高考直线与圆的方程综合题.典型题
直线与圆的方程综合题、典型题、高考题
主讲:曹老师 2012年4月30
1、已知m ∈R ,直线l :mx -(m +1) y =4m 和圆C :x +y -8x +4y +16=0.
(1)求直线l 斜率的取值范围;
2
2
2
1
的两段圆弧?为什么? 2
m 4m m
解析:(1)直线l 的方程可化为y =2,直线l 的斜率k =2,因为x -2
m +1m +1m +1
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为
m 11
≤,当且仅当m =1时等号成立. m ≤(m 2+1) ,所以k =2
m +122
所以,斜率k 的取值范围是⎢-⎥.
22
(2)不能.由(1)知l 的方程为y =k (x -4) ,其中k ≤
⎡11⎤⎣⎦
1
. 2
圆C 的圆心为C (4,-2) ,半径r =2.圆心C 到直线l
的距离d =
.
由k ≤
1r
,得d >1,即d >.从而,若l 与圆C 相交,则圆C 截直线l 所得22的弦所对的圆心角小于
2π1
.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为的两段弧. 32
2、已知圆C :x 2+y 2-2x +4y -4=0,是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线l 的方程,若不存在说明理由。
解析:圆C 化成标准方程为(x -1) 2+(y +2) 2=32 假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M
由于CM ⊥l ,∴k CM ⋅k l = -1 ∴k CM =
b +2
=-1, a -1
即a +b +1=0,得b = -a -1 ① 直线l 的方程为y -b =x -a , 即x -y +b -a =0
CM=
b -a +3
∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴MA =MB =OM MB =-CM
2
2
2
(b -a +3) 2
,OM =9-
2
2
=a 2+b 2
(b -a +3) 2
∴9-=a 2+b 2 ②
2
3
把①代入②得 2a 2-a -3=0,∴a =或a =-1
2
当a =
35
, 时b =-此时直线l 的方程为x -y -4=0; 22
当a =-1, 时b =0此时直线l 的方程为x -y +1=0
故这样的直线l 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y +1=0
OB =0, 联立方程组,根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单 评析:此题用OA
3、已知点A(-2,-1) 和B(2,3) ,圆C :x 2+y 2 = m2,当圆C 与线段..AB 没有公共点时,求m 的取值范围.
解:∵过点A 、B 的直线方程为在l :x -y +1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ,连结OB.
由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段AB 与圆x 2+y 2 = m2无交点.
(I )当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
|m |
22. |1|2,即
-
2222
(II )当m >OB 时,
|m |>|m |>即 m .
∴当-且m ≠0时,
2
2
圆x 2+y 2 = m2与线段AB 无交点.
4、.已知动圆Q 与x 轴相切,且过点A (0, 2).
⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程;
⑵设B 、C 为曲线M 上两点,P (2, 2),PB ⊥BC ,求点C 横坐标的取值范围.
解: ⑴设P (x , y )为轨迹上任一点,则
y =
≠0 (4分)
12
x +1 为求。 (6分) 4
化简得:y = ⑵设B x 1,
⎛⎝12⎫⎛12⎫x 1+1⎪,C x 2, x 2+1⎪, 4⎭⎝4⎭
⎛16⎫
∵PB ∙BC =0 ∴x 2=- x 1+⎪ (8分)
x +2⎝1⎭
∴x 2≥10 或x 2≤-6 为求 (12分)
5、将圆x +y +2x -2y =0按向量a =(1,-1) 平移得到圆O ,直线l 与圆O 相交于A 、
2
2
B 两点,若在圆O 上存在点C ,使OC +OA +OB =0, 且OC =l a . 求直线l 的方程.
解:由已知圆的方程为(x +1) 2+(y -1) 2=2,
按a =(1,-1) 平移得到 O :x 2+y 2=2.
∵OC =-(OA +OB ), ∴OC ? AB 2 2
-(OA +OB ) ? (OB OA ) =OA -OB =0.
即OC ^AB .
又OC =l a ,且a =(1,-1) ,∴k OC =-1. ∴k AB =1. 设l AB :x -y +m =0, AB 的中点为D.
由OC =-(OA +OB ) =-2OD ,则OC =2OD ,又OC =
∴O 到AB
.
\OD =
. 2
=
, 2
∴m = 1.
∴直线l 的方程为:x -y -1=0或x -y +1=0.
