动力学中的临界问题

动力学中的临界问题（1）

一、平衡中临界、极值

1、临界问题：当某种物理现象(或物理状态) 变为另一种物理现象(或另一物理状态) 时的转折状态叫做临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．

2临界问题的分析方法：极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”、“极小”) 从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”) 暴露出来，便于解答．

例1 如图所示，水平面上两物体m 1、m 2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A. 零 B. F /2 C. F D. 大于F

例2如图所示质量为3㎏的球A 用两根不可伸长的轻质细线BA 、BC 连接在竖直墙上，AC 垂直于墙，现在给A 施加一个力F ，图中的θ角均为60，要使两条细线都能绷直且A 保持静止，求F 的大小应满足的条件。取g=10m/s2

○

二、动力学中临界、极值

1刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f 静=fm。注：此时加速度仍相等。 例5如图所示, 在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体, 已知mA=6 kg 、mB=2 kg,A 、B 间动摩擦因数μ=0.2,在物体A 上系一细线, 细线所能承受的最大拉力是20 N, 现水平向右拉细线,g 取10 m/s2,则 ( )

A. 当拉力F12 N时,A 相对B 滑动

C. 当拉力F=16 N时,B 受A 的摩擦力等于4 N D. 无论拉力F 多大,A 相对B 始终静止 例6. 如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg . 现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为 ( )

2. 相互接触的两物体脱离的临界条件----相互作用的弹力为零。即N=0，此时速度v 、加速度a 相同。

3、绳子松弛的临界条件是绳中张力为零， 即T=0。

例7．如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力FB ＝2 N，A 受到的水平力F A ＝(9－2t )N(t 单位是s) ．从t ＝0开始计时，则 ( )

•

• A 物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的 5/11 倍

• B ．t ＞4 s后，B 物体做匀加速直线运动

• C ．t ＝4.5 s时，A 物体的速度为零

• D ．t ＞4.5 s后，A 、B 的加速度方向相反

例8．一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，已知两绳拉直时，如图所示，两绳与车厢前壁的夹角均为45°. 试求：

• (1)当车以加速度a 1＝ 0.5g 向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力．

• (2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力．

例9. 如图所示, 倾角为α的光滑斜面体上有一个小球m 被平行于斜面的细绳系于斜面上, 斜面体放在水平面上.

(1)要使小球对斜面无压力, 求斜面体运动的加速度范围, 并说明其方向.

(2)要使小球对细绳无拉力, 求斜面体运动的加速度范围, 并说明其方向.

(3)若已知α=60°,m=2 kg,当斜面体以a=10 m/s2向右做匀加速运动时, 绳对小球拉力多大?(g取10 m/s2)

三、弹簧中临界、极值问题

例10：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg ，盘内放一质量为m2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s 内F 是变化的，在0．2s 后是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）

图10

练1如图示, 倾角30°的光滑斜面上, 并排放着质量分别是m A=10kg和m B=2kg的A 、B 两物块，一个劲度系数k =400N/m的轻弹簧一端与物块B 相连，另一端与固定挡板相连，

整个

系统处于静止状态，现对A 施加一沿斜面向上的力F ，使物块A 沿斜面向上作匀加速运动，已知力 F 在前0.2s 内为变力，0.2s 后为恒力，g 取10m/s2 ,

求F 的最大值和最小值。

练2如图所示，在倾角为q 的光滑斜面上端系有一劲度系数为k 的弹簧，弹簧下端连一个质量为m 的小球，球被一垂直斜面的挡板A 挡住，此时弹簧没有形变，若A 以加速度a (a

g sin q )

沿斜面向下匀加速运动，求：

(1)从挡板开始运动到球板分离所经历的时间t ；

(2)从挡板开始运动到小球速度最大时，球的位移x .

例11如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A 、B 。物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，g=10m/s2 ，求此过程中所加外力F 的最大值和最小值。

例11

例3如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接着重物（质量为m ）. 先由托板M 托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以加速度a 匀加速向下运动。已知a

a

练4在一正方形小盒内装一小圆球, 盒与球一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑, 如图所示. 若不计摩擦, 当θ角增大时, 下滑过程圆球对方盒前壁压力N ′及对方盒底面的压力N 将如何变化( )A.N ′变小,N 变小 B.N ′变小,N 为零C.N ′变小,N 变大D.N ′不变,N 变大

四、板块中临界、极值问题

例12如图所示，质量M ＝4kg 的木板长L ＝1.4m ，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F ＝28N 向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F 至少应作用多长时间（g=10m/s2）？

