柱体.锥体.台体的表面积练习(带详解)
柱体、锥体、台体的表面积练习
一、选择题
1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个
2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ）
A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°
3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ．10cm B ．5
5
2cm
C ．5π
2
+1cm D ．2
3
2
+4
cm
4．中心角为4π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（ ）
A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶8 5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a
2222
A ．33（b －a ） B ．23（b －a ）
3
C ．3（b 2－a 2） D ．2（b 2－a 2）
6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）
A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶5 C ．1∶2∶4 D ．1∶3∶9
7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）
A ．3∶5 B ．9∶25
C ．5∶41 D ．7∶9
8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
1+2π1+2π1+2π1+4π A ．2π B ．4π C ．π D ．2π
9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面
T
体EFGH 的表面积为T ，则S 等于（ ）
1
4
1
1
A ．9 B ．9 C ．4 D ．3
10．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ） A ．40 B ．20(1+ 二、填空题
3) C ．30(1+
3) D ．303
11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．
12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．
13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．
2
14．圆台的母线长是3 cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm ，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______． 三、解答题
15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．
16．圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?
17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．
参考答案
一、选择题
1．C 设正四棱柱的底面边长为a ，高为c ，由题意 22
2a ＋c ＝81①
2a 2＋4ac 2＝144 即a 2＋2ac 2＝72②
22
①×8－②×9得7a －18ac ＋8c ＝0即（7a －4c ）（a －2c ）＝0，因此7a －4c ＝0或a ＝2c ，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C ． 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D
8．A 设底面圆半径为r ，母线即高为h ．∴h ＝2πr ．
S 全
2πr ＋2πrh
2
r ＋h r ＋2πr 1＋2π
S 2πrh ∴侧＝∴应选A ． 9．A
＝h ＝2πr ＝2π．
10．B 可计算出直截面的周长为5＋53，则S 侧＝4（5＋53）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，则可证明□BB 1C 1C 为矩形，因此，S
S 矩形BB 1C 1C
侧
＝2S □AA
1B 1B
＋
＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．
二、填空题
11．2N ＋2Mh ．
2
2
设长方体的长和宽分别为a ，b 则有a ·b ＝M ，a ＋b ·h ＝N ， 2（a ＋b ）h ＝2a ＋b ）·h ＝
2
22
2
N h
22
＋2M
·h ＝2N ＋2Mh
22
．
ab
200
12．a ＋b 13．3；60° 14．2cm ；2cm ，2cm 三、解答题．
15．设O ，O 1分别为下，上底面中心，连接OO 1，则OO 1⊥平面AB C ，上底面边长为x ，连接AO ，A 1O 1并延长交BC ，B 1C 1分别于D 、D 1两点．
则AD ⊥BC ，连接DD 1，则DD 1⊥BC ，∠ADD 1为二面角A －BC －D 1的平面角，即∠ADD 1＝60°，过D 1作D 1E ∥OO 1交AD 于E ，则D 1E ⊥平面ABC ．
3
π
331129
在正△ABC ，△A 1B 1C 1中，AD ＝2
1
a
3
，A 1D 1＝2
x
．
3
在Rt △D 1ED 中，ED ＝OD －OE ＝3（AD －A 1D 1）＝6（a －x ）．
3
（x ＋a a －x ）
33
2则D 1D ＝2ED ＝3（a －x ），由题意S ＝3·．
3
即S ＝2（a －x ）．解得x ＝
22
a －
2
233
S
．
16．如图SAB 是圆锥的轴截面，其中SO ＝12，OB ＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C ＝x ，由△SO 1C ∽△SOB ， SO 1
SO
SO
12
则O 1C ＝OB ，SO 1＝OB ·O 1C ＝5
12
x
，
12
x
∴OO 1＝SO －SO 1＝12－5
7
x
，则圆柱的全面积S ＝S 侧＋2S 底＝2π（12－5
）x ＋2πx 2
＝2π（12x －5
30
x
2
）．
360
π
当x ＝7cm 时，S 取到最大值7cm 2．
17．如图扇形SAA ′为圆锥的侧面展开图，AA ′即为所求的最知路程，由已知SA ＝SA ′＝
r
3r ，θ＝SA 360°＝120°，在等腰△SAA ′中可求得AA ′＝33r ．
柱体、锥体与台体的体积