6、已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点,A (6, 23), B (8, 0) ,圆C 是∆OAB 的外接圆,过点(2,6)的直线l 被圆所截得的弦长为4 (1)求圆C 的方程及直线l 的方程;
(2)设圆N 的方程(x -4-7cos θ) +(y -7sin θ) =1,(θ∈R ) ,过圆N 上任意一点
22
P 作圆C 的两条切线PE , PF ,切点为E , F ,求CE ⋅CF 的最大值.
解:因为A (6, 2), B (8, 0) ,所以∆OAB 为以OB 为斜边的直角三角形,
所以圆C :(x -4) +y =16
(2)1)斜率不存在时,l :x =2被圆截得弦长为4,所以l :x =2适合 2)斜率存在时,设l :y -6=k (x -2) 即kx -y +6-2k =0
因为被圆截得弦长为43,所以圆心到直线距离为2 所以
2
2
4k +6-2k +k
2
=2
44
∴k =- ∴l :y -6=-(x -2), 即4x +3y -26=0
33
综上,l :x =2或4x +3y -26=0 (3)设∠ECF =2a ,则
CE CF =|CE | |CF | cos 2α=16cos 2α=32cos 2α-16.
在Rt △PCE 中,cos α=
x 4
,由圆的几何性质得 =
|PC ||PC |
|PC |≥|MC |-1=7-1=6, 所以cos α≤
由此可得CE ⋅CF ≤-
2
2, 3
1616 则⋅的最大值为-. 99
2
7、已知圆C :(x -3) +(y -4) =4,直线l 1过定点A (1, 0) 。 (1)若l 1与圆相切,求l 1的方程;
(2)若l 1与圆相交于P 、Q 丙点,线段PQ 的中点为M ,又l 1与l 2:x +2y +2=0的交点为N ,判断AM ∙AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由。
解:(1)①若直线l 1的斜率不存在,即直线是x =1,符合题意。 ……2分 ②若直线l 1斜率存在,设直线l 1为y =k (x -1) ,即kx -y -k =0。
由题意知,圆心(3, 4) 以已知直线l 1的距离等于半径2,即: 解之得k =
3k -4-k k +1
2
=2,
3
……5分 4
所求直线方程是x =1,3x -4y -3=0 ……6分 (2)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx -y -k =0
由⎨
⎧x +2y +2=02k -23k
得N (, -) ……8分
kx -y -l =02K +12K +1⎩
⎧y =kx -k
k 2+4k +34k 2+2k ⎪
又直线CM 与l 1垂直,由⎨得M (, ) ……11分 122
y -4=-(x -3) 1+k 1+k ⎪k ⎩k 2+4k +34k 2+2k 22k -23k 222
-1) +() ⋅(-1) +(-) ∴AM ⋅AN =(
2k +12k +11+k 21+k 2
……13分
=
22k +1+k 23+k 2
+k ⋅=6为定值。
2k +1
2
2
2
2
故AM ⋅AN 是定值,且为6。 ……15分
8、已知 C 过点P (1, 1) , 且与 M :(x +2) +(y +2) =r (r >0) 关于直线x +y +2=0对称. (Ⅰ) 求 C 的方程;
PQ ⋅MQ (Ⅱ) 设Q 为 C 上的一个动点, 求的最小值;
(Ⅲ) 过点P 作两条相异直线分别与 C 相交于A , B , 且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点, 试判断直线OP 和AB 是否平行? 请说明理由.
⎧a -2b -2
++2=0⎪⎧a =0⎪22
解:(Ⅰ) 设圆心C (a , b ) , 则⎨, 解得⎨…………(3分)
b +2⎩b =0⎪=1⎪a +2⎩2222
则圆C 的方程为x +y =r , 将点P 的坐标代入得r =2, 故圆C 的方程为x 2+y 2=2………(5分)
22
(Ⅱ) 设Q (x , y ) , 则x +y =2, 且PQ ⋅MQ =(x -1, y -1) ⋅(x +2, y +2)
所以PQ ⋅MQ 的最小值为-4(可由线性规划或三角代换求得) …(10分)
(Ⅲ) 由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在, 且互为相反数, 故可设PA :y -1=k (x -1) ,
=x +y +x +y -4=x +y -2, …………………………(7分)
22
⎧y -1=k (x -1)
, 得PB :y -1=-k (x -1) , 由⎨2
2
⎩x +y =2
(1+k 2) x 2+2k (1-k ) x +(1-k ) 2-2=0 ………(11分)
k 2-2k -1
因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解, 故可得x A =
1+k 2
k 2+2k -1
同理, x B =, 2
1+k
y -y A -k (x B -1) -k (x A -1) 2k -k (x B +x A )
所以k AB =B ===1=k OP
x B -x A x B -x A x B -x A
所以, 直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)
22
9、已知过点A (-1, 0) 的动直线l 与圆C :x +(y -3) =4相交于P 、Q 两点,M 是PQ 中点,l 与直线m :x +3y +6=0相交于N .
