预编码的目的
（1）不考虑量化问题，从理论上进行分析
预编码的目的：发射端利用信道状态信息，增大可以获得的信道容量。
例如：N 根发射天线，1根接收天线，图（a ）中信道h i 均值为0，方差为1。下面两种信道的信道容量（或接收信号功率大小）：
（a ）图中接收信
号r =h 1+... +h N ，接收功率为：P r ==(h 1+... +h N )(1... +N ) |⨯P /N ，对P r 取均值可以得到接收功率为P 。
（b ）图中接收信
号r =1+... +1=，接收功率为：
P r ==N 2⨯P /N =NP
因此，可以看出图(b)中信道容量相对图（a ）有了增大，在不知道信道状态信息的情况下，信道容量不会随发射天线个数的增大而变化，只与发射功率大小P 有关，也与信道增益有关；而（b ）图中，接收功率随着发射天线数目N 的增大而增大，因此信道容量随发射天线个数的增多而增大。
h h 234
111
(a)
(b)
利用预编码可以达到（b ）图的效果。例如，N=4，4x1情况下，总发射功率Pt=4。 不知道信道状态信息下，接收信号功率：
P r =|h1⨯1+h2⨯1+h3⨯1+h4⨯1|2=|h 1+h2+h3+h4|=4+交叉项
2
(1)
知道信道状态信息下，进行预编码，使等效信道变成同相（例如都变成实数），预编码向量选择为1/|h12/|h23/|h45/|h5|]，接收信号功率：
P r =|h1⨯1/|h 1|⨯1+h2⨯2/|h 2|⨯1+h3⨯3/|h 3|⨯1+h4⨯4/|h 4|⨯1|2=||h1|+|h2|+|h3|+|h4||2=42=16
(2)
比较可以看出（2）的接收功率比（1）的接收功率要大：
因为（1）的交叉项可以表示为h 1⨯21⨯h 2=2|h1|⨯|h 2|⨯cos(θ1-θ2) =2cos(θ1-θ2) ， （2）的交叉项表示成2|h1|⨯|h 2|=2。
另外，如果从长期平均的观点来看，如果取数学期望E(h1⨯21⨯h 2) =0, 所以也可以看出（2）的接收功率比（1）大。这样也就是说利用预编码向量a 进行预编码处理，使得通过四条信道后的信号同相，结果可以使得接收功率增大，于是接收端信噪比增大，使得信道容量增大。 这一点与接收端多根天线的最大比合并比较相似：接收端多根天线利用权系数，使接收信号进行同相，然后相加，可以提高信噪比；如果只有一根接收天线，而有多跟发射天线，没有办法在接收端进行最大比合并，可以在发射端对信号进行处理，来抵消因为信道传播而造成的接收信号的不同相。 预编码向量a 的目的就是使得信道变成实数，4个接收信号实现了同相相加。对信道
H=[h1 h2 h3 h4]进行SVD 分解，H=UΛV H , 然后取V 的列向量作为预编向量也是这样的效
果。计算可以验证V 的第一列实际上就等于然后归一化的a 。 （2）自适应码本
R8中的预编码取的是信道SVD 分解的右奇异矩阵V ，然后对V 进行量化。V 是在信道H 的发射天线不相关、接收天线不相关的情况下得到的，信道H 的各个元素是相互独立的复高斯随机变量。H 的SVD 分解后V 是个随机变量矩阵，对随机变量矩阵V 的取值区间分割成若干个小段，每个小段量化为一个码字，随机变量矩阵V 以相同的概率落在各个小段上，也就是取各个码字的概率相同。这种针对非相关信道下V 区间的分割在相关信道下不是最优的了，因为V 的概率密度的变化，落在各个小段上的概率不相等了。
R10中双码本中的自适应码本，考虑信道的相关性，信道可以描述为H R =HR1/2,H 由相
天线T 1R 1h 12
互独立的随机变量元素构成，相当于R8中设计码本时的H ，H=
R M h 1M T 2T N ... h N 1
R 1/2，
... h NM
的引入可以描述发射天线之间的相关性。该表述符合下行链路，BS 位于高点，不被多个散射体包围，天线间相关性比较强，UE 处于多个散射体包围中，相对基站不容易出现强相关性。
1/2 HH
H HR 1/2) =R 1/2 HR 1/2。按照很多提案的方法，信道的列相关矩阵R=E(HH R H R )=E(R
R092389，此时预编码应该取为相关矩阵R 的特征值对应的特征向量，R 是共轭对称矩阵，
特征向量是R 进行SVD 分解后的右奇异矩阵的列（对称矩阵具有这个性质），对R 进行SVD
H 1/2
=UR ΛR V R H ，分解R=VR Λ2此时H R =HR1/2=HUR ΛR V R H =U ΛV H U R ΛR V R H (对H 也进R V R , 另外有R
行SVD 分解) ，可以看出，为了对信道进行同相，此时预编码应该首先取V R （V R 是R 的特征向量，与提案中描述的取R 的特征向量说法一致）， （设W H =V H U R ，W 是两个酉矩阵的乘积，仍然为酉矩阵）然后取W 的列向量，即预编码为V R W 。自适应码本含义是随着信道相关性的变换，反馈相关性引起的V R ，码本W 是固定的，最终的自适应预编码为V R W 。在信道完全不相关的时候V R 是单位阵，此时预编码W 已经是最优的了，即R8中采用的码
本设计。
（3）R1-101906提到双码本
One of the two matrices targets wideband and/or long-term channel properties The other matrix targets frequency-selective and/or short-term channel properties
long-term channel properties/ short-term channel properties 似乎是上述自适应码本。wideband /frequency-selective似乎是提案中说的差分码本。差分码本是根据时域或者频域的相关性，降低反馈量的方法。以频域为例，将频域划分为若干个部分，每部分包含N 个频段，码本有32=25个码字，这样每个部分的N 个频段需要5N 个比特的反馈量。如果利用差分的反馈方法，因为N 个频段相互靠近存在相关性，即N 个频段上的码本之间不会相隔太远，先将32个码字分成4个集合，每个集合8个码字，先反馈一个集合的索引号，然后为每个频段反馈该集合中码字的索引号，这样需要反馈的比特数为2+N*3，相对5N 的比特数，反馈量降低了。或者，先反馈第一个频段的码字用5比特，然后以此码本为基础，其他频段上反馈3比特的差分量，一共需要5+3（N-1）比特。