一、选择题
1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（ ）
A ．2倍 B ．4倍 C ．2倍 D ．22倍
22
2．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 长方体的体积是8cm ，它的全面积是32 cm，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是（ ） A 、28cm B ．32 cm C ．36 cm D ．40 cm
3．正六棱台的两底面的边长分别为a 和2a ，高为a ，则它的体积为（ ）
213
A ．2 B ．2 C ．73a D ．2
4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（ ）
1
a
3
33
a
3
73
3
a
3
A ．1 B ．3 C ．2 D ．2
2
5．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm ，则此球的体积为（ ）
4
A ．3
πcm
3
6
B ．8
πcm
3
1
C ．6
3
πcm
3
3
6
D ．6
πcm
3
6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为2
5ππππ
a
，那么侧棱与底面所成的角为（ ）
A ．6 B ．4 C ．3 D ．12
7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）
1
A 、3
1
Q S S (S
1
B ．2
2
Q (S Q (S
2
-Q ) -Q )
2
2
C 、2 D 、6
8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）
A ．1∶7 B ．2∶7 C ．7∶19 D ．3∶16
9．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（ ）
A ．S 3＞S 2＞S 1 B ．S 1＞S 3＞S 2 C ．S 1＞S 2＞S 3 D ．S 2＞S l ＞S 3
10．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ） A ．1∶5 B ．1∶23 C ．1∶11 D ．1∶47 二、填空题
11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．
12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______． 13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______． 14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______． 三、解答题
15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．
16．两底面边长分别是15cm 和10cm 的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．
-Q )
2
1
2
17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h ．
18．如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C l D l 的棱长为a ，E 为棱AD 的中点，求点A 1到平面BED 1的距离．
参考答案
一、选择题 1．D
b ·c ＝8⎧a ·⎪
⎨ab ＋bc ＋ca ＝16⎪2
2．B 解：由已知⎩b ＝ac
3
①②③
③代入①得b ＝8，b ＝2，ac ＝4，代入②a ＋c ＝6． ∴长方体棱长的和为4（a ＋b ＋c ）＝4×8＝32（cm 2）． 3．D 4．B 5．C 6．B
7．D 设正四棱锥的底面边长和高分别为a ，h ，斜高为h ′，
h ＋（
2
a 2
）
2
1
则h ′＝
S
22
，S ＝2（4a ）h ′＝2a S
2
h ＋
2
a 4
2
解得
h ＝
1
4a
－
a 4
2
＝1
4Q
－
2
Q 1S －Q Q
1
22
4＝2
2
．
Q （S －Q ）
2
2
1
S －Q
Q V ＝3h ·Q ＝3（2）Q ＝6．
8．C 9．B
10．D 由E 、F 、G 分别为BB 1，B 1C 1，B 1A 1的中点，可证明平面EFG ∥平面BC 1A 1，因此 V B 1－EFG V B 1－BC 1A 1
（
EF
）
3
11
1
1
＝BC 1
1
＝（2）3＝8． ＝8·3
V B 1BC 1－A 1AD
即
V B 1－EFG
＝8
V B 1－BC 1A 1
1
1
1V ABCD
－A 1B 1C 1D 1
1
＝8（3·2
V B 1－EFG
V ABCD
－A 1B 1C 1D 1
）＝48
V ABCD
－A 1B 1C 1D 1
，
1
－V B 1－EFG
＝47．
二、填空题．
2
36
11．12
a
3
12．π
14
83
13．9；8 14．3
15．三棱锥A －BCD 中，AB ＝6，设E 为AB 的中点，连结CE ，DE ，则CE ⊥AB ，DE ⊥AB ．
22
在直角△AED 中，DE ＝AD －AE ＝5－3＝4．
同理CE ＝4，F 为CD 中点，连接EF ，则EF ⊥CD ，在Rt △DFE 中，
22
DE －（
2
52
）
2
4－（
2
52
）
2
39
EF ＝
539
＝＝2．
∴S △CED ＝
4．
1
1
V A －BCD ＝V A －ECD ＋V B －ECD ＝3AE ·S △CED ＋3BE ·S △CED
1
1
5394
5
＝3（AE ＋BE ）S △CDE ＝3×6×
＝2
39
．
16．设正三棱台的高为h ，
⎛322252h ＋［ 15－10）］h ＋ 6⎝12， ＝
则斜高h ′＝
2
（3⨯10＋3⨯15h ＋
2512
3
由已知
1
2
＝4（152＋102），解得h ＝23．
3
2
3
2
3
因此V ＝3·23（4·10＋4·15＋4）＝2（cm ）．
别解：设上、下底面面积分别是S 1，S 2（S 1＜S 2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S ＝S 1＋S 2①．
又S 侧cos α＝S 2－S 1②，
33⨯15－⨯15＋
22
·15
22
475
3
侧
334
⨯10⨯10
2
S 2－S 1
2
5
②÷①，cos α＝S 1＋S 2＝4然后再求棱台的高和体积．
＝13．
1
17．设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为3πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积
