三角函数图像性质2 文档
府成教育同步辅导 电话[1**********] 2015年5月1日 课题:三角函数的图像和性质 主讲人:林老师 姓名:_____ 三角函数的图像和性质【考点分类】
热点一 、 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图,则ω=( )
(A )5 (B )4 (C )3 (D )2
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是( )
π
2
π
2的部分图象如图所示,则ω, ϕ的
)
2, -
(A )
π
3 (B )
2, -
π
6 (C )
4, -
π
6 (D )
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
π
2
π
2的部分图象如图所示,
)
则ω, ϕ的值分别是( )
2, -
(A )
π
3 (B )
2, -
π
6 (C )
4, -
π
6 (D )3
4,
π
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )
π
A .12
π
B .6 π
C .3 5πD .6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为( )
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. (2012年高考(浙江理))把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是( )
5ππ
8.(2012年高考(课标文))已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= ( )
πA .4πB .3πC .23πD .4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
3的图像重合,则ϕ=___________. 移2个单位后,与函数
f (x ) =sin x +sin(x +) 3. 10. 设函数
(Ⅰ)求f (x ) 的最小值,并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合;
(Ⅱ)不画图,说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.
ππ
π
f (x ) =6cos 2
11.(2012年高考(四川理)
)函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. (2012年高考(陕西文))函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
【方法总结】
1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 或y =Acos(ωx2π
+φ)(A>0,ω>0) 的形式;②求出周期T =ω;③求出振幅A ;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.
π
2.y =Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程ωx+φ=kπ+2(k∈Z) 解出;它还有无kπ-φ
穷多个对称中心,它们是图象与x 轴的交点,可由ωx+φ=kπ(k∈Z) ,解得x =ω(k∈Z) ,kπ-φ
即其对称中心为(ω,0)(k∈Z) .
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为22
4. 根据y =As in(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点
(1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =; 2最高点+最低点(2)k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k =; 22π
(3)ω的确定:结合图象,先求出周期T ,然后由T =ω来确定ω;
φ
(4)φ的确定:由函数y =Asin(ωx+φ)+k 最开始与x ω即令ωx+φ=0,φ
x =-ω) 确定φ.
热点二、 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪⎢0, 2⎥4⎝⎭⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】函数在区间⎣
的最小值是( )
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( )
A .y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B .y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C .f (x
) D .f (x ) 既是奇函数,又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为( ) 15.(2012年高考(湖南理))函数
B .
] C .[-1,1 ] D .
, π
A .[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标(I )理科】设当x=θ时,函数f(x)=sinx -2cosx 取得最大值,则cosθ=______.
17(2012年高考(大纲理)
)当函数y =sin x x (0≤x
x =_______________.
f (x ) =cos 2
18. (2012年高考(四川文))已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
(Ⅰ)求f (x ) 的最小正周期及最大值;
π
α∈
(, π)
(Ⅱ)若
2
f (α) =
,且
,求α的值.
f (x ) =
20.【(山东卷)文科】
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ,且y =f (x )
π
的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,
(Ⅰ) 求ω的值; (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法: (1)利用sin x、cos x的值域;
(2)形式复杂的函数应化为y =Asin(ωx +φ) +k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 、 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0 ,则ϕ的值可以是
⎝数( )
5π5πππ
A .3 B .6 C .2 D .6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
ω>04在222.(2012年高考(新课标理))已知, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是( )
ππ
15[, ]A .24 13[, ]B .24 1(0,]2 C .
D .(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期为 23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
______.
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
π
小正周期T 为_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
f (x ) =
26. (2012年高考(北京理))已知函数
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
【方法总结】
求形如y =Asin(ωx +φ) 或y =Acos(ωx +φ)(其中A ≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx +φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A
三角函数的图像和性质 答案
热点一 三角函数的图像
1. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】函
数
f (x ) =sin x cos x +
2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A π,1 B 、π,1 C 、π,1 D 、π
,1
2. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数
y =sin (ωx +ϕ)(ω>0)
的部分图像如图,则ω=( )
(A )5 (B )4 (C )3 (D )2 A π,1 B 、π,1 C 、π,1D 、π,1
【解析】∵由题中图像可知
x 0+
π
4
-x 0=
T π2ππ
T ==2. ∴2. ∴ω2. ∴ω=4. 故选B.
3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
值分别是( )
π
2
π
2的部分图象如图所示,则ω, ϕ的
)
2, -
2, -
(A )
π
3 (B )
π
6
4, -
(C )
π
6 (D )
4,
π
3
4、【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】函数
f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
( )
π
2
π
2的部分图象如图所示,则ω, ϕ的值分别是
)
2, -
(A )
π
3 (B )
2, -
π
6 (C )
4, -
π
6 (D )
4,
π
3
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 理】
将函数y =x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )
π
A .12
π
B .6 π
C .3 5πD .6
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理】将函数
y =sin (2x +ϕ)
的图象
π
沿轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为( )
3πππ
-
A. 4 B. 4 C. 0 D. 4
7. (2012年高考(浙江理))把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度, 得到的图像是( )
5ππ
8.(2012年高考(课标文))已知ω>0,0
f (x ) =sin(ωx +ϕ) 图像的两条相邻的对称轴, 则ϕ= ( )
πA .4πB .3πC .23πD .4
9. 【2013年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】 函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
y =sin(2x +)
23的图像重合,则ϕ
=___________. 移个单位后,与函数
ππ
f (x ) =sin x +sin(x +)
3. 10. 设函数
(Ⅰ)求f (x ) 的最小值,并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合;
(Ⅱ)不画图,说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到
.