(1)求证:当l 与m 垂直时,l 必过圆心C ; (2)当PQ =23时,求直线l 的方程;
(3)探索AM ⋅AN 是否与直线l 的倾斜角有关,若
无关,请求出其值;若有关,请说明理由.
1
解析:(1)∵l 与m 垂直,且k m =-,∴k l =3,
3
故直线l 方程为y =3(x +1) ,即3x -y +3=0………2分
∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程,
∴当l 与m 垂直时,l 必过圆心C ………………… …4
(2)①当直线l 与x 轴垂直时, 易知x =-1意…………………6分
②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为y =k (x +1) ,即kx -y +k =0, ∵PQ =2,∴CM =则由CM =
第17题
4-3=1,………………………………………8分
|-k +3|k 2+1
=1,得k =
4
, ∴直线l :4x -3y +4=0. 3
故直线l 的方程为x =-1或4x -3y +4=0………………………………………10分
(3)∵CM ⊥MN , ∴ AM ⋅AN =(AC +CM ) ⋅AN =AC ⋅AN +CM ⋅AN =AC ⋅AN ……12分 55
① 当l 与x 轴垂直时,易得N (-1, -) ,则AN =(0,-) , 又AC =(1,3),
33
∴AM ⋅AN =AC ⋅AN =-5………………………………………………………14分
当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x +1) ,
⎧y =k (x +1) -3k -6-5k -5-5k
则由⎨,得N (), 则AN =(, , )
1+3k 1+3k 1+3k 1+3k ⎩x +3y +6=0
-5-15k ∴AM ⋅AN =AC ⋅AN =+=-5
1+3k 1+3k
综上所述,⋅与直线l 的斜率无关,且⋅=-5. …………………16分 10、已知圆O 的方程为x +y =1, 直线l 1过点A (3,且与圆O 相切。 0),(1)求直线l 1的方程;
(2)设圆O 与x 轴交与P,Q 两点,M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂
直的直线为l 2,直线PM 交直线l 2于点P ,直线QM 交直线l 2于点Q 。求证:以P Q 为直径的圆C 总过定点,并求出定点坐标。
解析:(1)∵直线l 1过点A (3,0),且与圆C :x +y =1相切,
设直线l 1的方程为y =k (x -3) ,即kx -y -3k =0, …………………………2分 则圆心O (0,0)到直线l
1的距离为d =∴直线l
1的方程为y =2
2
22
' ' ' '
=1,解得k =±
2
, 4
x -
3) ,即y =x -3) . …… …………………4分 (2)对于圆方程x 2+y 2=1, 令y =0,得x =±1, 即P (-1,0), Q (1,0).又直线l 2过点A 且与x 轴垂直,∴直线l 2方程为x =3,设M (s , t ) ,则直线PM 方程为y =
t
(x +1). s +1
⎧x =3,
4t 2t ⎪
解方程组⎨, 得P ' (3, ). 同理可得, Q ' (3, ). ……………… 10分 t
s +1s -1y =(x +1) ⎪s +1⎩
∴以P 'Q '为直径的圆C '的方程为(x -3)(x -3) +(y -又s 2+t 2=1,∴整理得(x 2+y 2-6x +1) +
4t 2t
)(y -) =0, s +1s -1
6s -2
y =0,……………………… 12分 t
若圆C '经过定点,只需令y =0,从而有x 2-6x +1=
0,解得x =3± ∴圆C '
总经过定点坐标为(3±. …………………………………………… 14分 11、已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3, 4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于
点C 和D
,且|CD |=. (1)求直线CD 的方程;⑵求圆P 的方程;
⑶设点Q 在圆P 上,试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个?证明你的结论. .解:⑴直线AB 的斜率k =1 ,AB 中点坐标为(1, 2) ,
∴直线CD 方程为y -2=-(x -1)即x+y-3=0 (4分) ⑵设圆心P (a , b ),则由P 在CD 上得: a +b -3=0 ①
|PA |=∴(a +1) +b =40 又直径|CD |=
, ∴
又PA ⋅PB =24 ∴ a 2+b 2-2a -4b -27=0 ② (7分)
22
由①②解得
{
a =-3
b =6或
{
a =5
b =-2
∴圆心P (-3,6) 或P (5, -2)
∴圆P 的方程为(x +3)+(y -6)=40 或(x -5)+(y +2)=40 (9分) ⑶
AB =
2
2
2
2
= ,∴ 当△QAB 面积为8时 ,点Q 到直线AB
的距离为。
又圆心P 到直线AB
的距离为P
的半径r =且
>
∴圆上共有两个点Q 使 △QAB 的面积为8 . (14分)
12、在平面直角坐标系xOy 中,平行于x 轴且过点
A 2的入射光线l 1被直线l
:
()
y =
x 反射,反射光线l 2交y 轴于B 点.圆C 过点A 且与l 1、l 2相切. 3
(1)求l 2所在的直线的方程和圆C 的方程;
(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P 的坐标.
