos x ,又sin 2x +cos 2x =1,联立方程组,解得 ⎧3⎧3sin x =sin x =-⎪⎪⎪⎪, ⎨⎨⎪⎪
cos x =-cos x =⎪⎪⎩⎩
3
⋅ 10sin x -cos x
=2, 法二:因为
sin x +cos x
所以sin x cos x =-
所以sin x -cos x =2(sinx +cos x ) , 所以(sinx -cos x ) 2=4(sinx +cos x ) 2, 所以1-2sin x cos x =4+8sin x cos x , 所以有sin x cos x =-
3⋅ 10
4.求证:tan 2x ·sin 2x =tan2x -sin 2x .
证明:法一:右边=tan 2x -sin 2x =tan2x -(tan2x ·cos 2x )=tan2x (1-cos 2x )=tan2x ·sin 2x ,问题
得证.
法二:左边=tan2x ·sin 2x =tan2x (1-cos 2x )=tan2x -tan 2x ·cos 2x =tan2x -sin 2x ,问题得证. 5.求函数y =2sin(
x π
+) 在区间[0,2π ]上的值域. 26
x πx π7π≤π, ≤+≤, 由正弦函数的图象, 26266
解:因为0≤x ≤2π,所以0≤
x π1
得到+) ∈[-, 1],
262
所以y ∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域.
(1)y =sin 2x -cos x +2; (2)y =2sin x cos x -(sinx +cos x ) . 解:(1)y =sin2x -cos x +2=1-cos 2x -cos x +2=-(cos2x +cos x ) +3,
令t =cosx ,则t ∈[-1, 1],y =-(t 利用二次函数的图象得到y ∈[1,
2
113113
+t ) +3=-(t +) 2+=-(t +) 2+,
2424
13
]. 4
(2)y =2sin x cos x -(sinx +cos x )=(sinx +cos x ) 2-1-(sinx +cos x ) ,令t =sinx +cos x =2,
5π
sin(x +) ,则t ∈[-2, 2]则,y =t 2-t -1, 利用二次函数的图象得到y ∈[-, 1+2].
44
7.若函数y =A sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0) 的图象的一个最高点为(2, 2) ,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0) ,求这个函数的一个解析式.
解:由最高点为(2, 2) ,得到A =2,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是
T 1π
个周期,这样求得=4,T =16,所以ω=⋅
844
ππππ
又由2=2⨯2+ϕ) ,得到可以取ϕ=. ∴y =2sin(x +).
8484
8.已知函数f (x )=cos4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 若x ∈[0, ],求f (x ) 的最大值、最小值.
π
2
数y =
1-sin x
的值域.
3-cos x
解:(Ⅰ) 因为f (x )=cos4x -2sin x cos x -sin4x =(cos2x -sin 2x )(cos2x +sin 2x ) -sin2x ππ
=(cos2x -sin 2x ) -sin 2x =cos 2x -sin 2x =2-2x ) =-2sin(2x -)
44
所以最小正周期为π.
πππ3ππ
(Ⅱ) 若x ∈[0, ],则(2x -) ∈[-, ],所以当x =0时,f (x ) 取最大值为-2sin(-) =1;
24444
当x =
3π
时,f (x ) 取最小值为-2. 8
cos θ+sin θ
;(2)sin 2θ-sin θ. cos θ+2cos 2θ的值.
