平面几何中的射影定理
12-07
平面几何中的射影定理
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中,ÐBAC 为直角,AD ^BC 于D . 求证:(1)AB 2=BD BC ,AC 2=CD CB ;
(2)AD 2=BD CD
证明 (1)在R t V B A C 与Rt V BDA 中,? B B ,
\V BAC ∽V BDA ,\
2BA BC =, 即AB 2=BD BC . BD BA 图3.1-12 同理可证得AC =CD CB .
(2)在Rt V ABD 与Rt V CAD 中,? C 90o -? CAD BAD ,
\Rt V ABD ∽Rt V CAD ,\AD DC =, 即AD 2=BD DC . BD AD
我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用. 例1:证明直角三角形的勾股定理
证明:如图在直角三角形ABC 中,ÐBAC 为直角,AD ^BC 于D . 则AB 2=BD BC ,AC 2=CD CB ;
AB 2+AC 2=BD ? BC CD BC
所以
例2 : 在V ABC 中,AD ^BC 于D , DE ^AB 于E , DF ^AC 于F ,求证:=BC (BD +CD ) =BC 2 AE ? AB . AF AC
, B C 证明 Q A D ^
\V ADB 为直角三角形,又DE ^AB ,
由射影定理,知AD 2=AE AB .
同理可得AD 2=AF AC .
\AE ? AB
AF AC . 图3.1-13