解析.(Ⅰ)直线l 1:y =2, 设
l 1交l 于点D ,则D ().
l 的倾斜角为30,∴l 2的倾斜角为60,……………………2分
∴k 2=反射光线l 2所在的直线方程为
y -2=x -.
-y -4=0.……………………4分 已知圆C 与l 1切于点A ,设C (a,b)
圆心C 在过点D 且与l
垂直的直线上,∴b =+8 ①…………6分
⎧⎪a =又圆心C 在过点A 且与l
1垂直的直线上,∴a =
②,由①②得⎨
b =-1⎪⎩
圆C 的半径r=3.
故所求圆C
的方程为(x -+(y +1) =9. …………………10分
(Ⅱ)设点B (0, -4)关于l 的对称点B '(x 0, y 0) ,
则
2
2
y 0-4y +4x 0
=, 且0=…………………12分
232x 0
得B '(-2) .固定点Q 可发现,当B '、P 、Q 共线时,PB +PQ 最小, 故PB +PQ 的最小值为为B 'C -3. ……………………14分
⎧y +1=⎪
1⎪2+1P
, ), 最小值B 'C -3=3. ………………16分 ⎨
22⎪
y =x ⎪3⎩
13、设圆C 1的方程为(x +2) 2+(y -3m -2) 2=4m 2,直线l 的方程为(1)求C 1关于l 对称的圆C 2的方程;
(2)当m 变化且m ≠0时,求证:C 2的圆心在一条定直线上,并求C 2所表示的一系列圆的公切线方程.
解:(1)圆C 1的圆心为C 1(-2,3m+2),设C 1关于直线l 对称点为C 2(a ,b )
⎧b -3m -2
⎪a +2=-1 ⎧a =2m +1则⎨ 解得:⎨
3m +2+b a -2b =m +1⎩⎪=+m +2
22⎩
y =x +m +2.
∴圆C 2的方程为(x -2m -1) 2+(y -m -1) 2=4m 2 (2)由⎨
⎧a =2m +1
消去m 得a -2b +1=0
b =m +1⎩
即圆C 2的圆心在定直线x -2y +1=0上。
设直线y =kx +b 与圆系中的所有圆都相切,则
k (2m +1) -(m +1) +b
+k
2
=2m
即(-4k -3) m 2+2(2k -1)(k +b -1) m +(k +b -1) 2=0
∵直线y =kx +b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的m 值都成立,所以有:
3⎧⎧-4k -3=0 k =-⎪⎪4 ⎨2(2k -1)(k +b -1) =0 解之得:⎨7⎪b =⎪(k +b -1) 2=0
⎩4⎩
所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为:y =-x +
3
47 4
22
14、已知过点A (0,1),且方向向量为a =(1,k ) 的直线l 与 C :(x -2) +(y -3) =1,
相交于M 、N 两点.
(1)求实数k 的取值范围;
(2)求证:AM ⋅AN =定值;
(3)若O 为坐标原点,且OM ⋅ON =12, 求k 的值.
解:(1) 直线l 过点(0,1)且方向向量a =(1,k ), ∴直线l 的方程为y =kx +1……………………2分
44
(3)设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2)
将y =kx +1代入方程(x -2) 2+(y-3)2=1得
(1+k 2) x 2-4(1+k ) x +7=0……………………11分
4(1+k 2) 7
∴x 1+x 2=, x x =……………………12 12
1+k 21+k 2
4k (1+k ) ∴OM ⋅ON =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2) x 1x 2+k (x 1+x 2) +1=+8=12
1+k 2
4k (1+k ) ∴=4, 解得k =1又当k =1时, ∆>0, ∴k =1……………………14分 2
1+k
15、如图,在平面直角坐标系xOy 中,A (a ,0) (a >0) ,B (0,a ) ,C (-4,0) ,D (0,4),设∆AOB 的外接圆圆心为E .