cos θ-sin θsin θ1+
cos θ+sin θcos =1+tan θ=1+2=-3-22; 解:(1)=
sin 1-tan θ1-2cos θ+sin θ1-
cos θ
sin 2θ-sin θcos θ+2cos 2θ22
(2) sin θ-sin θcos θ+2cos θ= 22
sin θ+cos θ
sin 2θsin θ
-+222-2+24-2
=2. ==
sin θ2+13
+1cos 2θ
1. 已知tan θ=
2,求(1)
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。
2. 求函数y =1+sin x +cos x +(sinx +cos x ) 2的值域。
解:设t =sin x +cos x =
π
x +) ∈[,则原函数可化为
4
13
y =t 2+t +1=(t +) 2+
,因为t ∈[,所以
24
13
当t =
y max =3t =-时,y min =,
24
3
3+。 所以,函数的值域为y ∈[4
3.已知函数f (x ) =4sin 2x +2sin 2x -2,x ∈R 。
(1)求f (x ) 的最小正周期、f (x ) 的最大值及此时x 的集合; (2)证明:函数f (x ) 的图像关于直线x =-
π
对称。 8
解:f (x ) =4sin 2x +2sin 2x -2=2sin x -2(1-2sin 2x )
=2sin 2x -2cos 2x =x -) (1)所以f (x ) 的最小正周期T =π,因为x ∈R ,
π4
ππ3π
=2k π+,即x =k π+时,f (x
) 最大值为 428
π
(2)证明:欲证明函数f (x ) 的图像关于直线x =-对称,只要证明对任意x ∈R ,有
8
ππ
f (--x ) =f (-+x ) 成立,
88
所以,当2x -
ππππ
-x ) =--x ) -]=--2x ) =-2x ,
8842ππππ
f (-+x ) =-+x ) -]=-+2x ) =-2x ,
8842πππ
所以f (--x ) =f (-+x ) 成立,从而函数f (x ) 的图像关于直线x =-对称。
888
因为f (-
4. 已知函数y=
132
cos x+sinx ·cosx+1 (x ∈R ), 22
(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
1113322
cos x+sinx ·cosx+1= (2cosx -1)+ +(2sinx ·cosx )+1 24442151ππ5=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin +sin2x·cos )+ 44266441π5=sin(2x+)+ 264
πππ
所以y 取最大值时,只需2x+=+2kπ, (k ∈Z ),即 x=+kπ, (k ∈Z )。
626
π
所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=+kπ,k ∈Z}
6
解:(1)y=
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:
ππ
,得到函数y=sin(x+) 的图像; 66
1
(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
2
π
y=sin(2x+) 的图像;
6
1
(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数
2
1π
y=sin(2x+) 的图像; 26
51π5
(iv )把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。
4264
132
综上得到y=cos x+sinxcosx+1的图像。
22
历年高考综合题
一,选择题
(i )把函数y=sinx的图像向左平移
1. (08全国一6)y =(sinx -cos x ) -1是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 C .最小正周期为π的偶函数
B .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为π的奇函数
2
2. (08全国一9)为得到函数y =cos x +
⎛⎝
π⎫
⎪的图象,只需将函数y =sin x 的图像( )
3⎭
π
个长度单位 65π
C .向左平移个长度单位
6
A .向左平移
π
个长度单位 65π
D .向右平移个长度单位
6
B .向右平移
3.(08全国二1) 若sin α0是,则α是 ( ) A .第一象限角
B . 第二象限角 C . 第三象限角 D . 第四象限角
4. (08全国二10).函数f (x ) =sin x -cos x 的最大值为 ( ) A .1 B. 2 C. D.2 5. (08安徽卷8)函数y =sin(2x +A .x =-
π
3
) 图像的对称轴方程可能是 ( )
C .x =
π
6
B .x =-
π
12
π
6
D .x =
π
12
6. (08福建卷7)函数y =cosx (x∈R) 的图象向左平移
π
个单位后,得到函数y=g(x) 的图象,2
则g(x) 的解析式为 ( ) A.-sin x B.sinx C.-cosx D.cosx
7. (08广东卷5)已知函数f (x ) =(1+cos2x )sin x , x ∈R ,则f (x ) 是 ( )
2
π
的奇函数 2π
C 、最小正周期为π的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
2
A 、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为
8. (08海南卷11)函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )
A. -3,1
B. -2,2
C. -3,
3 2
D. -2,
3 2
9. (08湖北卷7)将函数y =sin(x -θ) 的图象F 向右平移
π
个单位长度得到图象F ′,若3
F ′的一条对称轴是直线x =
π
1
551111 A.π B.-π C.π D.-π
12121212
sin x
10. (08江西卷6)函数f (x ) =是 ( )
x
sin x +2sin
2
A .以4π为周期的偶函数 B.以2π为周期的奇函数 C .以2π为周期的偶函数 D.以4π为周期的奇函数
, 则θ的一个可能取值是 ( )
11. 若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ,N 两点,则
MN 的最大值为 ( )
A .1
B
C
D .2
12. (08山东卷10
)已知cos α-
⎛⎝
π⎫7π⎫⎛
+sin α=sin α+⎪ ⎪的值是( )
6⎭6⎭⎝
C.-
A
. B
44 D . 55
13. (08陕西卷1)sin 330︒等于 ( ) A
.-
2
B.-
11 C. 22
2
D
.