例13如图所示，质量为M ，长度为L 的长木板放在水平桌面上，木板右端放有一质量为m 长度可忽略的小木块，木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数均为μ。开始时木块、木板均静止，某时刻起给木板施加一大小为F 方向水平向右的恒定拉力 ，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）要把长木板从小木块下拉出，拉力F 应满足的条件；

（2）若拉力F = 5μ(m + M) g ，求从开始运动到木板从小木块下拉出经历的时间。

例14如图所示，原来静止在水平面上的长纸带上放有一个质量为m 的小金属块A 。金属块离纸带左端距离为d ，与纸带间动摩擦因数为 。现用力向右将纸带从金属块下面抽出，设纸带的加速过程极短，可认为一开始抽动纸带就做匀速运动。求：

（1）金属块刚开始运动时所受的摩擦力大小和方向。

（2）为了能把纸带从金属块下面抽出，纸带的速度v 应满足什么条件？

练5在光滑的水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M 1和M 2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块，如图所示。开始时，各物均静止。今在两物块上各作用一水平恒力F 1、F 2，当物块与木板分离时，两木板的速度分别为v 1和v 2。物块与两木板之间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是

A ．若F 1= F 2，M 1>M 2, 则v 1>v 2 B．若F 1= F2，M 1 v2

C ．若F 1> F2，M 1= M2, 则v 1> v2D ．若F 1 v2

练6如图所示，已知物块A 、B 的质量分别为m 1、m 2，A 、B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面之间的动摩擦因数为μ2，在水平力F 的推动下，要使A 、B 一起运动而B 不致下滑，力F 至少为多大？

练7两个重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为q 的斜面上，如图367所示．滑块A 、B 的质量分别为M 、m . A 与斜面间的动摩擦因数为μ1，B 与A 之间的动摩擦因数为μ2. 已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，在运动过程中，滑块B 受到的摩擦力

( )A ．等于零 B ．方向沿斜面向下C ．大小等于μ1mg cos q D ．大小等于μ2mg cos q 练8质量M=3kg的长木板放在水平光滑的平面上，在水平恒力F=11N作用下由静止开始向右运动，如图所示，当速度达到1m/s时，将质量m=4kg的物体轻轻放到木板的右端，已知物块与木板间摩擦因数μ=0.2，（g=10m/s2）求：

（1）物体经多长时间才与木板保持相对静止；

（2）物块与木板相对静止后, 物块受到的摩擦力多大?

答

3案例1ABC 例2N ≤F ≤N 例

例4 例5CD 例6B 例7A 、B 、D 例8当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a 0，由牛顿第二定律得，F 1cos 45°＝mg F 1sin 45°＝ma 0 可得：a 0＝g

1(1)因a 1＝g ＜2

a 0， 故细绳2松弛，

拉力为零，

设此时细绳1

与厢壁间夹角为θ，

有：

F 11cos θ＝mg

F 11sin θ＝ma 1

得：F 11＝ 2

例9解析 为确定小球对斜面无压力或对细绳无拉力时斜面体的加速度, 应先考虑小球对斜面或细绳的弹力刚好为零时的受力情况, 再求出相应加速度. 取小球、细绳和斜面体这个整体为研究对象, 分析整体的受力情况, 再确定斜面体的加速度范围.

(1)球对斜面刚好无压力时, 细绳与斜面平行, 小球只受重力mg 和细绳拉力T 的作用, 如右图所示. 正交分解T, 由牛顿第二定律得 Tsin α-mg=0 Tcos α=ma0

解出a0=g·cot α 所以在斜面向右运动的加速度a ≥a0=g·cot α时, 小球对斜面无压力.

(2)当球对细绳刚好无拉力时, 小球只受重力mg 和斜面支持力N, 如右图所示. 正交分解N 后, 可知N 的竖直分力与重力平衡,N 的水平分力使m 向左加速运动. N ·cos α=mg N ·sin α=ma0 解出a0=g·tan α

所以在球对细绳无拉力作用时, 若要使球与斜面体以相同的加速度运动, 则斜面体必须以a=a0=g·tan α向左加速运动; 如果斜面体向左运动的加速度a ＞a0, 则小球会相对斜面向右上方滑动, 但要注意, 若球能滑到细绳悬点上方, 细绳会对球再次产生拉力作用.