(1)若⊙E 与直线CD 相切,求实数a 的值;
(2)设点P 在圆E 上,使∆PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个,试问这样的⊙E 是否存在,若存在,求出⊙E 的标准方程;若不存在,说明理由. 解:(1)直线CD 方程为y =x +4,圆心E (, ) ,
a a
22
半径r =
a .
2
a a
-+4|=,解得a =
4|
(2)∵|CD |=
=
∴当∆PCD 面积为12时,点P 到直线CD 的距离为
又圆心E 到直线CD 距离为定值) ,要使∆PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个,只须圆E =a =10, 此时,⊙E 的标准方程为(x -5) 2+(y -5) 2=50.……………………………………14分 16、已知⊙O :x +y =1和定点A (2,1),由⊙O 外一点P (a , b ) 向⊙O 引切线PQ ,切点为Q ,且满足|PQ |=|PA |.
(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系; (2) 求线段PQ 长的最小值;
(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙P 方程.
解:(1)连OP , Q 为切点,PQ ⊥OQ ,由勾股定理有PQ =OP -OQ 又由已知PQ =PA ,故PQ =PA . 即:(a 2+b 2) -12=(a -2) 2+(b -1) 2.
2
2
22
222
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为:2a +b -3=0. (3分) (2)由2a +b -3=0,得b =-2a +3.
PQ ===故当a =
6
时,PQ =即线段PQ (7分) min
5
(3)设 P 的半径为R , P 与 O 有公共点, O 的半径为1,
∴R -1≤OP ≤R +1. 即R ≥OP -1且R ≤OP +1.
而OP =
36
时,OP =此时, b =-2a +3=
,R min 1.
min
55得半径取最小值时 P
的方程为(x -6) 2+(y -3) 2=1) 2. (12分)
55故当a =
解法2: P 与 O 有公共点, P 半径最小时为与 O 外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1,圆心P 为过原点与l 垂直的直线l’ 与l 的交点P 0.
r =
5
-1 = -1. 2 2
52 + 1
3
又 l’:x -2y = 0, 6⎧x =, 63⎪x -2y =0, ⎧⎪5解方程组⎨,得⎨. 即P 0( ).
553⎩2x +y -3=0⎪y =
⎪5⎩∴所求圆方程为(x -6) 2+(y -3) 2=1) 2. (12分)
5517、已知以点C (t , )(t ∈R , t ≠0) 为圆心的圆与x 轴交于点O , A ,与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点。
(1) 求证:∆OAB 的面积为定值;
(2)设直线y =-2x +4与圆C 交于点M , N ,若OM =ON ,求圆C 的方程。
2t
4. t 2
22422
设圆C 的方程是 (x -t ) +(y -) =t +2
t t 4
令x =0,得y 1=0, y 2=;令y =0,得x 1=0, x 2=2t
t
114
∴S ∆OAB =OA ⨯OB =⨯||⨯|2t |=4,即:∆OAB 的面积为定值.
22t
. 解 (1) 圆C 过原点O ,∴OC =t +
2
2
(2) OM =ON , CM =CN , ∴OC 垂直平分线段MN . k MN =-2, ∴k oc =
11
,∴直线OC 的方程是y =x .
22
∴
21
=t ,解得:t =2或t =-2 t 2
5,
当t =2时,圆心C 的坐标为(2, 1) ,OC = 此时C 到直线y =-2x +4的距离d =
9
圆C 与直线y =-2x +4相交于两点.
当t =-2时,圆心C 的坐标为(-2, -1) ,OC =此时C 到直线y =-2x +4的距离d =
5,
95
>
圆C 与直线y =-2x +4不相交,
∴t =-2不符合题意舍去.
∴圆C 的方程为(x -2) 2+(y -1) 2=5.
18、已知圆C :x +y =9,点A (-5,0) ,直线l :x -2y =0. ⑴求与圆C 相切,且与直线l 垂直的直线方程; ⑵在直线OA 上(O 为坐标原点),存在定点B (不同于点A ),满足:对于圆C 上任一点P ,
2
2
PB
为一常数,试求所有满足 PA
条件的点B 的坐标.