2
14. (08四川卷4)(tan x +cot x )cos x = ( ) A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x 15. (08天津卷6)把函数y =sin x (x ∈R ) 的图象上所有的点向左平行移动再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
π
个单位长度,3
1
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函2
数是 ( ) A.y =sin 2x -
⎛⎝π⎫
⎪,x ∈R 3⎭
B.y =sin
⎛x π⎫
+⎪,x ∈R 26⎭⎝
2π⎫
⎪,x ∈R 3⎭
C .y =sin 2x +
⎛⎝π⎫
⎪,x ∈R 3⎭
D.y =sin 2x +
⎛⎝
16. (08天津卷9)设a =sin A .a
5π2π2π
,b =cos ,c =tan ,则 ( ) 777
B .a 17. (08浙江卷2)函数y =(sinx +cos x ) 2+1的最小正周期是 ( )
π3π
B. π C. D.2π
22
x 3π
)(x ∈[0,2π])的图象和18. (08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中,函数y =cos(+22
1
直线y =的交点个数是 ( )
2
A.
A.0 B.1 C.2 D.4
二,填空题
19. (08北京卷9)若角α的终边经过点P (1,-2) ,则tan 2α的值为 . 20. (08江苏卷1)f (x )=cos ωx -
⎛
⎝
π⎫
6⎭
⎪的最小正周期为
π,其中ω>0,则ω= . 5
2sin 2x +1⎛π⎫
21. (08辽宁卷16)设x ∈ 0⎪,则函数y =的最小值为 .
sin 2x 2⎝⎭
22. (08浙江卷12)若sin(
π
3
+θ) =,则cos 2θ=_________。 25
π
23. (08上海卷6)函数f (x ) =3sin x +sin(+x ) 的最大值是
2三,解答题
24. (08四川卷17)求函数y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x 的最大值与最小值。
25. (08北京卷15
)已知函数f (x ) =sin 2ωx ωx sin ωx +
⎛⎝
π⎫
⎪(ω>0)的最小2⎭
正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数f (x ) 在区间⎢0⎥上的取值范围.
3
26. (08天津卷17)已知函数f (x ) =2co s 最小值正周期是
2
⎡2π⎤⎣⎦
ωx +2s in ωx cos ωx +1(x ∈R , ω>0)的
π
. (Ⅰ)求ω的值; 2
(Ⅱ)求函数f (x ) 的最大值,并且求使f (x ) 取得最大值的x 的集合.
