九年级数学难题
如图，四边形OABC 是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在D 处，AD 交OC 于E ．
（1）求OE 的长；
（2）求过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；
（3）若F 为过O ，D ，C 三点抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把△FAC 分成面积之比为1：3的两部分．
解析（1）已知四边形OABC 是矩形，证明△CDE ≌△AOE 推出OE 2+OA2=（AD-DE ）2求出OE ．
（2）本题要借助辅助线的帮助，证明△DGE ≌△CDE ．根据线段比求出DG ，EG 以及点D 的坐标．列出解析式求出a ，b 的值．
（3）设直线AC 的解析式为y=kx+b，把顶点坐标代入求出k ，b ．证明△AMH ∽△AOC 推出m 的值．
答案
（1）∵四边形OABC 是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA ，
∴△CDE ≌△AOE ．
∴OE=DE．
∴OE 2+OA2=（AD-DE ）2，
即OE 2+42=（8-OE ）2，
解之，得OE=3．
（2）EC=8-3=5．如图，过D 作DG ⊥EC 于G ，
∴△DGE ∽△CDE ． ∴∴DG=
∴D （，，
EG=． ． ．
因O 点为坐标原点，
故可设过O ，C ，D 三点抛物线的解析式为y=ax2+bx． ∴
解之，得
（3）∵抛物线的对称轴为x=4， ∴其顶点坐标为．
设直线AC 的解析式为y=kx+b， 则∴解之，得． 设直线FP 交直线AC 于H （m ，m-4），过H 作HM ⊥OA 于M ． ∴△AMH ∽△AOC ．
∴HM ：OC=AH：AC ．
∵S △FAH ：S △FHC =1：3或3：1，
∴AH ：HC=1：3或3：1，
∴HM ：OC=AH：AC=1：4或3：4．
∴HM=2或6，
即m=2或6．
∴H 1（2，-3），H 2（6，-1）．
直线FH 1的解析式为y=
x-．
当y=-4时，
x=．
． 直线FH 2的解析式为
当y=-4时，
x=
∴当t=秒或． 秒时，
直线FP 把△FAC 分成面积之比为1：3的两部分．