都有
解:⑴设所求直线方程为y =-2x +b ,即2x +y -b =0,
=3,得b =±
程为y =-2x ±---------5分
⑵方法1:假设存在这样的点B (t ,0) ,当P 为圆C 与x 轴左交点(-3,0) 时,PB =|t +3|;
PA
2
当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时,PB =|t -3|,
PA
8
依题意,|t +3|=|t -3|,解得,t =-5(舍去),或t =-9。 ------------------------------8分
528下面证明 点B (-,0) 对于圆C 上任一点P ,都有
9
5PB
为一常数。
PA
[1**********](x +) +y x +x ++9-x (5x +17) 22PB 9设P (x , y ) ,则y =9-x , ∴2==2==, 222
PA (x +5) +y x +10x +25+9-x 2(5x +17) 25
2
从而分
PB 3
=为常数。 ------------------------------15PA 5
方法2:假设存在这样的点B (t ,0) ,使得∴
PB 222
为常数λ,则PB =λPA , PA
,
将,即
(x -t ) 2+y 2=λ2[(x +5) 2+y 2]y 2=9-x 22λ(25+t
代入得,对
x 2-2xt +t 2+9-x 2=λ2(x 2+10x +25+9-x 2)
22
+x ) λ-3-t 4=
90
x ∈[-3,3]恒成立, ---------------------------8分
3⎧
λ=⎪2
⎪5或⎧λ=1(舍去)⎪5λ+t =0, ∴⎧,解得, ⎨⎨⎨229t =-5⎩⎪t =-⎪⎩34λ-t -9=0,
⎪5⎩
3PB
为常数。 ---------------------15分
5PA
19、已知圆C 通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),
所以存在点B (-,0) 对于圆C 上任一点P ,都有且圆C 在点P 处的切线的斜率为1. (1)试求圆C 的方程;
95
(2)若点A 、B 是圆C 上不同的两点,且满足CP ⋅CA =CP ⋅CB ,
①试求直线AB 的斜率;
②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部,试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。
解析. (1)设圆方程为x +y +Dx +Ey +F =0,
2
2
D E
则圆心C (-, -) ,且PC 的斜率为
22
⎧1+E +F =0⎪4+2D +F =0⎪D 2+m
⎪-=⎪22所以⎨……………………6E ⎪--0
⎪2=-1⎪D --m ⎪⎩2
x
⎧D =1
第 18 题 ⎪E =5
⎪22
解得⎨,所以圆方程为x +y +x +5y -6=0……………………8分
⎪F =-6⎪⎩m =-3
(2)①CP ⋅CA =CP ⋅CB ⇔CP ⋅(CA -CB ) =0⇔CP ⋅AB =0⇔CP ⊥AB ,
所以AB 斜率为1…………………12分
②设直线AB 方程为y =x +t ,代入圆C 方程得2x +(2t +6) x +t +5t -6=0
2
2
⎧
⎪∆>0⇔-7
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,则⎨x 1+x 2=-t -3
⎪t 2+5t -6⎪x 1x 2=
2⎩
原点O 在以AB 为直径的圆的内部,即OA ⋅OB
2
7-1…………………16
20、如图,在矩形ABCD
中,AB =BC =1,以A 为圆
心1为半径的圆与AB 交于E (圆弧DE 为圆在矩形内的部
分)
(Ⅰ)在圆弧DE 上确定P 点的位置,使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积;
(Ⅱ)若动圆M 与满足题(Ⅰ)的切线l 及边DC 都相切,试确定M 的位置,使圆M 为矩形内部面积最大的圆.
. 解(Ⅰ)以A 点为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,建立直角坐标系.
设P (x 0, y 0),B
3, 0,D (0, 1),圆弧DE 的方程x 2+y 2=1(x ≥0, y ≥0)
)
切线l 的方程:x 0x +y 0y =1(可以推导:设直线l 的斜率为k ,由直线l 与圆弧DE 相切知:AP ⊥l ,所以k =-即得x 0x +y 0y =1).
设l 与AB 、CD 交于F 、G 可求F (
x 0x
,从而有直线l 的方程为y -y 0=-0(x -x 0),化简y 0y 0
1-y 01
,1),0),G (,
l 平分矩形ABCD 面积,x 0x 0
∴FB =GN ⇒2
2
11-y 0
=⇒0+y 0-2=0 ……① x 0x 0
11
y 0=, ∴P ) . 22
(Ⅱ)由题(Ⅰ)可知:切线l
+y -2=0,
当满足题意的圆M 面积最大时必与边BC 相切,设圆M 与直线l 、BC 、DC 分别切于R 、Q 、T ,则MR =MT =MQ =r (r 为圆M 的半径).
又x 0+y 0=1……②
解①、②得:x 0=
∴
M r ,1-
r ) =r ⇒r =1(舍), r =
3. 3
∴M
点坐标为(
3, .
