空间几何体的概念.三视图
空间几何体的概念、三视图
教学目标
重点:熟练掌握空间几何体的三视图;
难点:能够理解多面体和旋转体的概念,能区分各种多面体和旋转体的结构特征;
能力点:能够由空间几何体的三视图得到它的直观图,也能够由直观图得到三视图,提升空间想象能力; 教育点:能够结合实际,体会多面体和旋转体的结构特征;
自主探究点:掌握直观图的概念,能运用斜二测画法画出空间几何体的直观图; 考试点:将三视图还原为空间几何体的实际形状,能根据三视图中给出的数值计算几何体的表面积和体积; 易错点:还原空间几何体形状时出错,不能准确判断出三视图所对应的几何体; 易混点:空间几何体的可见轮廓在三视图中为实线,不可见轮廓为虚线; 拓展点:空间几何体的截面问题.
学法与教具
1.学法:讲练结合,自主探究.
2.教具:多媒体课件,直尺,三角板,空间几何体模型. 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1.多面体的结构特征
(1)棱柱的上下底面________,侧棱都________且____________,上底面和下底面是________的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个____________的三角形.
(3)棱台可由________________________的平面截棱锥得到,其上下底面的两个多边形________. 2.旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其________________________________旋转得到.
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,也可由 ______________________的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到.
4.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、__________;它们的表面积等于__________________________________________________.
5.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用__________得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是____________的,三视图包括____________、__________、________.
6.空间几何体的直观图
表示空间几何体的平面图形叫做空间图形的直观图.画空间几何体的直观图常用________画法.
答案:
1.(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行于棱锥底面 相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)平行于圆锥底面 (4)直径
4.(1)各面面积之和 (2)矩形 扇形 扇环形 侧面积与底面面积之和 5.正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图 6.斜二测
三、【范例导航】
例1 给出下列命题:
①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;
②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;
④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________.
【分析】解决这种判断题的关键是:①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念;②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断,整体把握立体几何知识. 【解答】③④⑤⑥
①错误,因为棱柱的底面不一定是正多边形,故侧面不一定都全等; ②错误,必须用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台; ③正确,因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角; ④正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;
⑤正确,如图10.1-1所示,正方体AC 1中的四棱锥C 1-ABC ,四个面
都是直角三角形;
⑥正确,由棱台的概念可知.
图
10.1-1
因此,正确命题的序号是③④⑤⑥.
【点评】学会通过反例对概念进行辨析,要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可.
变式训练:如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个
命题中,假命题是( )
A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D. 等腰四棱锥的各顶点必同在一个球面上 【解答】B .
如图10.1-2,等腰四棱锥S -ABCD ,过顶点S 作底面ABCD 的垂线, 垂足为H ,则SHA 、SHB 、SHC 、SHD 都是直角三角形, 又因为SA =SB =SC =SD ,所以SHA = SHB = SHC = SHD , 所以HA =HB =HC =HD ,且∠SAH =∠SAB =∠SAC =∠SAD .
图10.1-2
例2 一个几何体的三视图(单位:cm) 如图10.1-3所示,则该几何体的表面积 是________cm2.
【分析】三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系. 【解答】4π+12.
【点评】多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
图
10.1-3
变式训练:一个几何体的三视图如图10.1-4所示,这个几何体的体积
是 . 【解答】
16
π+12. 3
【点评】本题以三视图为载体考查几何体的体积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.同时注意在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实、不见为虚”.
图10.1-4
例3 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图10.1-5所示,求图中三角形(正四面体的截面) 的面积.
【分析】解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机结合.
【解答】如图10.1-6所示,ABE 为题中的三角形,
图
10.1-5
由已知得AB =
2,BE =22=
BF =BE =,
3AF === =
图10.1-6
∴
ABE 的面积为S =1⨯BE ⨯AF =12
2
【点评】找出几何体中的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个 截面圆作为衬托.
变式训练:在棱长为6的正四面体内有一个内切球(球与正四面体的
四个面都相切) ,经过四面体的一条棱及高作截面,如图10.1-7所示. 求内切球的半径.
【解答】如图10.1-8所示,在截面ABD 内,
AB 为正四面体的一条棱,所以AB =6.
BD
为正四面体的一个面的高,所以BD =
同理AD =
HD =∴AH =又
6=,
2
图
10.1-7
1
⨯BD =
3
=
AOE ∽ ADH ,∴AO =
OE AD
DH
,∴内切球的半径为.
22
=,
∴OE =
图
10.1-8
四、【解法小结】
1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质,并能灵活应用.
2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.
3.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.
4.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的进行求解. 5.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出截面图. 五、【布置作业】 必做题:
1.(2011陕西) 某几何体的三视图如图10.1-9所示,则它的体积是
2.(2011安徽) 一个空间几何体的三视图如图10.1-10所示,则该几何体的表面积为.
图
10.1-9 图10.1-10
答案:
1.由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥, 所以V =23-⨯π⨯2=8-
132π. 3
2.由三视图知该几何体的直观图如图10.1-11所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽为4,长
为
=
所以S 表=42+2⨯4+
1
⨯(2+4) ⨯4⨯2+42=48+. 2
图
10.1-11
选做题:
1.如图10.1-12所示,已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1的中点,求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积.
2.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 答案:
图10.1-12
1.方法一:如图10.1-13,连接A 1C 1,B 1D 1交于点O 1,连接B 1D 1,过O 1作
O 1H ⊥B 1D 于H .
∵EF //A 1C 1,且AC 11⊄平面B 1EDF ,∴AC 11//平面B 1EDF . ∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离. ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ,
∴O 1H ⊥平面B 1EDF ,即O 1H 为棱锥的高. ∵ B 1O 1H
B 1DD 1,∴O 1H =∴V C 1-B 1EDF =
B 1O 1⋅DD 1=a .
B 1D 6
图10.1-13
111111
S 四边形B 1EDF ⋅O 1H =⋅⋅EF ⋅B 1D ⋅O 1H =⋅=a 3. 332326
方法二:连接EF ,B 1D .
.
设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1,D 到平面C 1EF 的距离为h
2,则h 1+h 2=B 1D 1=由题意得,V C 1-B 1EDF =V B 1-C 1EF +V D -C 1EF =
11
⋅S C 1EF ⋅(h 1+h 2) =a 3. 36
2
.
六、【教后反思】
1.本教案主要是考虑到本节是立体几何复习的第一节内容而设计的,紧抓基础知识,从课本上出现的概念和定义入手,引导学生回顾内容,熟悉题型,掌握知识.在设计上,紧抓基础题型,选取典型的三种题型进行讲解:多面体和旋转体的结构特征;三视图;空间几何体的表面积和体积的计算,较为全面的抓住高考考点,为高考指路.
2.本教案的设计也有许多不足之处.立体几何是高考的重点考查内容,而本教案由于篇幅限制以及课堂时间的局限,不能做到面面俱到,比如并未涉及直观图的斜二测画法问题.同时由于作为立体几何的第一节,概念较多,在知识点的纵向组合上做的还不到位,尚需改进.对于尚未设计到的题型及知识点的整合,可以放到后续的课程和章末总结时进行补充.