27. (08安徽卷17)已知函数f (x ) =cos(2x -
π
) +2sin(x -)sin(x +) 344
ππ
(Ⅰ)求函数f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数f (x ) 在区间[-
28. (08陕西卷17
)已知函数f (x ) =2sin (Ⅰ)求函数f (x ) 的最小正周期及最值;
, ]上的值域
122
x x x
cos -2. 444
ππ
(Ⅱ)令g (x ) =f x +
⎛⎝
π⎫
⎪,判断函数g (x ) 的奇偶性,并说明理由. 3⎭
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
47 20. 10 21. 22. - 23.2 325
24. 解:y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x
=7-2sin 2x +4cos 2x (1-cos 2x )
=7-2sin 2x +4cos 2x sin 2x =7-2sin 2x +sin 22x =(1-sin 2x )+6
由于函数z =(u -1)+6在[-11,]中的最大值为
22
z max =(-1-1)+6=10 最小值为
z min =(1-1)+6=6
故当sin 2x =-1时y 取得最大值10,当sin 2x =1时y 取得最小值6
【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;
25. 解:
(Ⅰ)f (x ) =
2
2
1-cos 2ωx 11
+sin 2ωx =2ωx -cos 2ωx +
22222
π⎫1⎛
=sin 2ωx -⎪+.
6⎭2⎝
因为函数f (x ) 的最小正周期为π,且ω>0, 所以
2π
=π,解得ω=1. 2ω
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x ) =sin 2x -
⎛⎝
π⎫1⎪+. 6⎭2
2π, 3
ππ7π所以-≤2x -≤,
666
因为0≤x ≤所以-
1π⎫≤sin ⎛2x - ⎪≤1, 26⎝⎭
⎛
⎝
π⎫13⎡3⎤
,即的取值范围为f (x ) +≤0⎥. ⎪⎢6⎭22⎣2⎦
因此0≤sin 2x -26. 解:
f (x )=2⋅
1+cos 2ωx
+sin 2ωx +12
=sin 2ωx +cos 2ωx +2
ππ⎫ ⎛
=2 sin 2ωx cos +cos 2ωx sin ⎪+2
44⎭⎝π⎫⎛
=2sin 2ωx +⎪+2
4⎭⎝
由题设,函数f (x )的最小正周期是(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=
π2ππ
=,所以ω=2. ,可得
2ω22
π⎫⎛
2sin 4x +⎪+2.
4⎭⎝π
16+
k ππ⎫(k ∈Z )时,sin ⎛ 4x +⎪取得最大值1,所以函数24⎭⎝
当4x +
π
4
=
π
2
+2k π,即x =
πk π⎧⎫
f (x )的最大值是2+2,此时x 的集合为⎨x |x =+, k ∈Z ⎬
162⎩⎭
27. 解:(1) f (x ) =cos(2x -
π
) +2sin(x -)sin(x +)
344
ππ
=
1cos 2x +2x +(sinx -cos x )(sinx +cos x )
21cos 2x +2x +sin 2x -cos 2x
221cos 2x 2x -cos 2x 2 =
=
=sin(2x -
π
6
) ∴周期T =
2π
=π 2
(2) x ∈[-
ππ5π
, ],∴2x -∈[-, ] 122636
π
6
) 在区间[-
, ]上单调递增,在区间[, ]上单调递减,
12332
ππ
因为f (x ) =sin(2x -所以 当x =
ππππ
π
3
时,f (x ) 取最大值 1
又
f (-
π
12
) =ππ1
) 取最小值1222, ]上的值域为[ 122所以 函数 f (x ) 在区间[-
ππ
28. 解:(Ⅰ) f (x
) =sin
x x ⎛x π⎫+=2sin +⎪. 22⎝23⎭
∴f (x ) 的最小正周期T =
2π
=4π. 12
当sin
⎛x π⎫⎛x π⎫
+⎪=-1时,f (x ) 取得最小值-2;当sin +⎪=1时,f (x ) 取得最大值2.
2323⎝⎭⎝⎭
π⎫⎛x π⎫⎛
+⎪.又g (x ) =f x +⎪.
3⎭⎝23⎭⎝
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x ) =2sin
x ⎡1⎛π⎫π⎤⎛x π⎫
∴g (x ) =2sin ⎢ x +⎪+⎥=2sin +⎪=2cos .
23⎭3⎦⎝22⎭⎣2⎝
x ⎛x ⎫
g (-x ) =2cos -⎪=2cos =g (x ) .
2⎝2⎭
∴函数g (x ) 是偶函数.