33
注意:直线与圆应注意常见问题的处理方法,例如圆的切线、弦长等,同时应注重结合图形加以分析,寻找解题思路。
21、已知圆M 的方程为x 2+(y -2) 2=1,直线l 的方程为x -2y =0,点P 在直线l 上,过(1)若∠APB =60 ,试求点P 的坐标; P 点作圆M 的切线PA , PB ,切点为A , B .
(2)若P 点的坐标为(2,1),过P 作直线与圆M 交于C , D 两点,
当CD 求直线CD
的方程;(3)求证:经过A , P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
解:(1)设P (2mm , )
,由题可知MP =2,所以(2m ) +(m -2) =4,解之得:m =0, m =
2
2
4
5
故所求点P 的坐标为P (0,0)或P (, ) . ………………4分
(2)设直线CD 的方程为:y -1=k (x -2) ,易知k 存在,由题知圆心M 到直线CD 的距
8455
离为
=,所以 …………6分
22
解得,k =-1或k =-
1, 7
故所求直线CD 的方程为:x +y -3=0或x +7y -9=0.………………………8分 (3)设P (2m , m ) ,MP 的中点Q (m ,
m
+1) ,因为PA 是圆M 的切线 2
所以经过A , P , M 三点的圆是以Q 为圆心,以MQ 为半径的圆, 故其方程为:(x -m ) +(y -
2
2
2
m m
-1) 2=m 2+(-1) 2……………………………10分 22
化简得:x +y -2y -m (x +y -2) =0,此式是关于m 的恒等式,
⎧x 2+y 2-2y =0, ⎧x =0⎧x =1,
故⎨解得⎨或⎨
y =1. y =2x +y -2=0, ⎩⎩⎩
所以经过A , P , M 三点的圆必过定点(0,2) 或(1,1). …………………………………14分 22、已知圆M :x 2+(y -2) 2=1,设点B , C 是直线l :x -2y =0上的两点,
它们的横坐标分别是t , t +4(t ∈R ) ,点P 在线段BC 上,过P 点作圆M 的切线PA ,切点为A .
(1)若t =
0,MP =PA 的方程;
(2)经过A , P , M 三点的圆的圆心是D ,求线段DO 长的最小值L (t ) .
解:(1)设
P
(2a , a )(0≤a ≤2).
M (0,2),MP =
1
解得a =1或a =-(舍去).∴P (2,1).
5
由题意知切线P A 的斜率存在,设斜率为k .
所以直线P A 的方程为y -1=k (x -2) ,即kx -y -2k +1=0.
直线P A 与圆M 相切,4
=1,解得k =0或k =-.
3
∴直线P A 的方程是y =1或4x +3y -11=0. (2)设P (2a , a )(t ≤2a ≤t +4).
PA 与圆M 相切于点A ,∴PA ⊥MA .
∴经过A , P , M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点.
a
M (0,2),∴D 的坐标是(a , +1).
2a 5524
设DO 2=f (a ). ∴f (a ) =a 2+(+1) 2=a 2+a +1=(a +) 2+.
24455
t 24t 5t
当>-,即t >-时,f (a ) min =f () =t 2++1; 2552162t 2t 24424当≤-≤+2,即-≤t ≤-时,f (a ) min =f (-) =; 2525555t 224当+2
t 5t t 15
f
(a ) min =f (+2) =
(+2) 2+(+2) +1=t 2+3t +8
242216
4t >-5424
则L (t ) = -≤t ≤-
55⎪
24t
已知圆C 1:(x +3) +(y -1) =4和圆C 2:(x -4) +(y -5) =4. (Ⅰ)若直线l 过点A(4, 0),且被圆C 1截得的弦长为2,求直线l (Ⅱ)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与 直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标. 解:(Ⅰ)由于直线x =4与圆C 1不相交,所以直线l 的斜率存在,
设直线l 的方程为y =k (x -4) , 圆心C 1到直线l 的距离为d , 因为直线l 被圆C 1截得的弦长为2, 所以d =
2
2
2
2
22-() 2
d =
|1-k (-3-4) |
+k 2
=1 , k (24k +7) =0 , ∴ k=0或k =-
7 24
所求直线l 的方程为y =0或7x +24y -28=0
(Ⅱ)设点P(a , b ) 直线l 1:y -b =k (x -a ) ;l 2:y -b =-
1
(x -a ) k
因为圆C 1、圆C 2的半径相等,且分别被直线l 1、l 2截得的弦长相等,
所以圆心C 1到直线l 1的距离、圆心C 2到直线l 2的距离相等.