(3)由(1)可知, 球对斜面恰好无压力时,a0=g·cot 60°= ×10 m/s2,而题设条件a=10 m/s2＞a0, 因此, 这时小球对斜面无压力, 且球飞离斜面, 如右图所示. 将细绳拉力T 正交分解得

Tsin θ-mg=0，Tcos θ=ma 解出小球所受细绳拉力T=20×21/2 N, 拉力方向与水平方向夹角θ=45°

.

例10依题意，0.2 s后P 离开了托盘，0.2 s时托盘支持力恰为零，此时加速度为： a=（F 大－mg ）/m ①(式中F 大为F 的最大值)

此时M 的加速度也为a.a=（kx －Mg ）/M ②所以 kx=M（g+a）③

原来静止时，压缩量设为x0，则：kx0=（m+M）g ④

而 x0－x=at2/2 ⑤

由③、④、⑤有： 即mg －Ma =0.02ak

a =mg /（M +0.02k ）=6 m/s2 ⑥

⑥代入①：F max=m （a +g ）=10.5（6+10）N=168 N，F 最大值为168 N.

刚起动时F 为最小，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得

F 小+kx 0－（m +M ）g =（m +M ）a ⑦

④代入⑦有：F min=（m +M ）a =72 N，F 最小值为72 N.

练1开始静止时弹簧压缩 x1，x 1=(m 1 +m 2) g sinα/ k = 0.15m

0.2s 末A 、B 即将分离, A 、B 间无作用力，对B 物块：kx 2-m 2g sinα = m 2a ⑴ x 1-x 2=1/2at 2 ⑵

解得 x 2=0.05m a =5 m/s2

t =0时，F 最小，对AB 整体F min = (m 1 + m 2) a = 60N

t =0.2s 时，F 最大，对A 物块：F max - m 1g sin α = m 1a ，F max = m 1g sin α + m 1a = 100N 练2解析：(1)设球与挡板分离时位移为s ，经历的时间为t ，从开始运动到分离过程中，m 受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F N ，沿斜面向上的挡板支持力F N1和弹簧弹力f ，据牛顿第二定律有方程： mg sin q -f -F N1=ma ， f =kx

随着x 的增大，f 增大，F N 1减小，保持a 不变，

当m 与挡板分离时，x 增大到等于s ，F N 1减小到零，(2) 分离后继续做加速度减小的加速运动，v 最大时，

1 则有：s =at 2，mg sin q 2m 受合力为零，即ks m =mg s in q ，位移是s m =. mg sin q -ks =ma k 12

2

t

例11解：A 原来静止时：kx 1=mg ①

当物体A 开始做匀加速运动时，拉力F 最小，设为F 1，对物体A 有：F 1＋kx 1－mg =ma ② 联立解得：mg si n q -k at =m a 当物体B 刚要离开地面时，拉力F 最大，

设为F 2，对物体A 有：F 2－kx 2－mg =ma ③

对物体B 有：kx 2=mg ④

对物体A 有：x 1＋x 2＝ 1at 2 ⑤

由①、④两式解得 a =3.75m/s2 ，

分别由②、③得F 1＝45N ，F 2＝285N

2练3根据牛顿第二定律，得：mg-kx=ma x=m(g-a)/k 由运动学公式： L+x=at2/2 t =2〈kL +m (g -a ) 〉

ka 练4B

例12

t =1s

例13（1）要把M 从m 下拉出，则m 与M 之间发生了相对滑动，

故对m f 1=μmg =ma 1

对M F -μmg -μ(M +m ) g =Ma 2

a 2 > a 1 ∴F >2μ(M +m ) g

2）在此过程中，木块与木板各做匀加速运动

木块的位移 S 1=a 1t 2

2木板的位移

S 2－S 1 = L 1S 2=12a 2t 2t =2ML 2ML =F -2μg (M +m ) 3μg (M +m )

例14练5B D

练6B 不下滑有：μ1F N ≥m 2g ，另有F N=m 2a ，对整体有F -μ2(m 1+m 2) g =(m 1+m 2) a

1得 F ≥(m 1+m 2)(+μ2) g μ1

练7 C (m +M ) g sin q -μ1(m +M ) g cos q =(m +M ) a 对B 有：mg sin q -f =ma

由以上两式消去a 得f =μ1mg cos q μmg 练8（1）放上物体后，物体加速度 a 1==μg =2m/s2

m 板的加速度 F -μmg 2

2 M

当两物体达速度相等后保持相对静止，故 a 1t =v +a 2t

t =1秒

（2）相对静止后，对整体 F =(M +m ) a a ==1m/s

对物体

f =ma m 4⨯11F ==6. 28N M +m 7∴f =