弹性力学练习-答案

一、填空题

1. 等截面直杆扭转问题中，2dxdyM的物理意义是 : 杆端截面上剪应力 D

对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

5．弹性力学的基本假定为:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。

6． 一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件） 。

7． 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程 、应力边界条件 。

13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：ij,jXi

0，ij

1(ui,juj,i)2

17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

18. 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19. 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

20. 为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题

1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）

2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（×）

3、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（×）

4、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）

5、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（×）

6、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（×）

7、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（×）

8、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（×）

9、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）

10、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）

11、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ）

12、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（×）

13、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（×）

三、问答题

1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

答：圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：

（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

3．弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途分别是什么？

答：1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次

幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。 4．简述材料力学和弹性力学在研究对象方面的异同点。

答：在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。

5．简述材料力学和弹性力学在研究方法方面的异同点。

在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。

6．简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有，，。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和v

7．为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？

答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。

8．在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？

答：每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。

9．在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？

答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单

元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。

10．简述按应力求解平面问题时的逆解法。

答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。

11．以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。

（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。

（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。

（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。

（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。

（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。

（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。

（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。

四、计算题

1、图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出 xy,y，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

解：

（1）求横截面上正应力 x

任意截面的弯矩为 M

h3

截面惯性矩为 I 12q03x 6l

由材料力学计算公式有： x2qMy30x3y （1） Ilh

（2）由平衡微分方程求y、xy

xxyX0 (2)xy平衡微分方程：  yxyY0 (3)yx

其中： X0,Y0，将式（1）代入式（2），有

将（1）代入（2），有

积分上式，得 xy

利用边界条件： xy

有： xyy6q02xy lh33q022xyf1(x) 3lhyh20

xy3q0223q022xhf(x)0f(x)xh 得 114lh34lh33q022123x(yh) （4） lh4

将式（4）代入式（3），有

y6q06q01212y22 得 x(yh)0x(yh) 33ylh4lh4y

积分得 ：

y6q0y312x(hy)f2(x) 3lh34

利用边界条件：

yyh

20，yyh

2q0x。 l

得 ：

6q0q0h313x(h)f(x)x2lh3248l 36q0x(h1h3)f(x)0 2lh3248

由第二式，得

f2(x)q0x 2l

将其代入第一式，得

q0qqx0x0x，自然成立。 2l2ll

将y、f2(x)代入的表达式，有

6q0y312qy3x(hy)0x （5） lh342l

所求应力分量：

x

xy2qMy30x3y Ilh3q022123x(yh) lh4

6q0y312qy3x(hy)0x lh342l

2322、已知应力分量xQxy2C1x3，y，CxyCyCxy，体力不计,Q 2xy232

为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。

解：

将所给应力分量代入平衡微分方程

xyx0yx yxy0xy

得

Qy23C1x23C2y2C3x20 3C2xy2C3xy0

即

3C1C3x2Q3C2y20 3C22C3xy0

由x，y的任意性，得

3C1C30Q3C20 3C2C032

由此解得，C1QQQ，C2，C3 632

3、已知应力分量xq，yq，xy0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和

相容方程。

解：

将已知应力分量xq，yq，xy0，代入平衡微分方程

xyxX0xy yxyY0yx

可知，已知应力分量xq，yq，xy0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：

2xy22

(xy)2(yx)2(1)2xyyx

将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：

222xy ()()xyyx22111xyyx

将已知应力分量xq，yq，xy0代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否

可能存在。

（1）xAxy，yBy3，xyCDy2； 2

（2）xAy2，yBx2y，xyCxy；

（3）x0，y0，xyCxy；

其中，A，B，C，D为常数。

解：

应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

222xyxy 22xyyx

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）2A2ByC（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。

（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则x0，y0，xy0。

5、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分

量。

解：

根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设x0。由此可 知 2x20 y

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

x,yf1(x)yf2(x)

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

d4f1(x)d4f2(x)y0 44dxdx

这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即

d4f1(x)d4f2(x)0， 0 44dxdx

这两个方程要求

f1(x)Ax3Bx2CxI， f2(x)Dx3Ex2JxK

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2

对应应力分量为

2x20 y

2y2y(6Ax2B)6Dx2Egy x

2xy3Ax22BxC xy

以上常数可以根据边界条件确定。

左边，x0，l1，m0，沿y方向无面力，所以有

(xy)x0C0

右边，xb，l1，m0，沿y方向的面力为q，所以有

(xy)xb3Ab22Bbq

上边，y0，l0，m1，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

(0bxy)y0dx0

将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有



b0

b

32

(3Ax22Bx)dxAx3Bx2b0AbBb0

而(xy)y00dx0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即



b

b

(y)y0dx0， (y)y0xdx0

b

将y的表达式代入，则有

(6Dx2E)dx3Dx

2

2

2Exb03Db2Eb0



由此可得

b

32

(6Dx2E)xdx2Dx3Ex2b2DbEb0 0

A

qq

B，，C0，D0，E0 2

bb

应力分量为

x0, y2q1gy, xyq32

虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。

6、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1，液体的密度为2，试求应力分量。

ybxbxxbb

解：

采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在

楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与1g成正比（g是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与2g成正比。此外，每一部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，1g和2g的量纲是L-2MT-2，是量纲一的量，而x和y的量

纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A1gx，

B1gy，C2gx，D2gy四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有

关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

ax3bx2ycxy2dy3

相应的应力分量表达式为

222

2bx2cy x2xfx2cx6dy, y2yfy6ax2by1gy, xy

xxyy

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

左面，x0，l1，m0，作用有水平面力2gy，所以有

(x)x06dy2gy

对左面的任意y值都应成立，可见

d

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

2g

6

(xy)x02cy0

对左面的任意y值都应成立，可见

c0

因此，应力分量可以简化为

x2gy，y6ax2by1gy，xy2bx



斜面，xytan，lcos，mcossin，没有面力，所以有

2

lxmyxxytan0



mylxyxytan0

由第一个方程，得

2gycos2bytansin0

对斜面的任意y值都应成立，这就要求

2gcos2btansin0

由第二个方程，得

6aytan2by1gysin2bytancos6atansin4bsin1gsiny0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求

6atan4b1g0

由此解得

111

a1gcot2gcot3，b2gcot2 632

从而应力分量为

x2gy, y1gcot22gcot3x2gcot21gy， xy2gxcot2

。