1
(4-a ) -b |
|1-k (-3-a ) -b |=
2
1+k
+() 2
k
|(a +3) k +(1-b ) |=|(5-b ) k +(4-a ) |
|5+
-a )
∵ k的取值有无穷多个 ∴⎨
,
(a +3)k +(1-b ) =(5-b )k +(4-a ) 或 (a +3)k +(1-b ) =-(5-b )k -(4
⎧a +3=5-b
或
1-b =4-a ⎩⎧a +3=-5+b
⎨
1-b =-4+a ⎩
53⎧⎧
a =a =-⎪⎪51313⎪⎪22 解得⎨ 或⎨ ∴P (, -) 或P (-, )
2222⎪b =-1⎪b =13
⎪⎪22⎩⎩
24. (2008年江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,
设二次函数f (x)=x 2+2x +b (x ∈R )的图像与两个坐标轴有三个交点,
经过这三点的圆记为C. (Ⅰ)求实数b 的取值范围; (Ⅱ)求圆C 的方程; (Ⅲ)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.
解一:(Ⅰ)若b =0,则f (x)=x 2+2x 与坐标轴只有两个交点(0, 0)和(-2 ,0), 矛盾! ∴b ≠0 , 二次函数f (x ) =x +2x +b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0 ,b ),
故它与x 轴必有两个交点,方程x 2+2x +b =0有两个不相等的实数根,△>0, 4-4b >0 , ∴b <1且b ≠0 ∴b 的取值范围是(-∞, 0)⋃(0 ,1). (Ⅱ)由方程x 2+2x +b =0得 x =-1±-b ,
∴函数f (x ) =x +2x +b 的图象与坐标轴的交点为(0 ,b ),(-1--b , 0), (-
1+-b , 0),
设圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0
2
2
⎧(-1--b ) 2+D (-1--b ) +F =0⎪
⎨(-1+-b ) 2+D (-1+-b ) +F =0
2⎪b +Eb +F =0⎩
⎧D =2
⎪
⎨E =-(b +1) ⎪F =b ⎩
∴圆C 的方程为x 2+y 2+2x -(b +1)y +b =0
(Ⅲ)圆C 的方程为 (x2+y 2+2x -y) +b (1-y) =0
⎧x 2+y 2+2x -y =0⎧x =0⎧x =-2
∵b <1且b ≠0 ∴⎨ ∴⎨∴圆C 过定⎨
1-y =0⎩y =1⎩y =1⎩
点(0,1)和(-2,1).
解二:(Ⅰ)令x =0,得抛物线于y 轴的交点是(0,b )
令f (x ) =0,得x 2+2x +b =0,由题意b ≠0且△>0,解得b
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为x 2+y 2+D x +E y +F =0
令y =0,得x 2+D x +F =0,这与x 2+2x +b =0是同一个方程,故D =2,F
=b
令x =0,得y 2+E y +b =0,此方程有一个根为b ,代入得E =-b -1 所以圆C 的方程为x 2+y 2+2x -(b +1) y +b =0
(Ⅲ)圆C 必过定点(0, 1),(-2, 1)
证明如下:将(0, 1)代入圆C 的方程,得左边= 02+12+2×0-(b +1) ×1
+b =0,右边=0
所以圆C 必过定点(0, 1);同理可证圆C 必过定点(-2, 1).
25、如图平面上有A(1 , 0)、B(-1 , 0)两点,已知圆C 的方程为
222
(x -3)+(y -4)=2.
(Ⅰ)在圆C 上求一点P 1使△ABP 1面积最大并求出此面积;
(Ⅱ)求使|AP |+|BP |取得最小值时的圆C 上的点P 的坐标
解:(Ⅰ)∵三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|=2高点即可.
又∵圆心C 坐标为(3, 4) ,半径为2 ∴P 1横坐标为3, 纵坐标为4+2=6
P 1 (3, 6), S ∆ABP 1=
2
2
1
⨯2⨯6=6 2
2
2
(Ⅱ)设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知
AP +BP =(x +1)+y 2+(x -1)+y 2=2(x 2+y 2)+2=2OP 2
2
2
要使|AP |+|BP |取得最小值只要使|OP |最小即可又
P 222
|OP |m in =|OC |-r 2=3 (r 为半径)
∴AP +BP
(
22
)
min
=2⨯32+2=20 此时直线OC :y =
4x 3
921⎧⎧4⎧x =x =>3y =x ⎪⎪⎪⎪⎪553由⎨解得⎨ 或⎨ (舍去)∴点P 的坐标为122822⎪(x -3)+(y -4)=4⎪y =⎪y =
⎩⎪⎪55⎩⎩⎛912⎫ , ⎪ ⎝55⎭