a
为π（2）2h ．
1
2
a
2
3
根据题意，有3πR h ＝π（2）h ，解得R ＝2． 再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得 3a a
h
a
3
＝a ，所以h ＝2
1
S ∆A 1D 1E
a
．
a
2
18．解：＝2A 1D 1·AA 1＝2．
AE ＋AB
2
D 1B ＝3a ，D 1E ＝BE ＝
22
12
a ）＋a
22
5
＝＝232
a
．
2
BE －（
D 1B 2
）
2
52
a ）－（
2
a ）
2
等腰△EBD 1的高为
1
S ∆BED 1
＝
6a
2
＝2
a
．
2
＝2（3a ）（2
a
）＝4． ＝
V B －A 1D 1E
设A 1到平面BED 1的距离为h ，而
1
V A 1－BED 1
，
即3
1
S ∆BED 1
1
·h ＝3
a
2
S ∆A 1D 1E 1
·AB ． a
2
61
∴3·4
·h ＝3·2·a ，解得h ＝3
6a
．
球的体积和表面积
一、选择题
1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ，8倍
2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（ ）
c
2
c
2
c
2
A ．4π B ．4π C ．π D ．2πc 2
3．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）
16π
8π
64π
A ．9 B ．3 C ．4π D ．9
4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A ．4倍 B ．8倍 C ．16倍 D ．32倍
5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ） A 、1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍
6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）
π
2
A ．4π B ．4 C ．3 D ．4π
7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）
5
10
40
5
π
2
A 、3cm B ．3cm C ．3cm D ．6cm
8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（ ）
16
8
64
A 、9π B ．3π C ．4π D ．9π
9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）
A ．202π B ．252π C ．50π D ．200π 10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ） A ．S 球＞S 正方体 B ．S 球＝S 正方体 C ．S 球＜S 正方体 D ．大小关系不确定 二、填空题
11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．
12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．
4
13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高3cm ，则玻璃球的半径为__________．
14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______． 15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．
16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm，“大球”的外径为40 mm，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．
三、解答题
17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积π
为16的小球？
18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大?
19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．
20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C 二、填空题
1
11．3
提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27． 12．36π
设球的半径为R ，由题意得R －5－R －8＝1，
4
2
2
V 3
∴R ＝3，∴V 球＝313．4cm 14．9三、解答题
πR
3
＝36π．
3
83
R
15．Q ∶4πR 2 16．361∶400 4πR
3
π
33
17．设球半径为R ，则
3
2
3＝16，∴R ＝4．而正三棱柱底面内切圆半径r ＝6，比
9
27
6
1π
27
6
6
27
6
27
6
1
66
较R 与r 的大小，R 6＝4＝4＝3·2·64，r 6＝6＝3·2＝3·2·243，
∴R ＞r ，∴R ＞r ，所以不能放进一个体积为16的小球．
18．解：如图，设球半径为R cm ，切下的较小部分圆面半径为15cm ，∴OO ′＝R －5．
22
Rt △OO ′A 中，R －（R －5）＝15， ∴R =25（cm ）．
4π
66
V ＝3
R
3
4π62500π3
25）
3＝3＝（cm 3）．
RS
19．设球半径为R ，三棱锥A －BCD 表面积为S ，则V
BM ．
三棱锥
＝3．取CD 中点M ，连结AM 、
∵AC ＝AD ＝5，∴CD ⊥AM ．
同理CD ⊥BM ，∴CD ⊥平面ABM ，
1
∴V 三棱锥＝3（CM ＋MD ），S △AMB ＝2S △AMB ． ∵AM ＝BM ＝4，取AB 中点N ，连结MN ，
22则MN ⊥AB ，且MN ＝4－3＝7，
∴S △ABM ＝37，∴V 三棱锥＝67．
又三棱锥每个面面积和都为12，
48
∴S ＝4×12＝48，∴V 三棱锥＝3＝16R ．
20．解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，
2∵4πR ＝324π，∴R ＝9，
∴142＋（2a ）2＝182，∴a 2＝64，∴a ＝8．
2∴S 四棱柱＝2a ＋4a ·14＝64×2＋32×14＝576．
R
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