三角形高线.中线和角平分线
三角形的高、中线与角平分线
活动1 自主学习 知识提炼
三角形的高、中线、角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD ⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC ＝90°。
注意：AD 是ΔABC 的高∠ADB ＝∠ADC ＝90°(或AD ⊥BC 于D) ；
2、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝BC 。
注意：AD 是ΔABC 的中线BD ＝CD ＝BC 。
3、三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上。
即AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC(或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) 问题一：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？
问题二：一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
例1、 分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与
三角形的位置关系.
三角形的高线要点诠释：
①三角形的高是线段；
②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
③三角形的三条高：
(ⅰ) 锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ) 钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ) 直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系.
三角形的中线要点诠释：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系.
三角形的角平分线的要点诠释：
①三角形的角平分线是线段；
②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心．
④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
活动2 基础训练
1. 任意一个三角形都有_____条高，____条中线，____条角平分线.
2. 一个三角形的三条中线位置为（ ）
A ．一定都在三角形内 B ．一定都在三角形外
C ．可能在三角形外，也可能在三角形内 D ．可能与三角形一边重合
3. 在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，填空：
⑴BE ＝______＝11_____；⑵∠BAD =___=____; 22
⑶∠AFB =_____=90; ⑷S ∆ABC =______.
4. 已知AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，
且AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，则△ABD 与△ADC
的周长之差为_______；△ABD 与△ADC
的面积关系是_____.
活动3 课堂练习
1. 三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ）
A ．直线 B ．射线 C ．线段 D ．射线或线段
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定
3. 能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（ ）
A ．中线 B ．高 C ．角平分线 D ．以上三种情况都正确
4. 若∠BAF =∠CAF , 则_____是∆ABD 的角平分线，______是∆ABC 的角平分线.
5. AB ⊥AC ，则AB 是∆ABC 的边____上的高，也是∆BDC 的边______上的高，也是∆ABD 的边____上的高
.
6. BD 、AE 分别是∆ABC 的中线、角平分线，AC =10cm ，则AD =___，∠BAC =70 ，
∠BAE =____.
拓展延伸
如图，已知∆ABC ，如何将它分成四个面积相等的三角形，请给出至少两种分法.