π
f (x ) =6cos 2
11.(2012年高考(四川理)
)函数
ωx
2
+ωx -3(ω>0)
在一个周期内
的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且∆ABC 为正三角形. (Ⅰ) 求ω的值及函数f (x ) 的值域;
(Ⅱ)
若
f (x 0) =
102x 0∈(-, )
33, 求f (x 0+1) 的值
. , 且
f (x ) =A sin(ωx -) +1
612. (2012年高考(陕西文))函数(A >0, ω>0) 的最大值为3, 其
π
π
图像相邻两条对称轴之间的距离为2, (1)求函数f (x ) 的解析式;
π
α∈(0,)
(2)设
f () =22, 则2, 求α的值.
α
0
∵
π
2,∴6
-
π
π
6
π
3,∴
α-
π
6
=
π
6,故
α=
π
3.
【方法总结】
1.用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 或y =Acos(ωx2π
+φ)(A>0,ω>0) 的形式;②求出周期T =ω;③求出振幅A ;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.
π
2.y =Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程ωx+φ=kπ+2(k∈Z) 解出;它还有无kπ-φ
穷多个对称中心,它们是图象与x 轴的交点,可由ωx+φ=kπ(k∈Z) ,解得x =ω(k∈Z) ,kπ-φ
即其对称中心为(ω,0)(k∈Z) .
T T
3. 相邻两对称轴间的距离为224. 根据y =Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点
(1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =; 2最高点+最低点(2)k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k =; 22π
(3)ω的确定:结合图象,先求出周期T ,然后由T =ω来确定ω;
φ
(4)φ的确定:由函数y =Asin(ωx+φ)+k 最开始与x ω即令ωx+φ=0,φ
x =-ω) 确定φ. 热点二 三角函数的最值
π⎫⎛⎡π⎤
f (x ) =sin 2x -⎪0, ⎥⎢4⎝⎭在区间⎣2⎦上13. 【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】函数
的最小值是( )
(C)
(A) -1
(B) (D) 0
14. 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数f (x ) =cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( )
A .y =f (x ) 的图像关于点(π,0) 中心对称 B .y =f (x ) 的图像关于直线
x =
π
2对称
C .f (x
) D .f (x ) 既是奇函数,又是周期函数
f (x ) =sin x -cos(x +)
6的值域为( ) 15.(2012年高考(湖南理))函数
B .
] C .[-1,1 ] D .
,
π
A .[ -2 ,2]
16. 【2013年全国高考新课标(I )理科】设当x=θ时,函数f(x)=sinx -2cosx 取得最大值,则cosθ=______.
cos θ=
【解析】
=17(2012年高考(大纲理)
)当函数y =sin x x (0≤x
x =
_______________.
f (x ) =cos 2
18. (2012年高考(四川文))已知函数
x x x 1
-sin cos -2222. , 求sin 2α的值
.
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)
若
f (α) =
19. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】
1
f (x ) =(2cos2x -1)sin 2x +cos 4x
2已知函数
(Ⅰ)求f (x ) 的最小正周期及最大值;
π
α∈
(, π)
(Ⅱ)若
2
f (α) =
,且
,求α的值.
20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】
f (x ) =
设函数
2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) ,且y =f (x ) 的图象的一个对称
π
中心到最近的对称轴的距离为4,
(Ⅰ) 求ω的值; (Ⅱ) 求f (x ) 在区间
[π,
3π
]
2上的最大值和最小值
.
【方法总结】
求解涉及三角函数的值域(最值) 的题目一般常用以下方法: (1)利用sin x、cos x的值域;
(2)形式复杂的函数应化为y =Asin(ωx +φ) +k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 热点三 三角函数的性质
21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】
π⎫⎛π
f (x )=sin (2x +θ) -1)个单位长度
2⎭⎝2将函数后得到函
⎛g (x )的图像, 若f (x ), g (
x )的图像都经过点P 0,则ϕ的值可以是
⎝数( )
5π5πππ
A .3 B .6 C .2 D .6
f (x ) =sin(ωx +) (, π)
4在222.(2012年高考(新课标理))已知ω>0, 函数上单调递减.
则ω的取值范
围是( )
ππ
15[, ]A .24
【答案】A
13[, ]B .24 1(0,]2 C .
D .(0,2]
y =3sin(2x +)
4的最小正周期23. 【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】函数
为
.
π
2
y =sin 2x +x 的最24. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
理】函数
小正周期T 为
_______.
25【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】
π⎫⎛
f (x ) = 2x +⎪+6sin x cos x -2cos 2x +1, x ∈R
4⎭⎝已知函数.
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期;
⎡π⎤
⎢0, 2⎥f (x ) ⎦上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求在区间⎣
⎡π⎤⎢0, 2⎥f (x ) ⎦
上的最大值为,最小值为-2. 故函数在区间⎣
f (x ) =
26. (2012年高考(北京理))已知函数(1)求f (x ) 的定义域及最小正周期; (2)求f (x ) 的单调递增区间.
(sinx -cos x )sin 2x
sin x .
{x x ≠k π, k ∈Z }
解(1):sin x ≠0⇔x ≠k π(k ∈Z ) 得:函数f (x ) 的定义域为
【方法总结】
求形如y =Asin(ωx +φ) 或y =Acos(ωx +φ)(其中A ≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx +φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A